К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Законы сохраненияс β 6= α. Такие обобщенные координаты называют циклическими. Если координата qαциклическая, то при описанном сдвиге∂L∂L∂Lδqα +δ q̇α =²,∂qα∂ q̇α∂qα0 = δL =поскольку по определению параметра ² имеем δ q̇α = ²̇ = 0, так что критерием цикличностикоординаты qα является условие∂L= 0.∂qαСоответствующая этой координате величина pqα = ∂L/∂ q̇α сохраняется при движениисистемы:pqα = const .То, что pqα сохраняется, видно также непосредственно из уравнений Лагранжа (1.16).Величину pqα называют обобщенным импульсом, соответствующим обобщенной координате qα .Пример 4. Циклические координаты. В примере 1 (глава 1) функция Лагранжа (1.19)материальной точки не зависит от угловой переменной φ (φ – циклическая координата).Поэтому сохраняется проекция ее момента импульса на ось z :Mz =§2.2.∂L= mρ2 φ̇ = const.∂ φ̇Закон сохранения энергииПерейдем к выяснению следствий однородности времени.
В силу этой однородностифункция Лагранжа не может зависеть от времени явно, т.е. должно быть∂L= 0.∂tВычислим полную производную функции Лагранжа по времени, учитывая это условие,а также уравнения Лагранжа (1.16)¾ X¾ X½¾s ½s ½sdL X ∂L∂Ld ∂L∂Ld ∂L=q̇α +q̈α =q̇α +q̈α =q̇α ,dt∂q∂q̇dt∂q̇∂q̇dt∂q̇αααααα=1α=1α=1илиddt()sX∂Lq̇α − L = 0 .∂ q̇αα=1Отсюда следует, что величинаsX∂Lq̇α − L ,E=∂q̇αα=1(2.13)называемая обобщенной энергией, сохраняется при движении системы.
Это есть наиболееобщее выражение для обобщенной энергии, применимое к функции Лагранжа произвольного вида. Применим его к случаю когда функция Лагранжа имеет вид L = T + V − U,22§2.2. Закон сохранения энергиигде V обозначает члены, линейные по скоростям частиц (см. §1.4). Для этого сформулируем и докажем теорему Эйлера об однородных функциях. Пусть функция f (x1 , ..., xn )дифференцируема и такова, чтоf (ax1 , ..., axs ) = ad f (x1 , ..., xs ),(2.14)где a произвольное, а d – некоторое фиксированное число. В этом случае говорят, чтофункция f (x1 , ..., xs ) является однородной функцией своих аргументов, а число d называютстепенью однородности. Продифференцировав определение (2.14) по a и положив затемa = 1, получим соотношениеsXα=1xα∂f (x1 , ..., xs ) = d f (x1 , ..., xs ),∂xα(2.15)которое и составляет содержание теоремы Эйлера. При применении этой теоремы к выражению (2.13) переменными xα являются обобщенные скорости q̇α .
Поскольку согласно соотношению (1.13) декартовы скорости ṙ являются однородными функциями обобщенныхскоростей q̇α первой степени, то при их подстановке в функцию Лагранжа мы получим,что кинетическая энергия T является однородной функцией обобщенных скоростей второй степени, обобщенный потенциал V – однородной функцией первой степени, а потенциальная энергия U – однородной функцией нулевой степени, поскольку U от скоростейвообще не зависит. Поэтому, применяя теорему Эйлера, мы получимsXα=1q̇α∂T= 2T ,∂ q̇αsXα=1q̇α∂V=V ,∂ q̇αsXα=1q̇α∂U= 0.∂ q̇αПодстановка в (2.13) даетE =T +U.(2.16)Таким образом, для того чтобы получить обобщенную энергию, в функции Лагранжаследует опустить члены, линейные по обобщенным скоростям, и поменять знак передчленами, от них не зависящими.Пример 5.
Обобщенная энергия в электромагнитном поле Применяя сформулированноеправило, получаем обобщенную энергию, соответствующую функции Лагранжа (1.22)для частицы в электромагнитном полеE=mṙ 2+ qϕ(r, t) .2(2.17)Она сохраняется, если потенциалы A, ϕ не зависят от времени явно.Пример 6.Функция Лагранжа (1.28) материальной точки, движущейся под действиемсилы трения, явно зависит от времени, поэтому ее обобщенная энергия не сохраняется.23Глава 2.
