К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Одномерное движениеРис. 12: Поведение решения уравнения Шредингера в случае U (x) < E.Рис. 13: Варианты поведения решения уравнения Шредингера в случае U (x) > E. Кривая ψимеет (ψ 2 )0 (a) > 0; кривые ψ1,2,3 имеют (ψ 2 )0 (a) < 0 и иллюстрируют случаи 1), 2), 3) в тексте.возвращаемся к уже рассмотренной ситуации – функция ψ(x) неограниченно растет поабсолютной величине при x → ∞; 3) обе функции ψ(x), ψ 0 (x) одновременно обращаютсяв нуль в некоторой точке x2 > a. Тогда по выходе из этой точки к значениям x > x2функции ψ(x), ψ 0 (x) имеют одинаковый знак, так что dψ 2 /dx > 0 и функция ψ(x) опятьоказывается неограниченной при x → ∞.
Итак, мы приходим к выводу, что в рассматриваемом случае решение уравнения Шредингера либо неограничено при x → +∞, либостремится к нулю в этом пределе. Покажем, что на самом деле в каждом из пределовx → ±∞ ровно одно из решений с данным E стремится к нулю, а другое неограниченнорастет, так что справедливо136§8.2. Качественное исследование уравнения ШредингераУтверждение β: Если при данном значении E выполняется неравенство E < U (x)в области x > a (x 6 a), то одно из решений уравнения Шредингера стремится к нулю,а другое неограниченно растет в пределе x → +∞ (x → −∞).Докажем сначала, что в каждом из пределов x → ±∞ по крайней мере одно из решенийдолжно быть неограничено. Для этого обозначим линейно-независимые решения черезψ(x), ψ̃(x) и преобразуем уравнения−~2 00ψ + U (x)ψ = Eψ ,2m−~2 00ψ̃ + U (x)ψ̃ = E ψ̃2mследующим образом: умножим первое из них на ψ̃, а второе – на ψ и возьмем их разность.Это даетψ̃ψ 00 − ψ ψ̃ 00 = 0 ,или´d ³ 0ψ̃ψ − ψ ψ̃ 0 = 0 ,dxоткудаψ̃ψ 0 − ψ ψ̃ 0 = C ,(8.9)где C – некоторая константа.
Предположим, что оба решения стремятся к нулю приx → +∞. Тогда, переходя к пределу x → +∞ в уравнении (8.9), получим C = 0, после чего уравнение (8.9) легко интегрируется методом разделения дифференциалов, и приводитк следующему соотношению: ψ(x) = C1 ψ̃(x), где C1 – некоторая новая постоянная. Но эторавенство противоречит предположению о линейной независимости ψ, ψ̃. Таким образом,одно из решений, например, ψ(x) должно быть неограничено при x → ∞.
Тогда, как мывыяснили выше, начиная с некоторого x1 > a, ψ(x) монотонно растет по абсолютной величине. Используя это обстоятельство, мы можем выразить второе линейно-независимоерешение в области x > x1 через ψ(x), а именно, проверим, что функцияZ+∞ψ̃(x) = ψ(x)dyψ 2 (y)(8.10)xудовлетворяет уравнению (8.5) [это не противоречит линейной независимости решений,ведь (8.10) есть нелинейное интегральное соотношение между функциями ψ(x), ψ̃(x)]. Вопервых, ψ̃(x) корректно определена при x > x1 , поскольку ψ не обращается в нуль в этойобласти, а интеграл сходится на верхнем пределе, т.к.
ψ 2 (y) растет быстрее, чем y 2 , какмы видели выше. Во-вторых, мы имеем по формуле Ньютона-ЛейбницаZ+∞ψ̃ 0 (x) = ψ 0 (x)1dy−2ψ (y) ψ(x)xи затемZ+∞0000ψ̃ (x) = ψ (x)ψ 0 (x)ψ 0 (x)dy−+= ψ 00 (x)ψ 2 (y) ψ 2 (x) ψ 2 (x)xZ+∞x137dy.ψ 2 (y)Глава 8. Одномерное движениеУчитывая эту формулу, определение (8.10) и домножая уравнение (8.5) на+∞Rdyψ −2 (y),xвидим, что ψ̃ действительно удовлетворяет уравнению Шредингера.
Оценим абсолютнуювеличину правой части (8.10):Z+∞|ψ̃(x)| = |ψ(x)|dy6 |ψ(x)|ψ 2 (y)xZ+∞dy=|ψ(x)||ψ(y)|Z+∞xdy.|ψ(y)|xПоскольку |ψ(y)| растет быстрее, чем y 1 , интеграл в правой части этого неравенства существует и стремится к нулю при x → ∞. Таким образом, ψ̃(x) → 0 при x → ∞. Пределx → −∞ рассматривается аналогично.
Итак, утверждение β полностью доказано.Исследуем, далее, вопрос о нормируемости решений уравнения Шредингера. Что касается решений, осциллирующих или неограниченных хотя бы в одном из пределовx → ±∞, то они, очевидно, являются ненормируемыми.
Следовательно, нормируемые решения могут существовать лишь в таких потенциалах, в которых неравенство E < U (x)выполняется одновременно в обоих пределах x → ±∞ хотя бы при некоторых значениях E. Как мы выяснили выше, при таких E в каждом из пределов x → ±∞ одно изрешений обязательно стремится к нулю. Поэтому при рассмотрении поведения решенийсразу в обоих пределах имеется две возможности.
