К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть Ψ1 , Ψ2 –два произвольных вектора состояния частицы. Тогда, используя явную формулу (7.9) для скалярногопроизведения, формулу (7.26) и учитывая вещественность координат, найдемZ+∞ Z+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞ Z+∞∗(Ψ1 , r̂Ψ2 ) =dxdydzΨ1 rΨ2 =dxdydz(rΨ1 )∗ Ψ2 = (r̂Ψ1 , Ψ2 ) .−∞ −∞ −∞−∞ −∞ −∞Сравнение с определением (7.11) показывает, что оператор r̂ – эрмитов. Проверим теперь, что оператор обобщенного импульса частицы также является эрмитовым. Здесьуже приходится действовать покомпонентно, интегрируя по частям:µ¶Z+∞ Z+∞ Z+∞∂Ψ2∗(Ψ1 , p̂x Ψ2 ) =dxdydzΨ1 −i~∂x−∞ −∞ −∞¯x=+∞¯Z+∞ Z+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞¯∂Ψ∗∗+ i~dxdydz 1 Ψ2 .= −i~dydzΨ1 Ψ2 ¯¯∂x¯−∞ −∞x=−∞−∞ −∞ −∞Как мы знаем, функции, описывающие возможные состояния системы, стремятся к нулю,если хотя бы один из ее аргументов стремится к бесконечности. Поэтому первый член во113Глава 7.
Основные положения квантовой механикивторой строке равен нулю, так что мы получаем¶∗µZ+∞ Z+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞ Z+∞∂Ψ∗1∂Ψ1(Ψ1 , p̂x Ψ2 ) = i~dxdydzΨ2 =dxdydz −i~Ψ2∂x∂x−∞ −∞ −∞−∞ −∞ −∞= (p̂x Ψ1 , Ψ2 ) .Аналогичным образом проверяется эрмитовость двух других компонент. Таким образом,p̂+ = p̂ .Пример 31. Коммутаторы операторов координат и импульсов. Поскольку действие операторов координат частицы сводятся к умножению на соответствующие координаты, то всеони коммутируют друг с другом, например, (x̂ŷ)Ψ = x̂(ŷΨ) = x̂(yΨ) = xyΨ = yxΨ =ŷ(xΨ) = ŷ(x̂Ψ) = (ŷx̂)Ψ, т.е. (x̂ŷ − ŷx̂)Ψ = [x̂, ŷ]Ψ = 0, или, в операторном виде, [x̂, ŷ] = 0.Аналогично найдем для всех частиц системы[r̂i , r̂j ] = 0 ,i, j = 1, ..., N .Коммутируют также операторы разноименных компонент радиус-векторов и обобщенныхимпульсов, а также операторы, относящиеся к различным частицам:½ µ¶ µ¶ ¾∂(x1 Ψ)∂∂∂Ψ[x̂1 , p̂y1 ]Ψ = x1 −i~+ i~= 0,− −i~x1 Ψ = −i~x1∂y1∂y1∂y1∂y1поскольку ∂x1 /∂y1 = 0 в силу независимости x, y компонент радиус-вектора первой частицы, и½ µ¶ µ¶ ¾∂∂(x1 Ψ)∂∂Ψ[x̂1 , p̂x2 ]Ψ = x1 −i~− −i~x1 Ψ = −i~x1+ i~= 0,∂x2∂x2∂x2∂x2поскольку ∂x1 /∂x2 = 0 в силу независимости компонент радиус-векторов первой и второйчастиц.
Однако, операторы одноименных компонент радиус-вектора и импульса одной итой же частицы не коммутируют:½ µ¶ µ¶ ¾∂∂∂(x1 Ψ)∂Ψ[x̂1 , p̂x1 ]Ψ = x1 −i~− −i~x1 Ψ = −i~x1+ i~∂x1∂x1∂x1∂x1∂Ψ∂Ψ∂x1+ i~Ψ+ i~x1= i~Ψ .(7.31)= −i~x1∂x1∂x1∂x1В силу произвольности Ψ это важное равенство можно переписать в операторном виде,опуская для краткости индекс 1[x̂, p̂x ] = i~ .(7.32)Пример 32. Гамильтониан линейного гармонического осциллятора. Функция Гамильтонагармонического осциллятора имеет вид (см. 15)H(x, p) =mω 2 x2p2+.2m2114(7.33)§7.4. Вычисление распределений вероятностейЗаменяя в ней p → p̂ = −i~∂/∂x, получаем гамильтониан осциллятораp̂2mω 2 x2mω 2 x2~2 ∂ 2Ĥ =+=−+.2m22m ∂x22(7.34)В соответствии с формулой (7.4) квадрат оператора импульса записан как результат повторного действия этого оператора:µ¶∂∂Ψ∂ 2Ψ2p̂ Ψ = p̂(p̂Ψ) = −i~−i~= −~2 2 ,∂x∂x∂xили, в операторном виде,p̂2 = −~2∂2.∂x2Пример 33.
