К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 16
Текст из файла (страница 16)
удовлетворяет уравнениям Гамильтона (5.5), (5.6).Поэтому с учетом условий (5.58) находим(1)S(q , t1 ; q(2)(2)(1)(2)+ δq , t2 ) − S(q , t1 ; q , t2 ) =sXp̄α (t2 )δqα(2) .(5.59)α=1С другой стороны, согласно определению частной производнойS(q (1) , t1 ; q (2) + δq (2) , t2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) =∂S (2)δq .∂q (2)Подставляя это в уравнение (5.59) и сравнивая коэффициенты при независимых вариа(2)циях δqα , α = 1, ..., s, получаем∂S(2)∂qα= p̄α (t2 ) ,α = 1, ..., s .(5.60)Аналогичным образом можно вывести соотношение∂S(1)∂qαB.= −p̄α (t1 ) ,α = 1, ..., s .(5.61)Зависимость действия от времениРассмотрим теперь две близкие траектории, одна из которых по-прежнему определяется условиями (2.18), а другая – условиямиqα (t1 ) = qα(1) ,qα (t2 + δt2 ) = qα(2) ,α = 1, ..., s ,(5.62)снова обозначая функции, описывающие эти траектории, через [q̄(t), p̄(t)] и [q̄(t) +δ q̄(t), p̄(t) + δ p̄(t)], соответственно.
Другими словами, в обоих случаях система выходит78§5.5. Действие как функция координат и временииз точки с координатами q (1) в момент времени t1 , но в точку с координатами q (2) приходит с разницей во времени, равной δt2 . Соответствующая разность в величине действияестьS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 )!!t2Z+δt2à sZt2 ÃXsX=(p̄α + δ p̄α )(q̄˙α + δ q̄˙α ) − H(q̄ + δ q̄, p̄ + δ p̄, t) dt −p̄α q̄˙α − H(q̄, p̄, t) dt .t1α=1α=1t1Разлагая первый интеграл по δt2 с помощью формулы Ньютона-Лейбница, находимà s!XS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) =p̄α q̄˙α − H̄δt2α=1t=t2!ï¯Zt2 Xs∂H(q̄, p, t) ¯¯∂H(q, p̄, t) ¯¯+p̄α δ q̄˙α + q̄˙α δ p̄α −¯ δ q̄α −¯ δ p̄α dt ,∂q∂pααq=q̄p=p̄α=1t1где H̄ ≡ H(q̄, p̄, t) есть значение функции Гамильтона на действительной траектории.Преобразуя интегральный член как и выше с помощью интегрирования по частям и учитывая, что q̄(t), p̄(t) удовлетворяют уравнения Гамильтона, получаемà s!" s#t2XXS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) =p̄α q̄˙α − H̄δt2 +p̄α δ q̄α.α=1t=t2α=1t1Для определения величины δ q̄(t2 ) запишем условие (5.62) для функции q̄(t) + δ q̄(t) :(q̄α + δ q̄α )(t2 + δt2 ) = qα(2) ,откуда, разлагая левую часть равенства по малому δt2 , найдемq̄α (t2 ) + q̄˙α (t2 )δt2 + δ q̄α (t2 ) = qα(2) .Учитывая, что в силу условий (2.18) для функции q̄(t)q̄α (t2 ) = qα(2) ,получаемδ q̄α (t2 ) = −q̄˙α (t2 )δt2 .Таким образом,S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 )à s!sXX˙=p̄α (t2 )q̄α (t2 ) − H̄(t2 ) δt2 −p̄α (t2 )q̄˙α (t2 )δt2 = −H̄(t2 )δt2 ,α=1α=1С другой стороны, согласно определению частной производнойS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) =79∂Sδt2 .∂t2(5.63)Глава 5.
Канонический формализмПодставляя это в уравнение (5.63) и сокращая на δt2 , получаем∂S= −H̄(t2 ) .∂t2(5.64)∂S= H̄(t1 ) .∂t1(5.65)Аналогично выводится соотношениеC.Теорема ЛиувилляРассмотрим некоторую область g в фазовом пространстве данной системы. Как мызнаем, каждая точка этой области определяет некоторое состояние системы.
Будем считать, что все эти состояния заданы в момент времени t1 и рассмотрим их эволюцию зафиксированный промежуток времени t2 − t1 = t. По его истечении каждое состояние(q (1) , p(1) ) ∈ g перейдет в некоторое конечное состояние (q (2) , p(2) ), так что область g отобразится на некоторую новую область G фазового пространства системы (см. Рис.
