К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В частности,состояние с наименьшей энергией является абсолютно устойчивым.100§7.1. Конфигурационное пространство, функции и операторыГлава 7.ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИКонцептуальные Предположения 1–5, сделанные в предыдущей главе, будут теперьестественным образом обобщены и приняты в качестве постулатов квантовой механики.Для этого необходимо предварительно определить понятие оператора физической величины и изучить основные свойства операторов.§7.1.Конфигурационное пространство, функции и операторыРассмотрим систему, состоящую из N материальных точек (частиц), положение которых в пространстве определяется радиус-векторами ri , i = 1, ..., N. Введем 3N -мерноепространство и в нем декартову систему координат, по осям которой откладываются декартовы координаты векторов ri = (xi , yi , zi ), i = 1, ..., N.
Это пространство называютконфигурационным пространством системы. Через dτ обозначим элемент объема конфигурационного пространстваNYdτ ≡dxi dyi dzi .i=1Рассмотрим, далее, на конфигурационном пространстве множество однозначных ограниченных непрерывных комплексных функций Ψ(r1 , ..., rN ). Ограниченность означает, чтодля каждой функции Ψ(r1 , ..., rN ) можно найти такое число AΨ , что |Ψ(r1 , ..., rN )|2 < AΨдля всех ri , i = 1, ..., N.
Кроме того, везде за исключением лишь §8.3 и §8.6, мы будем считать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные любого порядка покаждому из своих аргументов. Множество всех таких функций обозначим через M. Длялюбых двух функций Ψ1 (r1 , ..., rN ) и Ψ2 (r1 , ..., rN ) из M любая их линейная комбинацияc1 Ψ1 (r1 , ..., rN ) + c2 Ψ2 (r1 , ..., rN ) с произвольными комплексными коэффициентами c1 , c2также является однозначной ограниченной функцией и имеет производные любого порядка, и потому принадлежит M. Таким образом, M является векторным пространством,а его элементы, т.е.
функции Ψ(r1 , ..., rN ), – векторами в этом пространстве. Аргументы r1 , ..., rN в обозначении вектора обычно будут опускаться. Совокупность n векторовΨk , k = 1, ..., n называется линейно-зависимой, если существует такой набор n комплексных чисел ck , k = 1, ..., n, не все из которых равны нулю, что для всех r1 , ..., rN справедливоравенствоnXck Ψk = 0 .k=1Если это равенство выполняется лишь в случае, когда все ck = 0, то говорят, что векторыΨk , k = 1, ..., n являются линейно-независимыми.Говорят, что на M определен оператор fˆ, если задано правило, по которому любойфункции Ψ(r1 , ..., rN ) ∈ M сопоставляется некоторая другая функция (fˆΨ)(r1 , ..., rN ) ∈M.
Символ fˆΨ заключен здесь в скобки с целью подчеркнуть, что аргументы r1 , ..., rNотносятся уже не к вектору Ψ, а к результату действия на него оператора fˆ. Говорят также, что оператор fˆ переводит вектор Ψ в вектор fˆΨ, или что fˆΨ есть результат действияfˆ на Ψ. Оператор fˆ называется линейным, если для любых векторов Ψ1 , Ψ2 и любыхкомплексных постоянных c1 , c2 справедливо равенствоfˆ (c1 Ψ1 + c2 Ψ2 ) = c1 fˆΨ1 + c2 fˆΨ2 .101(7.1)Глава 7. Основные положения квантовой механикиОпределим произведение оператора fˆ на комплексное число c. Обозначив это произведение через cfˆ, зададим его действие на произвольный вектор Ψ равенством(cfˆ)Ψ = c(fˆΨ) .(7.2)Далее, суммой двух операторов fˆ1 , fˆ2 назовем оператор fˆ1 + fˆ2 , действие которого налюбой Ψ определено согласно(fˆ1 + fˆ2 )Ψ = fˆ1 Ψ + fˆ2 Ψ .(7.3)Наконец, произведением двух операторов fˆ1 , fˆ2 назовем оператор fˆ1 fˆ2 , действие которогона произвольный вектор Ψ определяется как результат последовательного действия нанего операторов fˆ1 , fˆ2 :(fˆ1 fˆ2 )Ψ = fˆ1 (fˆ2 Ψ) .(7.4)Если для данного оператора fˆ существует такой оператор fˆ−1 , что для любого Ψ выполняются тождестваfˆfˆ−1 Ψ = Ψ ,fˆ−1 fˆΨ = Ψ ,(7.5)(7.6)то говорят, что оператор fˆ−1 является обратным оператору fˆ.
Ввиду произвольности Ψ,определение (7.5), (7.6) можно переписать в операторном виде какfˆfˆ−1 = 1̂ ,fˆ−1 fˆ = 1̂ ,где единичный оператор 1̂ определен равенством1̂Ψ = Ψ .Используя определения (7.2) – (7.4), можно строить суммы и произведения любого числаоператоров, включая их “отрицательные степени” (при условии существования обратныхоператоров).Заметим, что из определения (7.3) следует, что fˆ1 + fˆ2 = fˆ2 + fˆ1 . Действительно,(fˆ1 + fˆ2 )Ψ = fˆ1 Ψ + fˆ2 Ψ = fˆ2 Ψ + fˆ1 Ψ = (fˆ2 + fˆ1 )Ψ .Другими словами, сумма операторов не зависит от их порядка, т.е. сложение операторовкоммутативно. С другой стороны, умножение операторов, вообще говоря, не являетсякоммутативным, т.е. fˆ1 fˆ2 6= fˆ2 fˆ1 .