Оператор производной по времени физической величины. Согласно постулаˆ˙ соответствующий полной производной df /dtту III, для того чтобы найти оператор f,от данной величины f (r, p, t), следует сначала выразить df /dt через ri и pi . Это можно сделать с помощью уравнений Гамильтона, или используя явную формулу (5.15), азатем произвести обычную замену pi → p̂i .
Рассмотрим эту процедуру на примере одной частицы массы m, движущейся в потенциале U (r). Функция Гамильтона частицыˆ Согласно уравнениям ГамильтонаH(r, p) = p2 /(2m) + U (r). Найдем ṙ.ṙ =∂Hp=.∂pmПоэтому ṙˆ = p̂/m = −i~m−1 ∂/∂r. Аналогично, для производной обобщенного импульсаимеем∂H∂Uṗ = −=−,∂r∂rˆ = −∂U/∂r.
Наконец, ускорение частицы r̈ = ṗ/m = −m−1 ∂U/∂r, откудаи потому ṗследуют “квантовые уравнения Ньютона”b̈ = −mr§7.4.∂U.∂rВычисление распределений вероятностей физических величинВ этом параграфе будет получено важное следствие постулата III, а именно, правиловычисления распределений вероятностей физических величин. Все рассмотрение относится к некоторому фиксированному моменту времени, и аргумент t у волновых функцийбудет для краткости опускаться.A.Собственные функции и собственные значения операторов. Теорема о разложенииРассмотрим n-мерное вещественное евклидово пространство, т.е.
пространство векторов a = (a1 , ..., an ) с вещественными компонентами, в котором для любой пары векторов115Глава 7. Основные положения квантовой механикиa, b определено скалярное произведение (a, b) =nPai bi . Если задана вещественная квад-i=1ратная матрица Mik i, k = 1, ..., n, то говорят, что вектор a(m) 6= 0 является собственнымдля этой матрицы, если он удовлетворяет уравнениюnX(m)Mik ak(m)= mai ,i = 1, ..., n,k=1где m – некоторое комплексное число, называемое ее собственным значением. Как известно из курса линейной алгебры, если матрица Mik симметрична, т.е. Mik = Mki длявсех i, k = 1, ..., n, то существует ровно n линейно-независимых собственных векторовэтой матрицы, причем ее собственные значения вещественны, а собственные векторы,соответствующие различным собственным значениям, ортогональны (их скалярные произведения равны нулю).
Поскольку n линейно-независимых векторов образуют базис вn-мерном пространстве, то любой вектор a можно представить в виде линейной комбинации собственных векторов матрицы M, или, как говорят, разложить a по a(m) :Xa=cm a(m) ,где {cm } есть набор из n вещественных чисел.Вводимое в этом пункте понятие о собственных функциях и собственных значенияхоператоров является прямым обобщением соответствующих понятий линейной алгебрына бесконечномерный случай, каким является векторное пространство функций. Рольматриц играют операторы, причем обобщением вещественной симметричной матрицы ввещественном евклидовом пространстве является эрмитов оператор действующий в бесконечномерном пространстве комплексных функций.Итак, пусть задан некоторый оператор fˆ и некоторое комплексное число f.
Если уравнениеfˆΨf = f Ψf(7.35)имеет решение Ψf ∈ M, причем Ψf 6= 0, то говорят, что Ψf является собственной функцией (или собственным вектором) оператора fˆ, а f – его собственным значением. Совокупность всех собственных значений оператора называют его спектром. В случае, когдаодному и тому же собственному значению соответствует r > 1 линейно-независимых собственных функций, собственное значение называют вырожденным, а r – кратностью еговырождения. Если все собственные значения оператора можно пронумеровать, то говорят, что этот оператор имеет дискретный спектр. В противном случае в спектре оператора имеются значения, целиком заполняющие некоторые области, называемые областяминепрерывного спектра. Заметим сразу же, что нет никаких физических оснований ожидать, что собственные функции операторов будут описывать возможные состояния системы и, в частности, будут нормируемыми.
