К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Тогда формула (7.54) перепишется как|(Ψn , Ψ)|2.w(fn ) = P|(Ψm , Ψ)|2(7.55)mРассмотрим отдельно важный частный случай, когда все cn , кроме одного cn0 , равны нулю. Если вектор состояния нормирован, то сумма всех |cn |2 равняется единице, ипоэтому должно быть |cn0 |2 = 1, т.е. вероятность значения fn0 равна единице. Другимисловами, в состоянии Ψ = Ψn величина f имеет определенное значение fn .122§7.4.
Вычисление распределений вероятностейC.Распределение вероятностей обобщенного импульсаВопрос о нормировке собственных функций операторов с непрерывным спектром иоб интерпретации коэффициентов разложения по ним векторов состояния является математически более сложным, чем в случае дискретного спектра, однако окончательныеформулы в обоих случаях практически идентичны.
Мы разберем этот вопрос на конкретном примере оператора импульса.Начнем с нормировки собственных функций оператора импульса. Будем для простотырассматривать одномерный случай. Используя выражение (7.44), находимZ+∞Z+∞2∗dx|A|2 = ∞ .dx|Ψp (x)| =−∞−∞Таким образом, собственные функции оператора импульса являются ненормируемыми.Это означает, что не существует состояний, в которых импульс имеет точно определенное значение. Другими словами, в любом состоянии системы импульс “размазан” понекоторой области собственных значений.Скалярные произведения собственных функций, соответствующих различным p, такжене существуют, поскольку интеграл¯Z+∞Z+∞i(p0 −p)x/~ ¯+∞∗2−ipx/~ ip0 x/~2 e¯dxΨp (x)Ψp0 (x) = |A|dxee= |A| ~i(p0 − p) ¯−∞−∞−∞0не определен (при x → ±∞ выражение ei(p −p)x не стремится ни к какому числу).
С другойстороны, в соответствии с теоремой о разложении (7.37), любой вектор состояния Ψ можетбыть разложен по Ψp :Z+∞Ψ=dp cp Ψp ,(7.56)−∞и по аналогии с дискретным случаем естественно ожидать, что коэффициенты cp в этомразложении должны быть как-то связаны с распределением вероятностей различных значений импульса. Для выяснения этой связи поступим так же как и в случае дискретногоспектра, а именно, рассмотрим среднее значение импульса в состоянии Ψ.Пусть вектор Ψ нормирован. Подставим разложение (7.56) в формулу p̄ = (Ψ, p̂Ψ). Рассматривая интеграл как сумму большого числа членов, мы можем использовать свойства2,3 скалярного произведения для того, чтобы переписать скалярное произведение интегралов как интеграл от скалярных произведений. Однако как мы только что выяснили,скалярные произведения собственных функций не существуют. Для того чтобы все-такиможно было явно выразить величину (Ψ, p̂Ψ) через собственные функции, представимскалярное произведение векторов как предел последовательности интегралов, взятых порасширяющимся областям конфигурационного пространства (именно так и определяются несобственные интегралы, т.е.
интегралы, взятые по бесконечным областям). Пусть,например, каждая такая область определяется условием |x| 6 R, где R есть большое, но123Глава 7. Основные положения квантовой механикиконечное число. Таким образом,Z+RdxΨ∗ (x)Ψ0 (x) ≡ lim (Ψ, Ψ0 )R .(Ψ, Ψ ) = lim0R→∞−RR→∞Теперь величины (Ψp , Ψp0 )R имеют вполне определенные конечные значения при любыхp, p0 , так что мы получаем для среднего значения импульсаZ+∞ Z+∞dpdp0 c∗p cp0 (Ψp , p̂Ψp0 )Rp̄ = lim (Ψ, p̂Ψ)R = limR→∞R→∞−∞= limR→∞−∞−∞Z+∞Z+∞dp c∗pdp0 cp0 p0 (Ψp , Ψp0 )R .(7.57)−∞Для входящих сюда “скалярных произведений” (Ψp , Ψp0 )R имеем, подставляя Ψp (x) =A1 eipx/~ ,¯Z+Ri(p0 −p)x/~ ¯+R02−ipx/~ ip0 x/~2 e¯ = |A1 |2 2~ sin{(p − p)R/~} .(Ψp , Ψp0 )R = |A1 |dxee= |A1 | ~i(p0 − p) ¯−R(p0 − p)−RВеличина sin{(p0 − p)R/~}/(p0 − p), рассматриваемая как функция переменной (p0 − p)/~ ≡u, имеет при больших R следующее интересное свойство – интеграл от произведенияэтой функции с любой непрерывной функцией, взятый по любой области значений u, несодержащей точки u = 0, стремится к нулю при R → ∞.
