К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Математически, эта “размазанность” электрона выражается в том, что положение электрона в квантовой механике должно описываться не тремяпараметрами (обобщенными координатами), имеющими в каждый момент времени определенные значения, а некоторой функцией пространственных координат.
Эта функцияназывается волновой функцией. Она определяет, таким образом, степень “размазанности”частицы в пространстве. Например, для того чтобы в опыте Дэвиссона-Джермера наблюдалась интерференционная картина, эта размазанность (т.е. область, в которой волновая89Глава 6. Переход от классической механики к квантовойфункция отлична от нуля) должна быть больше периода кристаллической решетки, такчтобы электрон рассеивался одновременно на нескольких атомах.
Напротив, в областях,в которых электрон находиться не может, она должна быть равна нулю. Поскольку интерференционные картины, наблюдающиеся в опытах по рассеянию электронных и электромагнитных волн, очень похожи друг на друга, а электромагнитные поля удовлетворяют линейным уравнениям Максвелла, то естественно предположить, что линейностьявляется свойством также и уравнений квантовой механики.
Таким образом, мы делаемследующееПредположение 1: Уравнение для волновой функции должно быть линейным.С другой стороны, мы видели выше (на простейшем примере одномерного движения),что уравнения классической механики могут быть приближенно представлены в линейномвиде. А именно, как было указано в конце предыдущего параграфа, уравнение Шредингера (6.6), “полученное” из уравнения Гамильтона-Якоби при ~ → 0, является линейным.Поэтому естественно сделатьПредположение 2: уравнение (6.6) является в действительности точным, и его следует принять в качестве основного уравнения квантовой механики, отождествив функциюΨ(x, t) с волновой функцией.Сами по себе эти предположения пока еще не отменяют классических понятий законадвижения и траектории, поскольку переход по формуле (6.1) от функции S(x, t) к Ψ(x, t)представляет собой не более, чем замену неизвестной функции.
Закон движения и уравнения траектории в классической механике определяются решением уравнения ГамильтонаЯкоби по правилу (5.74). Напомним, что в самом уравнении Гамильтона-Якоби переменные x, t являются независимыми, и только после подстановки его решения в уравнения(5.74) возникает зависимость x(t), т.е. закон движения. Поэтому отказ от этого понятияозначает отмену уравнений (5.74). Таким образом, мы делаемПредположение 3: Эволюция системы в квантовой механике определяется полностью одним лишь уравнением Шредингера.
При этом аргументы x, t волновой функцииостаются полностью независимыми.Предположения 1 – 3 в корне меняют понятие состояния системы (см. §1.1). А именно,поскольку уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением первого порядка по времени, то для однозначного его решения, т.е. определения эволюции системы,следует задать лишь начальное значение функции Ψ(x, t) в некоторый момент времени t = t0 , тогда как в классическом случае требовалось задать дополнительно значенияпостоянных Qα в уравнениях (5.74).
Но и этого изменения понятия состояния еще недостаточно для того, чтобы получить принципиально новую механику. Если мы отказываемсяот знания части начальных условий в форме набора постоянных Qα , ограничиваясь заданием Ψ(x, t0 ), то это означает лишь изменение способа наблюдения за системой, а нефизических свойств самой системы. Действительно, этот отказ вносит в описание системы неопределенность, аналогичную неопределенности термодинамического описания, прикотором наблюдатель отказывается от знания всей совокупности данных о координатахи скоростях отдельных частиц системы, заменяя ее гораздо меньшим числом параметров(температура, давление, концентрации отдельных компонент и их химические потенциалы и т.д.).
Рассмотрим, например, атом водорода. Даже если наблюдатель отказался отпопытки точно измерить значения параметров Qα , задающих закон движения электрона,эти параметры в действительности имеют какие-то определенные значения, т.е. электрондвижется по определенной траектории. Но согласно электродинамике любое ускоренноедвижение заряда приводит к излучению им электромагнитных волн. Эти волны непре90§6.2. Основные предположения квантовой теориирывно уносят энергию электрона, так что он в конце концов должен упасть на протон,что абсолютно противоречит наблюдаемой стабильности атома.