Законы сохраненияРис. 2: Схематическое изображение действительной траектории (сплошная линия) и одной изблизких к ней виртуальных траекторий (штриховая линия).§2.3.Принцип наименьшего действияПусть движение данной механической системы с s степенями свободы определяетсяфункцией Лагранжа L(q, q̇, t), t1 , t2 – некоторые моменты времени (t1 < t2 ), и qα (t), α =1, ..., s – набор дважды дифференцируемых функций времени, удовлетворяющих условиямqα (t1 ) = qα(1) ,qα (t2 ) = qα(2) ,α = 1, ..., s ,(2.18)где q (1) и q (2) – заданные значения обобщенных координат системы в моменты времениt1 и t2 , соответственно.
Любой такой набор назовем виртуальной траекторией системы.Среди множества виртуальных траекторий имеется одна траектория, удовлетворяющаяуравнениям Лагранжа, которую мы назовем действительной.Для данной виртуальной траектории q(t) построим интегралZt2S[q(t)] =L(q(t), q̇(t), t)dt .(2.19)t1Таким образом, каждому набору функций q(t) сопоставляется определенное число S[q(t)]по правилу (2.19). Другими словами, S[q(t)] является функцией от функций q(t). Такиеобъекты называют функционалами.
Функционал S[q(t)] называется действием системы.Оказывается, что уравнения Лагранжа (1.16) могут быть получены из следующеговариационного принципа, называемого принципом наименьшего действия: На любомвременнóм отрезке t ∈ [t1 , t2 ] система движется таким образом, что ее действие принимает наименьшее возможное значение, причем сравниваются все виртуальные траектории, удовлетворяющие условиям (2.18).Доказательство. Обозначим через q̄(t) виртуальную траекторию, на которой действиесистемы принимает наименьшее значение, и рассмотрим близкие к ней траектории q(t) =q̄(t) + δq(t), где δq(t) – малые функции времени (см.
Рис. 2). При переходе от q̄(t) кq̄(t) + δq(t) действие возрастает. В первом порядке по малым δq(t) изменение действия24§2.3. Принцип наименьшего действияδS ≡ S[q̄(t) + q(t)] − S[q̄(t)]Zt2Zt2˙ + δ q̇(t), t)dt − L(q̄(t), q̄(t),˙=L(q̄(t) + δq(t), q̄(t)t)dtt1=t1Zt2 Xs ½t1α=1¾∂L∂Lδqα (t) +δ q̇α (t) dt ,∂qα∂ q̇α(2.20)где производные ∂L/∂q, ∂L/∂ q̇ вычисляются на траектории q̄(t). Учитывая равенство(2.1), которое для вариаций виртуальных траекторий выводится в точности так же, какв §2.1, проинтегрируем второй член в подынтегральном выражении по частямZt2 Xst1α=1¯t2s Zt2ss Zt2¯XXX∂L∂L∂L dd ∂L¯δ q̇α dt =δqα (t)dt =δqα (t)¯ −δqα (t)dt .¯∂ q̇α∂ q̇α dt∂ q̇αdt ∂ q̇αα=1α=1α=1t1t1t1Первый член в последнем выражении обращается в нуль, поскольку как функция q̄(t), таки функция q̄(t)+δq(t) удовлетворяет условиям (2.18), и следовательно, δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0.Поэтому вариация действия принимает видs ZX½t2δS =α=1 tδqα (t)∂Ld ∂L−∂qα dt ∂ q̇α¾dt .(2.21)1В силу предположения о минимальности S[q̄(t)] имеем δS > 0.
Покажем теперь, чтоδS на самом деле должно быть равно нулю. Действительно, допустим, что существуеттакая виртуальная траектория q̄(t) + δq(t), для которой δS > 0. Тогда из уравнения (2.21)следовало бы, что для виртуальной траектории q̄(t) − δq(t) вариация действия δS < 0, впротиворечии с минимальностью величины S[q̄(t)]. Таким образом,s ZX½t2δS =α=1 tδqα (t)∂Ld ∂L−∂qα dt ∂ q̇α¾dt = 0 .(2.22)1В силу независимости обобщенных координат и произвольности их вариаций, последнееравенство будет удовлетворяться, только если коэффициенты при всех δq независимо другот друга обращаются в нуль, т.е. функции q̄(t) удовлетворяют уравнениям Лагранжаd ∂L∂L−= 0,∂qα dt ∂ q̇αα = 1, ..., s ,а это и означает, что q̄(t) – действительная траектория.25Глава 3. Интегрирование уравнений движенияГлава 3.ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯПереходя к интегрированию уравнений движения различных систем с помощью формализма Лагранжа, сформулируем сначала общий алгоритм его применения:A.
