К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Данное Введение написаноименно на этом минимальном уровне. Требуемый им объем знаний вполне охватываетсякурсами линейной алгебры и математического анализа, читаемых студентам первого ивторого курсов Химического факультета. От читателя требуется четкое представлениео непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости функций, простейших методах интегрирования дифференциальных уравнений, а также об основных операциях свекторами и матрицами.7Глава 1.
Формализм ЛагранжаГлава 1.§1.1.ФОРМАЛИЗМ ЛАГРАНЖАОсновная задача механикиПредметом механики является изучение движения материальных тел под действиемприложенных к ним сил. Любое тело можно представить как совокупность тел меньшегоразмера, поэтому фундаментальным для всей механики является понятие материальнойточки. Если в условиях данной задачи размерами тела и изменением его ориентации впространстве можно пренебречь, то такое тело называют материальной точкой. Например, при изучении орбитального движения планет вокруг Солнца их размерами можно схорошей степенью точности пренебречь и рассматривать их как материальные точки. Сдругой стороны, характер прецессии оси вращения планеты под влиянием других планети Солнца существенно зависит от ее строения.Из определения материальной точки следует, что ее пространственное положение задается тремя параметрами, в качестве которых можно использовать, например, декартовыкомпоненты ее радиус-вектора r = (x, y, z).
С течением времени положение тела в пространстве меняется, так что r является функцией времени. Зависимость r(t) называетсязаконом движения материальной точки. Определение этой зависимости (для каждой материальной точки системы) составляет основную задачу теоретической механики.Дифференциальные уравнения, определяющие зависимость координат материальнойточки от времени, называются уравнениями движения. В классической механике уравнениями движения являются уравнения Ньютонаmd2 r=F,dt2(1.1)где m есть масса материальной точки, а F – действующая на нее сила.
Последняя зависит от положения тела, а также от его скорости v = dr/dt ≡ ṙ. Следовательно, уравнения (1.1) представляют собой систему трех дифференциальных уравнений для трехкомпонент вектора r. Таким образом, основная задача теоретической механики сводитсяк интегрированию уравнений движения. Для того чтобы найти закон движения как решение уравнений Ньютона, необходимо еще задать совокупность дополнительных условий.Поскольку уравнения Ньютона являются дифференциальными уравнениями второго порядка относительно неизвестных функций x(t), y(t), z(t), то для однозначного их определения требуется 2 × 3 = 6 дополнительных условий, которыми обычно являются значениякоординат и скоростей материальной точки в некоторый момент времени.
Совокупностьданных о системе, задание которых в некоторый момент времени является необходимым идостаточным для однозначного определения ее последующей эволюции, называют состоянием системы. Таким образом, состояние материальной точки в любой момент времениопределяется заданием ее радиус-вектора и вектора ее скорости.§1.2.Уравнения Лагранжа для одной материальной точкиНепосредственное интегрирование уравнений Ньютона является далеко не самым удобным способом решения основной задачи механики. Это связано с тем, что использованиедекартовых компонент радиус-вектора для задания пространственного положения материальной точки часто оказывается неудобным.
Например, если поле силы F имеет ту или8§1.2. Уравнения Лагранжа для одной материальной точкииную симметрию, то целесообразным является такой выбор координат, при котором F зависит не от всех, а только от части параметров, определяющих положение материальнойточки. Для того чтобы эффективно производить переход от одного набора параметров кдругому, удобно предварительно преобразовать уравнения Ньютона к так называемомулагранжеву виду.Рассмотрим простейший случай движения одной материальной точки в потенциальномполе U (r, t). Сила, действующая на тело в таком поле, имеет видF =−∂U.∂rЗдесь и в дальнейшем под производной по некоторому вектору понимается вектор, компоненты которого равны производным по соответствующим компонентам данного вектора,т.е., ∂U/∂r = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z). Преобразование к лагранжеву виду состоит во введении некоторой скалярной функции координат и скоростей материальной точки, такой,что обе части векторного уравнения Ньютона (1.1) принимают вид производных от этойфункции, аналогично тому как вектор силы выражается через производные скалярногопотенциала.
Используя введенные обозначения, левую часть уравнений Ньютона можнопереписать следующим образомd2 rd ∂Tm 2 =,dtdt ∂ ṙгде T есть кинетическая энергия материальной точки,T (ṙ) =mṙ 2,2а три компоненты вектора скорости рассматриваются как независимые переменные. Действительно, это тождество нетрудно проверить, записывая его покомпонентно. Мы имеем,например, для x-компонентыd ∂Tmd ∂ 2md ∂ 2dẋd2 x=(ẋ + ẏ 2 + ż 2 ) =ẋ = m=m 2 .dt ∂ ẋ2 dt ∂ ẋ2 dt ∂ ẋdtdtВведем теперь функцию L(r, ṙ, t) = T (ṙ)−U (r, t). По определению, L является функциейтрех координат (x, y, z), трех компонент скорости (ẋ, ẏ, ż), а также времени t, рассматриваемых как независимые переменные (т.е., любая из этих семи переменных считаетсянезависимой от остальных шести).
