К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Определим сперва возможные типы движения в таком поле. Для этого следует обратиться к уравнению(3.18), определяющему функцию r(t), поскольку движение точки происходит в ограниченной области пространства тогда и только тогда, когда эта функция ограничена при всехt. Эффективная потенциальная энергия имеет экстремумы в точках, удовлетворяющихуравнениюαM2dUeff=− 2 −= 0.(3.26)drrmr3В случае поля отталкивания это уравнение не имеет решений вовсе, тогда как в случаеполя притяжения единственный его корень естьr̄ =M2.m|α|(3.27)Поскольку Ueff → +∞ при r → 0 и Ueff → 0 при r → ∞, в точке (3.27) эффективнаяпотенциальная энергия имеет абсолютный минимумUeff (r̄) = −33mα2.2M 2Глава 3.
Интегрирование уравнений движения201510Uα>0eff50α<0−500.20.40.60.811.21.41.61.82rРис. 4: Характерный вид эффективной потенциальной энергии в кулоновых полях отталкиванияи притяжения (условные единицы).Графики эффективной потенциальной энергии в случаях α > 0 и α < 0 приведены наРис.
4.Найдем уравнение траектории. Пусть момент времени t = t0 соответствует точке поворота траектории, в которой r имеет минимальное значение rmin . Договоримся отсчитыватьугол φ от направления радиус-вектора материальной точки в этот момент, т.е. положимφ0 = 0, и рассмотрим движение на отрезке времени [t0 , t], на котором ṙ > 0. Посколькувсегда φ̇ > 0, то условие ṙ > 0 означает, что на рассматриваемом участке траекторииφ > 0. Формула (3.23) даетµ ¶MMrrZZddrrr2rsφ ==−µ¶22 α2M 2 2mαMmαmrminrmin2mE − 2 −−+2mE +rrM2rM¯r¯Mmα¯+¯rM¯.(3.28)= arccos r¯m2 α 2 ¯¯2mE +M 2 rmin34§3.3. Движение в кулоновом полеВводя обозначенияre=1+2EM 2,mα2p=M2,m|α|перепишем уравнение (3.28) в виде½ ·¸¾¯r¯1 pα¯φ = arccos+e r |α| ¯rmin(3.29)Точки остановки по координате r (т.е. точки, в которых ṙ = 0), в частности, точка rmin ,определяются нулями корня в подынтегральном выражении в (3.28), т.е.
уравнение쵶2m2 α2Mmα2mE +=+,(3.30)M2rMрешениями которого во введенных обозначениях являютсяr min =maxp.α−±e|α|(3.31)В случае поля отталкивания α > 0, E > 0, e > 1, следовательно, имеется лишь одинположительный корень rmin = p/(e − 1). В случае поля притяжения α < 0 возможныдва варианта. При E > 0 мы имеем e > 1 и снова лишь один положительный кореньrmin = p/(1 + e), а при E < 0 имеем e < 1, и поэтому оба корня (3.31) положительны:rmin = p/(1 + e), rmax = p/(1 − e).
Во всех трех случаях при r = rmin аргумент arccos вформуле (3.29) равен единице. Таким образом, уравнение траектории на участке φ > 0имеет видpα=−+ e cos φ .r|α|(3.32)Мы знаем, с другой стороны, что r(φ) = r(−φ), поэтому на участке φ < 0 уравнениетраектории имеет тот же самый вид (3.32).A.Кулоново поле притяжения. Законы КеплераРассмотрим движение с E < 0 в кулоновом поле притяжения более подробно.
Приα < 0, E < 0 уравнение траектории имеет видrp2|E|M 2= 1 + e cos φ , e = 1 −< 1.(3.33)rmα2Покажем, прежде всего, что финитное движение в кулоновом поле является периодическим. Для этого рассмотрим движение материальной точки точки на отрезке φ ∈[−π, +π]. Согласно уравнению (3.33) на границах этого отрезка r = p/(1 − e) = rmax , ипоэтому ṙ(−π) = ṙ(+π) = 0. Далее, из уравнения (3.16) следует, что φ̇ также имеет одно2)] в начале и конце пути. С другой стороны, значенияи то же значение [равное M/(mrmaxφ = −π и φ = +π соответствуют одной и той же точке пространства. Таким образом, конечное состояние материальной точки совпадает с ее начальным состоянием.
Поскольку35Глава 3. Интегрирование уравнений движенияРис. 5: Траектория финитного движения материальной точки в кулоновом поле. Центр поляобозначен через F.задание состояния системы в некоторый момент времени полностью определяет ее дальнейшую эволюцию, то мы приходим к выводу о том, что движение материальной точкипериодично. В частности, траектории финитного движения в кулоновом поле замкнуты.Кривая, описываемая уравнением (3.33), представляет собой эллипс, один из фокусовкоторого совпадает с центром поля. В применении к движению планет солнечной системы это утверждение составляет содержание первого закона Кеплера.