Определите число степеней свободы системы, s. Для системы N материальных точекs = 3N − n, где n – число голономных связей, наложенных на систему.B. Выберите обобщенные координаты системы, qα , α = 1, ..., s и выразите через нихдекартовы координаты точек системы, ri = ri (q), i = 1, ..., N. Обобщенные координаты должны решать уравнения связей, т.е. выражения ri (q) должны тождественноудовлетворять уравнениям (1.5).
Кроме того, эти координаты следует выбирать такчтобы по возможности максимально полно учесть симметрии потенциалов взаимодействий частиц.C. Вычислите полные производные по времени от функций ri (q) и затем составьтефункцию Лагранжа системы L(r(q), ṙ(q, q̇), t).D. Исследуйте систему на наличие законов сохранения. Если внешние силы, действующие на систему, не меняются при трансляции в некотором направлении или поворотевокруг некоторой оси, причем связи, наложенные на систему, допускают такое перемещение, запишите законы сохранения соответствующих проекций обобщенногодекартова импульса или момента импульса [см.
уравнения (2.5), (2.8)]. Если обобщенные координаты выбраны таким образом, что изменение какой-либо из них прификсированных остальных описывает указанное перемещение, то соответствующуюсохраняющуюся величину можно получить по формулам (2.10), (2.12). Наконец,если функция Лагранжа не зависит от времени явно, составьте закон сохраненияобобщенной энергии [см. формулу (2.13)].E. Из получившихся уравнений выберите независимые. Если их число равно числу степеней свободы, то необходимости в построении уравнений Лагранжа нет, и следуетпереходить к интегрированию найденных s уравнений, связывающих q и q̇.
Если жечисло независимых законов сохранения меньше s, следует выписать недостающеечисло уравнений Лагранжа, так чтобы в результате получить систему s независимых уравнений, связывающих величины q, q̇, q̈ и затем ее интегрировать.Замечание: если силы, действующие на частицы, линейны по их координатам и скоростям, то закон движения обычно удобнее искать непосредственно интегрируя уравненияЛагранжа, не выписывая законов сохранения (см. пример 3 и §4.1).§3.1.Движение с одной степенью свободыРассмотрим движение системы с одной степенью свободы.
В этом случае уравнения(1.11) имеют видṙi =∂riq̇ ,∂qi = 1, ..., N ,26(3.1)§3.1. Движение с одной степенью свободыподставляя которые в функцию Лагранжа L = T − U, получи쵶NXmi ∂ri ∂rim(q)q̇ 2L=,q̇ 2 − U (r(q), t) ≡− U (q, t) .2∂q ∂q2i=1(3.2)Для краткости, сложная функция U (r(q), t) обозначается просто U (q, t). Заметим, чтофункция m(q) > 0. Закон движения системы, описываемой функцией Лагранжа (3.2),может быть найден в общем виде в случае, когда потенциальная энергия не зависит явноот времени.
Поскольку m(q) также не зависит от времени, то ∂L/∂t = 0, и поэтомусохраняется обобщенная энергия системы [см. уравнение (2.16)]E=m(q)q̇ 2+ U (q) .2(3.3)Это уравнение может быть решено относительно q(t) путем разделения дифференциалов.Мы имеемsdq2=±[E − U (q)] ,(3.4)dtm(q)откудаrm(q)dq.dt = p 2± E − U (q)Интегрирование последнего равенства даетrm(q)Zqdq2p,t − t0 =± E − U (q)(3.5)q0где q0 , q – значения обобщенной координаты в моменты времени t0 , t соответственно. Знак+ (−) перед корнем берется на тех участках траектории, где q̇ > 0 (q̇ < 0).Таким образом, задача определения функции q(t) сведена к вычислению интегралаот известной функции, или, как говорят, закон движения найден в квадратурах. После взятия интеграла функция q(t) получается обращением функции t(q), определяемойуравнением (3.5).Исследуем качественно общие свойства движения с одной степенью свободы.
Для этого достаточно рассмотреть график потенциальной энергии, изображенный на Рис. 3. Поскольку m(q) > 0, то из уравнения (3.4) следует, что при заданном значении энергии Eсистема может двигаться лишь в областях, в которыхU (q) 6 E.В точках, удовлетворяющих уравнению U (q) = E, обобщенная скорость обращается внуль. Такие точки называются точками остановки. На Рис. 3 точки q1 , q2 , q3 являютсяточками остановки при движении с энергией E = E2 . При этом допустимыми для движения областями являются q ∈ [q1 , q2 ] и q > q3 . Поскольку функция q(t) непрерывна, системапри своем движении не может “перескочить” из одной допустимой области в другую.27Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