Так происходит потому, чточем больше R, тем быстрее функция sin(uR) осциллирует вокруг нуля, так что вкладыот близлежащих участков интегрирования сокращают друг друга. Формально это можнопоказать следующим образом. Пусть f (u) – непрерывная функция. Рассмотрим интегралZbI=duf (u)sin(uR),uaпричем 0 ∈/ [a, b].
Разобьем отрезок [a, b] на N отрезков [un , un+1 ], n = 1, ..., N, на каждом из которых функцию f (u)/u можно приближенно считать постоянной. Тогда можнонаписатьuuZn+1¯un+1N Zn+1NNX¯sin(uR) X f (un )1 X f (un ).I=duf (u)≈du sin(uR) = −cos(uR)¯¯uunR n=1 ununn=1n=1ununКаково бы ни было N, последнее выражение можно сделать сколь угодно малым, выбравдостаточно большое R. Таким образом, в интеграле по p0 в правой части уравнения (7.57)ненулевой вклад может дать лишь малая область вокруг значения p0 = p, поэтому мыможем написатьZ+∞Zp+a∗p̄ = limdp cpdp0 cp0 p0 (Ψp , Ψp0 )R ,R→∞−∞p−a124(7.58)§7.4. Вычисление распределений вероятностейгде a > 0 – любое число.
Выберем это число настолько малым, чтобы функцию cp0 p0можно было приближенно считать постоянной на отрезке [p − a, p + a]. Тогда интеграл поp0 можно переписать так:Zp+aZp+asin{(p0 − p)R/~}002dp cp0 p (Ψp , Ψp0 )R = |A1 | 2~dp0 cp0 p0(p0 − p)p−ap−a+aR/~ZZp+a0sin v0 sin{(p − p)R/~}2dp=|A|2~cpdv.≈ |A1 | 2~cp p1p(p0 − p)v2p−a−aR/~В пределе R → ∞ все приближенные равенства в написанных выше формулах становятсяточными. Поэтому, подставляя полученное выражение в формулу (7.58) и учитывая, чтоZ+∞sin vdv= π,v−∞получаем точное равенствоZ+∞p̄ = |A1 | 2~dp p|cp |2 lim+aR/~Z2−∞R→∞−aR/~sin vdv= |A1 |2 2π~vZ+∞dp p|cp |2 .−∞√Положим теперь постоянную A1 равной 1/ 2π~ .
Тогда формула для среднего значенияимпульса примет видZ+∞p̄ =dp p|cp |2 .(7.59)−∞Сравним ее с соответствующей формулой теории вероятностей:Z¯f = df f w(f ) .Функцию w(f ) называют плотностью распределения вероятности для величины f, в томсмысле, что произведение w(f )df есть вероятность обнаружить f в интервале (f, f + df ).Таким образом, мы приходим к следующему важному выводу: при измерении импульса всостоянии, описываемом вектором Ψ, вероятность обнаружить его в интервале (p, p +dp) равна |cp |2 dp, где cp определяется из разложения функции Ψ(x) по функциям Ψp (x) =(2π~)−1/2 eipx/~ :1Ψ(x) = √2π~Z+∞dp cp eipx/~ .(7.60)−∞Формула (7.60) является не чем иным, как разложением функции Ψ(x) в интеграл Фурье.Таким образом, теорема о разложении в рассматриваемом случае является известнойтеоремой Фурье.125Глава 7.
Основные положения квантовой механикиКак мы знаем, собственные функции оператора импульса ненормируемы. Тем не менее, функции Ψp (x) = (2π~)−1/2 eipx/~ называют обычно нормированными собственнымифункциями оператора p̂x , с целью подчеркнуть определенный выбор постоянной A1 .Нетрудно проверить, что сумма всех вероятностей импульса частицы, как и должнобыть, равна единице. Для этого надо проделать ту же выкладку, что привела к формуле(7.60), заменив оператор p̂ единичным оператором. Тогда мы получили бы равенствоZ+∞(Ψ, Ψ) =dp |cp |2 ,−∞откуда и следует сделанное утверждение, поскольку вектор Ψ предполагался нормированным.