Введенные вышевеличины e и p называются эксцентриситетом и параметром эллипса, соответственно.Свяжем их с большой (a) и малой (b) полуосями эллипса, определяющими каноническуюформу уравнения эллипсаx2 y 2+ 2 = 1,a2b(3.34)где x, y – декартовы координаты точки эллипса (см. Рис. 5). Как видно из рисунка,·¸rmin + rmax1pppa==+=.22 1+e 1−e1 − e2Далее, по определению эксцентриситета,re=1−b2.a2Поэтому√pb = a 1 − e2 = √.1 − e2Из Рис. 5 очевидна связь декартовых и полярных координат:x = a − rmin + r cos φ = ea + r cos φ ,y = r sin φ .(3.35)Используя эти соотношения, нетрудно проверить эквивалентность уравнений (3.33) и(3.34). Наконец, используя определения e и p, можно выразить полуоси орбиты через36§3.3. Задача рассеянияэнергию и момент материальной точки:a=|α|,2|E|b= pM2m|E|.(3.36)Вернемся к закону сохранения момента импульса (3.16). Выражение, стоящее в правойчасти этого уравнения, пропорционально площади, заметаемой радиус-вектором материальной точки в единицу времени и называемой секториальной скоростью (заштрихованная площадь на Рис.
5). Действительно, рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени ∆t. Тогда с точностью до величин порядка (∆t)2 заметаемая площадь ∆sравна площади прямоугольного треугольника с катетами r(t) и r(t)φ̇∆t : ∆s = r2 φ̇∆t/2 .В пределе ∆t → 0 мы получимds1M= r2 (t)φ̇ == const .dt22m(3.37)Таким образом, при движении в любом центральном поле секториальная скорость постоянна. В применении к движению планет солнечной системы постоянство секториальной скорости называется вторым законом Кеплера. Определим теперь полную площадьS, заметаемую радиус-вектором за период. Это есть площадь эллипса, равная πab. С помощью выражений (3.36) ее можно преобразовать такsµ¶3M|α||α|πMπM 3/2pS=π=p=pa .2|E| 2m|E|2|E|m|α|m|α|С другой стороны, интегрируя равенство (3.37) по времени, получимZTS=dsMTdt =.dt2m0Из полученных уравнений следует выражение для периода движенияsrmma3T = π|α|=2π.2|E|3|α|(3.38)Если U (r) есть потенциальная энергия тяготеющих материальных точек, то α = −Gm1 m2 ,и мы имеемsa3.T = 2πG(m1 + m2 )В случае солнечной системы масса одной из точек (Солнца) намного превосходит массудругой (планеты)m1 ≡ M¯ À m2 ,и поэтому приближенноsT = 2π37a3.GM¯Глава 3.
Интегрирование уравнений движенияРис. 6: Траектория материальной точки при рассеянии в центрально-симметричном поле. Штрихованные линии обозначают асимптоты траектории при t → ±∞.Из этой формулы следует, что между отношением a/a0 больших полуосей орбит двухпланет и отношением T /T 0 периодов их обращения вокруг Солнца имеет место следующаясвязь, называемая третьим законом Кеплераµ ¶2 ³ ´Ta 3=.T0a0§3.4.Задача рассеяния. Формула РезерфордаРассмотрим однородный поток одинаковых частиц, налетающих на неподвижный силовой центр из бесконечности, где все они имеют одинаковую скорость v0 .
Пусть потенциальная энергия частиц есть U (r). Назовем частицу, прошедшую поле и ушедшуюснова на бесконечность, рассеянной. Задача рассеяния состоит в нахождении распределения рассеянных частиц по углу рассеяния, под которым понимают угол между начальнойи конечной скоростью частицы.Задача рассеяния является частным случаем задачи двух тел, и решается с помощью общей формулы (3.23).
Для того чтобы применить эту формулу, нужно выразитьвходящие в нее параметры E, M через начальные данные – начальную скорость v0 итак называемое прицельное расстояние ρ, которое определяется как расстояние междуасимптотой траектории частицы в начале ее движения и центром поля (см. Рис. 6). Другими словами, ρ есть минимальное расстояние, на котором частица прошла бы от точкиr = 0 в отсутствие поля.
Договоримся отсчитывать угол φ от начального направлениярадиус-вектора частицы, т.е. положим φ0 = 0, r0 = ∞. Тогда до рассеяния, т.е., когдаv еще параллельна v0 , имеем M = |[r, mv]| = mrv sin φ. В пределе при φ → 0, r → ∞,можно написать, по определению прицельного расстояния, r sin φ = ρ. ПоэтомуM = mρv0 .38§3.4. Задача рассеянияУчитывая также, что E = mv02 /2, получаемZrφ=∞ρdr2rs.2U (r) ρ2± 1−− 2mv02rДля рассеянной частицы r → ∞, а значение угла φ в конце движения равноρρrminZZ∞drdr2rr2ssφ̃ =+,222U(r)ρ2U(r)ρ∞ −1−− 2 rmin + 1 −− 2mv02rmv02rилиZ∞φ̃ =rmin2ρdrr2s.2U (r) ρ21−− 2mv02r(3.39)Напомним, что rmin есть нуль корня в подынтегральном выражении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