Разность fˆ1 fˆ2 − fˆ2 fˆ1 называется коммутатором операторов fˆ1 , fˆ2 и обозначается через [fˆ1 , fˆ2 ] :[fˆ1 , fˆ2 ] = fˆ1 fˆ2 − fˆ2 fˆ1 .Если [fˆ1 , fˆ2 ] = 0, то говорят, что оператор fˆ1 коммутирует с оператором fˆ2 , или чтооператоры fˆ1 , fˆ2 являются коммутирующими.102§7.1. Конфигурационное пространство, функции и операторыПример 25. Функции из пространства M. Рассмотрим одномерное движение частицы,и пусть x обозначает ее декартову координату, x ∈ (−∞, +∞) . Конфигурационное пространство в этом случае – прямая x ∈ (−∞, +∞).
Функция Ψ1 (x) = 1 однозначна, ограничена и дифференцируема любое число раз, следовательно, Ψ1 ∈ M. Функция Ψ2 (x) = xтакже однозначна и дифференцируема любое число раз, но не является ограниченной,т.к. |Ψ2 | → ∞ при x → ±∞, поэтому Ψ2 ∈/ M. Далее, функция Ψ3 (x) = e−|x| однозначна, ограничена и непрерывна, но ее производная имеет разрыв в точке x = 0, и потомуΨ3 ∈/ M. С функциями подобного типа мы будем иметь дело лишь в §8.3 и §8.6.
Какмы увидим, в некотором ограниченном смысле такие негладкие функции все же мож2но включать в множество M. Наконец, функция Ψ4 (x) = e−x однозначна, ограничена иимеет производные любого порядка, следовательно, Ψ4 ∈ M.Пример 26. Линейные операторы. Рассмотрим снова одномерное движение частицы пооси x. Пусть U (x) – обычная функция переменной x, удовлетворяющая тем же условиям,что и функции из M.
Определим оператор Û формулой(Û Ψ)(x) = U (x)Ψ(x) ,(7.7)где Ψ – произвольный вектор. Оператор Û является линейным. Действительно, для произвольных комплексных чисел c1 , c2 и произвольных векторов Ψ1 , Ψ2 имеем по определению(7.7)(Û (c1 Ψ1 + c2 Ψ2 ))(x) = U (x)(c1 Ψ1 + c2 Ψ2 )(x) = c1 U (x)Ψ1 (x) + c2 U (x)Ψ2 (x)= c1 (Û Ψ1 )(x) + c2 (Û Ψ2 )(x) ,(7.8)или, опуская аргумент x в обозначении векторов,Û (c1 Ψ1 + c2 Ψ2 ) = c1 Û Ψ1 + c2 Û Ψ2 ,что в соответствии с определением (7.1) и означает линейность оператора Û .Определим, далее, оператор T̂a формулой(T̂a Ψ)(x) = Ψ(x + a) ,где a – вещественное число.
Поскольку действие оператора T̂a на функцию Ψ(x) сводитсяк прибавлению числа a к ее аргументу, его называют оператором сдвига на расстояниеa. Имеем³´T̂a (c1 Ψ1 + c2 Ψ2 ) (x) = (c1 Ψ1 + c2 Ψ2 )(x + a) = c1 Ψ1 (x + a) + c2 Ψ2 (x + a)= c1 (T̂a Ψ1 )(x) + c2 (T̂a Ψ2 )(x) ,илиT̂a (c1 Ψ1 + c2 Ψ2 ) = c1 T̂a Ψ1 + c2 T̂a Ψ2 .Итак, по определению (7.1) оператор T̂a является линейным.Наконец, определим оператор инверсии P̂ формулой(P̂ Ψ)(x) = Ψ(−x) .103Глава 7. Основные положения квантовой механикиЭтот оператор также является линейным, поскольку³´P̂ (c1 Ψ1 + c2 Ψ2 ) (x) = (c1 Ψ1 + c2 Ψ2 )(−x) = c1 Ψ1 (−x) + c2 Ψ2 (−x)= c1 (P̂ Ψ1 )(x) + c2 (P̂ Ψ2 )(x) .Приведем примеры операторов, не являющихся линейными.
Пусть действие оператораĈ на функцию Ψ задается формулой(ĈΨ)(x) = {Ψ(x)}∗ .Поскольку вещественный аргумент функции Ψ(x) при действии оператора Ĉ не изменяется, это определение можно записать короче такĈΨ = Ψ∗ .ИмеемĈ(c1 Ψ1 + c2 Ψ2 ) = (c1 Ψ1 + c2 Ψ2 )∗ = c∗1 Ψ∗1 + c∗2 Ψ∗2 = c∗1 ĈΨ1 + c∗2 ĈΨ .Таким образом,Ĉ(c1 Ψ1 + c2 Ψ2 ) 6= c1 ĈΨ1 + c2 ĈΨ ,и следовательно, оператор Ĉ не является линейным. Оператор Â, определенный согласноÂΨ = Ψ2 ,также не является линейным, т.к.Â(c1 Ψ1 + c2 Ψ) = (c1 Ψ1 + c2 Ψ2 )2 = c21 Ψ21 + 2c1 c2 Ψ1 Ψ2 + c22 Ψ22 6= c1 Ψ21 + c2 Ψ22 .Пример 27. Обратные операторы, произведения операторов и их коммутаторы. Вычислимоператоры, обратные операторам, определенным в предыдущем примере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