Напротив, как мы увидим ниже, собственныефункции, соответствующие собственным значениям из непрерывного спектра, с необходимостью являются ненормируемыми, и потому сами по себе не описывают никаких состояний системы. Нормируемость собственной функции представляет собой дополнительноеусловие, которое выделяет из непрерывного рядасобственных значений некоR возможных2торые определенные, при которых интеграл dτ |Ψf | оказывается сходящимся (однакодискретность спектра еще не означает нормируемости собственных функций, т.е. она является лишь необходимым, но не достаточным условием нормируемости, см.
пример 34). В116§7.4. Вычисление распределений вероятностейсвязи с данным определением собственной функции оператора необходимо сделать такжеследующееЗамечание: в случае оператора координаты условие Ψf ∈ M является чересчур жестким. Действительно, поскольку оператор координаты q̂ есть умножение на q, то из уравненияq̂Ψq0 = q0 Ψq0следует, что собственная функция Ψq0 (q), соответствующая собственному значению q0 ,равна нулю при всех q 6= q0 , а ее значение при q = q0 не определено. Таким образом,Ψq0 (q) ∈/ M. Оказывается, что собственные функции координат принадлежат более широкому классу, называемому в математике классом обобщенных функций (Ψq0 (q) естьтак называемая δ-функция Дирака). Указанное усложнение является по большей частиформальным и несущественным с практической точки зрения, поскольку наиболее интересными в физических применениях являются собственные функции операторов величин,которые в тех или иных условиях сохраняются (энергия, импульс и т.д.).
Для таких функций достаточно данного выше определения. Собственные же функции координат нам вдальнейшем не понадобятся.Покажем, что собственные векторы Ψf , соответствующие различным собственным значениям f, линейно-независимы. Действительно, предположим противное, и пусть длякаких-либо двух Ψf , Ψf 0 существует соотношениеcΨf + c0 Ψf 0 = 0(7.36)с не равными нулю числами c, c0 . Тогда, действуя на это соотношение оператором fˆ, мыполучаемfˆ(cΨf + c0 Ψf 0 ) = cfˆΨf + c0 fˆΨf 0 = cf Ψf + c0 f 0 Ψf 0 = 0 .Умножая уравнение (7.36) на f 0 и вычитая его из последнего соотношения, находимcf 0 Ψf − cf Ψf = 0 .Ввиду условий c 6= 0, f 6= f 0 отсюда следует Ψf = 0, в противоречии с определениемсобственного вектора.Пусть теперь оператор fˆ является эрмитовым и {Ψf } есть совокупность всех его собственных функций.
Имеет место следующая фундаментальная теорема о разложении,которая играет важнейшую роль в квантовой механике: любой вектор состояния Ψ может быть линейно разложен по собственным векторам оператора fˆ, т.е. представленв виде ряда по значениям дискретного спектра и интеграла по значениям непрерывногоспектра от {Ψf } :ZXΨ =cn Ψn + df cf Ψf ,(7.37)nгде cn , cf – комплексные коэффициенты, причем функция c(f ) = cf , стоящая в подынтегральном выражении, является непрерывной функцией переменной f. Если среди собственных значений имеются вырожденные, то соответствующие им собственные функциивходят в правую часть (7.37) независимо друг от друга, т.е. каждая со своим собственнымкоэффициентом. Теорема о разложении является обобщением указанного выше результата линейной алгебры и доказывается в курсе функционального анализа.Систему функций, по которым можно разложить произвольный вектор состояния, называют полной системой функций.
Итак, теорема о разложении утверждает, что системасобственных функций эрмитова оператора является полной.117Глава 7. Основные положения квантовой механикиПример 34. Собственные функции оператора инверсии. Согласно определению оператораинверсии, данному в примере 26, его собственные функции удовлетворяют уравнениюΨP (−x) = P ΨP (x) .(7.38)Как мы знаем из примера 28, оператор инверсии является эрмитовым, поэтому по его собственным функциям можно разложить любой вектор состояния. Проверим это. Заменяяв уравнении (7.38) x → −x и используя это уравнение еще раз, найдемΨP (x) = P ΨP (−x) = P P ΨP (x) ,откуда следует, что P 2 = 1, т.е.
P = ±1. Таким образом, спектр оператора инверсии является дискретным и состоит всего из двух чисел: +1 и −1. Если P = 1, то соответствующиесобственные функции удовлетворяют уравнениюΨ+1 (−x) = Ψ+1 (x) ,т.е. являются четными функциями переменной x. Если же P = −1, то собственные функции удовлетворяютΨ−1 (−x) = −Ψ−1 (x) ,т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