Если же коэффициенты cp вычисляются по ненормированному вектору, то распределение |cp |2 должно быть еще нормировано в конце вычислений. В этом случае плотностьраспределения вероятности имеет видw(p) =|cp |2+∞R.dp|cp(7.61)|2−∞Найдем теперь явное выражение для коэффициентов cp . Для этого перепишем формулу(7.60) в видеZ+∞Ψ=dpcp Ψp−∞и умножим ее слева скалярно на вектор Ψp0 . Представляя, как и ранее, скалярное произведение как предел интегралов по областям |x| 6 R, получимZ+∞Z+∞(Ψp0 , Ψ) = Ψp0 ,dp cp Ψp = limdp cp (Ψp0 , Ψp )R .R→∞−∞−∞Интеграл по p, стоящий в правой части, имеет ту же структуру, что и интеграл по p0 вформуле (7.57) и вычисляется точно так же:pZ0 +aZ+∞limdp cp (Ψp0 , Ψp )R = limdp cp (Ψp0 , Ψp )RR→∞−∞R→∞p0 −apZ0 +a= cp0 limR→∞p0 −asin{(p − p0 )R/~}= |A1 |2 2~cp0 limdp|A1 |2 2~R→∞(p − p0 )+aR/~Zdvsin v= |A1 |2 2π~cp0 .v−aR/~Таким образом, cp = (Ψp , Ψ). Эта формула в точности повторяет формулу (7.53) дискретного случая.
Расписывая скалярное произведение, получаем явное выражение длякоэффициентов cp1cp = √2π~Z+∞dxe−ipx/~ Ψ(x) .−∞126(7.62)§7.5. Совместная измеримость физических величинВ случае произвольного эрмитова оператора fˆ с непрерывным спектром и произвольном числе измерений конфигурационного пространства аналогичные вычисления приводят в точности к тем же формулам (7.59), (7.61), в которых следует лишь переобозначитьp → f.
В частности, при трехмерном движении частицы ее волновую функцию следуетразлагать по собственным функциям оператора вектора импульса p̂, которые согласноформуле (7.44) имеют вид1Ψp (r) =ei(pr)/~ .(2π~)3/2В этом случае формулы (7.60) и (7.62) запишутся в виде1Ψ(r) =(2π~)3/2Z +∞ZZd3 p cp ei(pr)/~ ,(7.63)d3 re−i(pr)/~ Ψ(r) ,(7.64)−∞и1cp =(2π~)3/2Z +∞ZZ−∞соответственно.§7.5.A.Совместная измеримость физических величинКоммутативность и совместимостьКак и при всяком физическом измерении, результаты измерений величин, характеризующих квантовую систему, являются в той или иной степени неточными.
Одним изисточников неточности является несовершенство измерительной техники. Как и в классической механике, эта неточность является несущественной в том смысле, что она не ставиткакого-либо предела точности измерений, так что хотя каждое отдельное измерение и является неточным, но ничто, в принципе, не мешает сделать его сколь угодно точным. Вквантовой механике такое же положение имеет место по отношению к индивидуальнымизмерениям величин, т.е. когда каждое измерение состоит в определении значения какойлибо одной величины.
По отношению же к совместным (т.е. одновременным) измерениямразличных величин в квантовой механике имеется еще и другой источник неточности, который в отличие от первого является принципиально неустранимым. Мы увидим ниже,что чем точнее измеряется какая-либо одна величина, тем бóльшие неточности возникают в значениях других величин, измеряемых одновременно с первой. Это не исключаетвовсе возможности совместных измерений, но сильно ограничивает набор величин, которые могут быть сколь угодно точно измерены одновременно. С математической точкизрения это ограничение связано с коммутационными свойствами операторов измеряемыхвеличин, а не со свойствами измерительного прибора или его взаимодействия с измеряемой системой. Поэтому для его изучения не требуется рассматривать динамику процессаизмерения, а достаточно уже результатов, полученных в предыдущем параграфе.
Какмы там выяснили, коэффициенты разложения волновой функции Ψ данного состоянияпо собственным функциям Ψf оператора измеряемой величины f определяют распределение вероятностей различных ее значений. Пусть для определенности оператор fˆ имеет127Глава 7. Основные положения квантовой механикидискретный спектр. Результатом каждого измерения f является одно из чисел fn . Этоозначает, что в момент фиксации измерительным прибором некоторого значения fn система переходит из исходного состояния Ψ в состояние Ψn , соответствующее данномузначению fn , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