10).Выясним, как соотносятся фазовые объемы этих областей. Для этого заметим, что соотношения (5.60), (5.61), (5.64), (5.65) эквивалентны следующему выражению для полногодифференциала действия как функции координат и времени:(1)(2)dS(q , t1 ; q , t2 ) =sX£¤p̄α (t2 )dqα(2) − p̄α (t1 )dqα(1) − H̄(t2 )dt2 + H̄(t1 )dt1 .(5.66)α=1Учитывая, что при фиксированном tdt2 = dt1 ,перепишем уравнение (5.66) в видеsXα=1p̄α (t1 )dqα(1)− H̄(t1 )dt1 =sXp̄α (t2 )dqα(2) − H̄(t2 )dt1 − dS(q (1) , t1 ; q (2) , t1 + t) .α=1(5.67)Поскольку конечное состояние системы однозначно определяется начальным, соответствие между точками областей g, G можно рассматривать как преобразование координат(q (1) , p(1) ) → (q (2) , p(2) ). Сравнение уравнений (5.38) и (5.67) показывает тогда, что этопреобразование является каноническим с производящей функциейF (q (1) , q (2) , t1 ) = −S(q (1) , t1 ; q (2) , t1 + t) ,причем q (1) , p(1) играют роль старых обобщенных координат и обобщенных импульсов, аq (2) , p(2) – новых.
С другой стороны, выше было доказано, что фазовый объем инвариантенотносительно канонических преобразований. Таким образом, мы приходим к выводу, чтообъемы областей g и G равны, т.е. фазовый объем сохраняется при движении системы.Этот результат, называемый теоремой Лиувилля, играет важнейшую роль в статистической физике.80§5.5. Действие как функция координат и времениРис. 10: Эволюция области в фазовом пространстве в случае одномерной системы.D.Уравнение Гамильтона-ЯкобиСоотношения (5.60), (5.64) позволяют записать замкнутое уравнение для функцииS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ).
Для этого зафиксируем момент времени t1 и начальные координаты q (1) ибудем рассматривать зависимость действия лишь от параметров t2 , q (2) , обозначая их длякраткости просто t, q. Соответственно, обозначение S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) сократим до S(q, t).Поскольку в дальнейшем все величины вычисляются на действителной траектории, черта над q, p, H будет опускаться.
Выражая аргументы p функции Гамильтона в правойчасти (5.64) через производные от действия с помощью (5.60), приходим к уравнениюГамильтона-Якоб赶∂S∂S+ H q,,t = 0.(5.68)∂t∂qУравнение (5.68) является нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка для действия S(q, t), являющегося функцией от s+1 независимыхпеременных: s координат qα и времени t.
Оказывается, что уравнение Гамильтона-Якобивполне эквивалентно уравнениям Гамильтона (или Лагранжа), в том смысле что решениями этого уравнения определяется также и закон движения системы. Однако для этогоподходит далеко не всякое решение. Например, для свободной частицы уравнение (5.68)имеет такое малоинтересное решение: S(q, t) = A с произвольной постоянной A. Выделимнужный нам класс решений следующим определением: полным интегралом уравненияГамильтона-Якоби для системы с s степенями свободы называется его решение, содержащее ровно s + 1 независимых произвольных постоянных интегрирования.
Одной из этихпостоянных будет аддитивная постоянная, поскольку S входит в уравнение (5.68) толькочерез свои производные, так что если некоторое S(q, t) является его решением, то решением является и S 0 (q, t) = S(q, t)+A. Полный интеграл будем обозначать через S(q, C, t)+A,где C = {Cα } , α = 1, ..., s есть набор s независимых произвольных постоянных.Покажем теперь каким образом можно найти закон движения системы, если известенполный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби. Для этого совершим каноническое преобразование переменных q, p → Q, P, выбрав в качестве производящей функции Φ(q, P, t) =81Глава 5.
Канонический формализмS(q, P, t). Другими словами, функциональная зависимость действия от Cα , α = 1, ..., sрассматривается как зависимость от новых обобщенных импульсов Pα , α = 1, ..., s. Такое рассмотрение допустимо, т.к. постоянные Cα по условию независимы и произвольны.Тогда согласно формулам перехода (5.43) – (5.45) получим∂S, α = 1, ..., s ,∂qα∂SQα =, α = 1, ..., s ,∂Pα∂SH0 = H +.∂tpα =(5.69)(5.70)(5.71)Но поскольку S удовлетворяет уравнению (5.68), то новая функция Гамильтона H 0 ≡ 0.Поэтому уравнения Гамильтона в новых переменных Q, P имеют следующий простой вид∂H 0= 0,∂Qα∂H 0Q̇α == 0.∂PαṖα = −(5.72)(5.73)Из уравнения (5.72) следует постоянство новых импульсов Pα , α = 1, ..., s (эти постоянныемы будем по-прежнему обозначать через Cα ), а из уравнения (5.73) – постоянство новыхкоординат Qα , α = 1, ..., s .