Функция L(r, ṙ, t) называется функцией Лагранжа. Сее помощью уравнения Ньютона можно переписать в видеd ∂L ∂L−= 0,dt ∂ ṙ∂r(1.2)поскольку ∂T /∂r = 0 , ∂U/∂ ṙ = 0 в силу независимости координат и скоростей. Записанные в таком виде, уравнения движения называются уравнениями Лагранжа.Оказывается, что уравнения Лагранжа имеют один и тот же вид независимо от того,какие параметры используются для задания пространственного положения материальнойточки. А именно, если вместо декартовых координат (x, y, z) выбрать другую тройкукоординат (q1 , q2 , q3 ), то уравнения движения в новых координатах будут иметь вид∂Ld ∂L−= 0,dt ∂ q̇α ∂qα9α = 1, 2, 3,(1.3)Глава 1.
Формализм Лагранжапричем L предполагается выраженной через новые координаты qα и соответствующиеим “скорости” q̇α , снова рассматриваемые как независимые переменные. Это замечательное свойство уравнений Лагранжа, называемое ковариантностью относительно заменыкоординат, будет доказано в следующем пункте.§1.3.Уравнения Лагранжа для системы материальных точек при наличии связейМы докажем ковариантность уравнений Лагранжа сразу для системы, состоящей из Nматериальных точек, имеющих массы mi и радиус-векторы ri , i = 1, ..., N, допуская приэтом, что на эту систему еще могут быть наложены так называемые идеальные голономные связи. Вообще, под связями понимают любые ограничения на возможные движениясистемы. Например, они могут состоять в том, что взаимные расстояния между некоторыми материальными точками должны оставаться неизменными при движении системы,или же движение частиц может быть ограничено непроницаемыми стенками.
Далее, могут иметься условия на скорости точек, и т.п. В том важном и часто встречающемся напрактике случае, когда связь может быть выражена в виде уравнения для координатточек системы, она называется голономной. Примером может служить жесткий невесомый стержень, соединяющий две частицы. В дальнейшем мы будем рассматривать лишьголономные связи.В случае наличия связей помимо потенциальных сил на точки системы будут действовать также силы реакции связей. Обозначая эти силы через R, запишем уравненияНьютона для каждой материальной точки, составляющей системуd2 ri∂U=−+ Ri , i = 1, ..., N .dt2∂riПусть имеется n независимых уравнений связи между ri , i = 1, ..., N :mifk (r1 , ..., rN ) = 0 ,k = 1, ..., n.(1.4)(1.5)Мы считаем для простоты, что эти соотношения не содержат времени явно.
Уравнения(1.5) означают, что n компонент из полного набора 3N декартовых компонент векторовri могут быть выражены через остальные (3N − n) ≡ s. В свою очередь, может оказаться удобным выразить эти s компонент как функции некоторого другого набора sнезависимых параметров qα , α = 1, ..., s. Для краткости, этот набор параметров мы будемобозначать просто q. Таким образом, все N радиус-векторов ri окажутся функциями q :ri = ri (q) ,i = 1, ..., N .(1.6)Набор независимых переменных, однозначно определяющих положение системы в пространстве, называется обобщенными координатами системы, а число этих переменных –числом степеней свободы системы. В рассматриваемом случае qα , α = 1, ..., s являютсяобобщенными координатами системы материальных точек при наличии связей.Покажем теперь, что в случае, когда связи являются идеальными, т.е. трение в системеотсутствует, уравнения движения по-прежнему имеют вид (1.3) по каждой из обобщенныхкоординат qα , α = 1, ..., s.Обозначим символом δri , i = 1, ..., N произвольное малое изменение (вариацию) координат частиц системы, согласованное с уравнениями связи.
Согласованность с уравнениями связи означает, что выполняются следующие уравненияfk (r1 , ..., rN ) = 0 ,fk (r1 + δr1 , ..., rN + δrN ) = 0 ,10k = 1, ..., n.§1.3. Уравнения Лагранжа при наличии связейПеремещения, удовлетворяющие этим условиям, называют виртуальными (т.е. возможными, допустимыми). Поскольку трение отсутствует, сила реакции связей, действующаяна частицу, ортогональна виртуальному перемещению:(Ri , δri ) = 0 ,i = 1, ..., N ,где символом (a, b) обозначено скалярное произведение векторов a и b . Складывая этиуравнения и используя (1.4), получимNXi=1µmid2 ri, δridt2¶=−N µX∂Ui=1∂ri¶, δri.(1.7)Это уравнение может быть преобразовано к виду, в котором суммирование ведется не почастицам системы, а по индексу α, нумерующему независимые обобщенные координатысистемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