Поэтому связанные состояния электрона должны описываться такими волновыми функциями, которые менеевсего соответствуют движению по определенным траекториям. Способ допустить такиесостояния подсказывает линейность уравнения Шредингера. А именно, пусть каждая изфункций Ψ1 (x, t) и Ψ2 (x, t) описывает некоторое движение частицы. Обе эти функции удовлетворяют уравнению Шредингера. Тогда в силу Предположения 1 ему удовлетворяет илюбая линейная комбинация c1 Ψ1 (x, t) + c2 Ψ2 (x, t), где c1 , c2 – произвольные комплексныепостоянные. Конечно, ниоткуда не следует a priori, что функция c1 Ψ1 (x, t) + c2 Ψ2 (x, t)будет описывать какое-либо реальное физическое состояние, но опять-таки по аналогиис электромагнитной теорией этого естественно ожидать.
Поэтому мы делаемПредположение 4: Если каждая из функций Ψ1 (x), Ψ2 (x) описывает возможное состояние системы, то и любая их линейная комбинация, или суперпозиция, c1 Ψ1 (x)+c2 Ψ2 (x)с произвольными комплексными постоянными c1 , c2 также описывает возможное состояние.Это предположение называется принципом суперпозиции. Оно играет важнейшую рольво всей квантовой теории. Принцип суперпозиции делает неопределенность в квантовомеханическом понятии состояния реальной, т.е. не связанной с простым отбрасываниемнаблюдателем части данных о системе.
Именно принцип суперпозиции означает радикальный отход от классических представлений о движении, поскольку говорить о наложении движений частицы по различным траекториям в рамках классической механикибессмысленно. Наложение различных состояний означает, в частности, что координатычастицы, вообще говоря, не имеют определенных значений. Эта неопределенность и соответствует той “размазанности” частицы в пространстве, о которой говорилось в началеэтого параграфа. С другой стороны, как показывает опыт, в каждый отдельный моментвремени положение частицы может быть определено с любой точностью, но при этомизмерения координат частицы, проводимые в одних и тех же условиях и для одного итого же состояния частицы, дают различные результаты.
Различные значения координат появляются с различной частотой, зависящей от конкретного состояния частицы.Это конкретизирует понятие “размазанности” и означает, что координаты частицы могутпринимать различные значения с различной вероятностью. Таким образом, измерениекоординат в квантовой механике является вероятностным процессом. Подчеркнем ещераз отличие квантовомеханического понятия о вероятности от термодинамического. Вероятность в квантовой механике связана с описанной выше принципиальной неопределенностью в положении частицы и не может быть устранена усовершенствованием измерительной техники.
Поскольку размазанность частицы определяется волновой функцией,то естественно предположить, что именно волновая функция определяет распределениевероятностей координат частиц. Следуя аналогии с электромагнитным полем, энергия(интенсивность) которого в некоторой малой области пространства определяется квадратом напряженности электрического или магнитного полей в этой области, естественносделатьПредположение 5: Вероятность нахождения частицы в данной малой области пространства пропорциональна квадрату модуля значения волновой функции в этой точке.Например, в одномерном случае вероятность найти частицу на интервале dx около точкиx0 будет пропорциональна |Ψ(x0 , t)|2 dx. Отсюда сразу вытекаютСледствие 1: волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат, поскольку в противном случае вероятность нахождения частицы в малой91Глава 6. Переход от классической механики к квантовойобласти, окружающей точку разрыва непрерывности Ψ(x, t), зависела бы от выбора точкив этой малой области, что физически бессмысленно.Следствие 2: поскольку сумма всех вероятностей должна быть равна единице, а вероятность пропорциональна |Ψ(x, t)|2 dx, то волновая функция должна быть нормируе+∞Rма, т.е.
интегралdx|Ψ(x, t)|2 должен быть конечен. В этом случае заменой Ψ → CΨ,−∞C = const, допустимой в силу Предположения 4, можно добиться выполнения равенства+∞Rdx|Ψ(x, t)|2 = 1 . Тогда вероятность найти частицу на интервале dx около точки x0 бу−∞дет в точности равна |Ψ(x0 , t)|2 dx. Константу C, подобранную таким образом, называютнормировочной постоянной.§6.3.Механика квазиклассической частицыДля классических систем условие (6.2) выполняется по определению всегда. При определенных условиях оно может выполняться также и для чисто квантовой системы.
Другими словами, хотя данная система и проявляет квантовые свойства (например, можетописываться суперпозицией состояний, различных с классической точки зрения), но еесостояние таково, что выполняется условие S(x, t)/~ À 1, так что функция (6.1) попрежнему приближенно удовлетворяет уравнению Шредингера. Систему, находящуюся втаком состоянии, называют квазиклассической. Посмотрим, что получится, если применить сделанные выше Предположения к квазиклассической частице.A.Свободное движение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