Учитывая это обстоятельство, вернемся снова к уравнениям(5.69) – (5.70). Первое из этих уравнений воспроизводит соотношение (5.60), определяющее обобщенные импульсы в данной точке траектории по действию системы. Второеже связывает обобщенные координаты системы и время, т.е. определяет закон движениясистемы.Итак, формулируем общий алгоритм решения основной задачи механики методомГамильтона-Якоби.a.
По функции Лагранжа системы построить ее функцию Гамильтона [см. §5.1].b. С помощью найденной функции Гамильтона записать уравнение Гамильтона-Якоби(5.68).c. Найти решение этого уравнения S(q, C, t) + A, содержащее независимые произвольные постоянные C (помимо аддитивной постоянной A) в числе, равном числу степеней свободы системы.d. Продифференцировать найденную функцию S(q, C, t) по произвольным постояннымC, приравнивая результаты дифференцирования новым произвольным постояннымQ:∂S(q, C, t)= Qα∂Cα82α = 1, ..., s .(5.74)§5.5. Действие как функция координат и времениE.Разделение переменных в уравнении Гамильтона-ЯкобиПолный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби может быть найден в квадратурах вслучае так называемых систем с разделяющимися переменными.
Перепишем уравнение(5.68) схематически в вид嵶∂S∂S ∂SF q1 , ..., qs , t,, ...,,= 0.(5.75)∂q1∂qs ∂tПредположим, что какая-либо из независимых переменных, скажем q1 , входит в это уравнение вместе с соответствующей производной ∂S/∂q1 в некоторой комбинации, не содержащей явно других переменных (неявно в S входят все переменные). Это означает, чтоуравнение (5.75) имеет специальный видµ µ¶¶∂S∂S∂S ∂SF f q1 ,, q2 , ..., qs , t,, ...,,= 0.(5.76)∂q1∂q2∂qs ∂tВ этом случае говорят, что переменная q1 отделяется. Тогда решение уравненияГамильтона-Якоби можно искать в видеS(q, t) = S1 (q1 ) + S 0 (q2 , ..., qs , t) .Подставляя это выражение в уравнение (5.76), получаемµ µ¶¶dS1∂S 0 ∂S 0∂S 0F f q1 ,, ...,,= 0., q2 , ..., qs , t,dq1∂q2∂qs ∂t(5.77)(5.78)В результате в уравнении Гамильтона-Якоби выделилась комбинация f (q1 , dS1 /dq1 ) , которая ни явно, ни неявно не содержит переменные q2 , ..., qs , t.
Поскольку же все переменные q1 , ..., qs , t в уравнении Гамильтона-Якоби являются независимыми, то равенство(5.78) может выполняться только в том случае, когда эта комбинация тождественно равнанекоторой постоянной:µ¶dS1f q1 ,= C1 .(5.79)dq1Уравнение (5.79) является уже обыкновенным дифференциальным уравнением первогопорядка, которое может быть решено в квадратурах. Уравнение же (5.78) принимает ви䵶∂S 0 ∂S 0∂S 0F C1 , q2 , ..., qs , t,, ...,,= 0.(5.80)∂q2∂qs ∂tЭто уравнение имеет тот же вид, что и исходное уравнение (5.75), но содержит на однунезависимую переменную меньше.
Может оказаться, что в уравнении (5.80) некоторая изпеременных q2 , ..., qs , t снова отделяется. Тогда к ней следует применить описанную вышепроцедуру. Если таким образом удается отделить все переменные, то в результате мыполучаем решение уравнения Гамильтона-Якоби в видеS = A + S0 (t) +sXSα (qα , C) ,(5.81)α=1содержащее s + 1 независимых произвольных постоянных A, Cα , α = 1, ..., s, т.е.
полныйинтеграл.83Глава 5. Канонический формализмПример 22. Движение в поле электрического диполя. Рассмотрим заряженную материальную точку, движущуюся в поле системы зарядов на расстояниях, больших по сравнениюс характерными размерами системы. Даже если система является в целом электрическинейтральной, на точку будет действовать некоторая сила благодаря тому, что кулоновыполя частиц, составляющих систему, не вполне компенсируют друг друга. Например, придвижении электрона в поле молекулы H Cl электрон будет притягиваться к молекуле,облетая ее со стороны атома водорода, и отталкиваться со стороны атома хлора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