Если решение ψ(x) → 0 при x → +∞, нонеограничено при x → −∞, то тогда по доказанному второе независимое решение должновести себя наоборот, а именно, стремиться к нулю при x → −∞, но быть неограниченнымпри x → +∞. Оба эти решения будут ненормируемы. Но может оказаться и так, чтоодно и то же решение стремится к нулю и при x → −∞, и при x → +∞. Докажем, чтотакое решение будет нормируемым. По предположению, в пределе |x| → ∞ выполняетсянеравенство E < U (x), поэтому можно найти такие положительные числа a и ∆, что привсех |x| > a будет выполняться неравенство U (x) − E > ∆. Умножим уравнение (8.6) наψ(x) и проинтегрируем его по x на отрезке [a, A], где A некоторое большое, но конечноечисло:ZA2mdxψ (x)ψ(x) = 2~ZA00adx[U (x) − E]ψ 2 (x) .(8.11)aИнтеграл в правой части этого равенства можно оценить снизу такZAZAdxψ 2 (x) .2dx[U (x) − E]ψ (x) > ∆aaПодставляя это в (8.11) и интегрируя по частям левую часть, получимZAZA2~ 0A02ψ (x)ψ(x)|a − dxψ (x) > dxψ 2 (x)2m∆a(8.12)aПерейдем теперь к пределу A → ∞ в этом неравенстве.
Краевой член в левой частиостается при этом конечным, поскольку ψ(x) → 0 при x → ∞. Так как справа стоит поRAложительная величина, то положительно определенный интеграл a dxψ 02 в левой части138§8.2. Качественное исследование уравнения Шредингерадолжен иметь конечныйпри A → ∞, поскольку он входит со знаком минус, аR A предел2тогда и сам интеграл a dxψ должен иметь конечный предел. Аналогично показываетR −aся, что существует интеграл −∞ dxψ 2 . Поэтому существует и нормировочный интегралR +∞R +adxψ 2 , поскольку интеграл −a dxψ 2 заведомо конечен как интеграл от непрерывной−∞функции, взятый по конечному отрезку.
Суммируя полученные результаты, мы формулируемУтверждение γ: Нормируемые решения уравнения Шредингера могут существоватьлишь при таких значениях E, при которых неравенство E < U (x) выполняется одновременно в обоих пределах x → ±∞, причем если такое решение при данном E существует,то оно единственно.Используя утверждения α, β, γ, мы можем теперь описать возможные типы энергетических спектров одномерного движения:Тип I.
Если U (x) → +∞ в обоих пределах x → ±∞, то из утверждения β следует, чтолюбое решение уравнения (8.5) либо стремится к нулю в обоих пределах x → ±∞и тогда оно нормируемо в силу утверждения γ, либо это решение неограниченопо крайней мере в одном из них. В первом случае решение является собственнойфункцией гамильтониана, а соответствующее значение E – его собственным значением, причем из утверждения γ следует, что это собственное значение невырождено.Если же при данном E оба решения неограничены, то это E не является собственным значением гамильтониана.
Как мы знаем из §7.4C, нормируемыми могут бытьлишь собственные функции, соответствующие дискретным собственным значениям. Таким образом, в рассматриваемом случае спектр гамильтониана является дискретным. При этом имеется бесконечное число собственных значений, посколькупо теореме о разложении по собственным функциям гамильтониана должно бытьвозможно разложить любую функцию из S.Тип II. Если U (x) стремится к конечному пределу U (+∞) при x → ∞, а в пределе x → −∞U (x) → +∞, то в соответствии с утверждением α при каждом E > U (+∞) всерешения будут осциллирующими при x → +∞, причем согласно утверждению βв пределе x → −∞ одно из решений неограничено, а другое стремится к нулю,и потому, будучи ограниченным при всех x, является собственной функцией гамильтониана.
Таким образом, все значения E > U (+∞) являются невырожденными собственными значениями гамильтониана, образуя непрерывную часть спектра.При E < U (+∞) мы имеем ситуацию типа I, но с тем отличием, что теперь числодискретных собственных значений не обязано быть бесконечным. То же положениеимеет место в случае, когда U (x) стремится к конечному пределу при x → −∞ и к+∞ при x → +∞.Тип III. Если U (x) стремится к конечным значениям U (±∞) в обоих пределах x → ±∞,причем U (+∞) > U (−∞), то при любом E > U (+∞) оба решения уравнения Шредингера ограничены, т.к.
согласно утверждению α они осциллируют в обоих пределах x → ±∞. Поэтому значения E > U (+∞) являются двукратно вырожденнымисобственными значениями гамильтониана. Далее, при U (−∞) < E < U (+∞) обарешения осциллируют при x → −∞, тогда как при x → ∞ одно неограничено, адругое стремится к нулю и является собственной функцией гамильтониана. Поэтому все значения U (−∞) < E < U (+∞) являются невырожденными собственнымизначениями гамильтониана. Таким образом, область E > U (−∞) является областью139Глава 8.
Одномерное движениенепрерывного спектра. Наконец, при E < U (−∞) снова возможны лишь дискретныесобственные значения. Аналогично разбирается случай U (+∞) < U (−∞).Тип IV. Если U (x) → −∞ хотя бы в одном из пределов x → ±∞, то собственными значениями гамильтониана являются все E ∈ (−∞, +∞), поскольку при любом E уравнениеШредингера имеет ограниченное решение. Степень вырождения собственных значений зависит от поведения U (x) в другом из пределов. В частности, если в этомпределе U (x) стремится к +∞ или −∞, то все собственные значения являются,соответственно, невырожденными и двукратно вырожденными.Отметим следующие общие свойства всех четырех типов спектров: a) дискретная частьспектра всегда расположена ниже непрерывной; b) дискретные собственные значения являются невырожденными; c) собственные функции, соответствующие дискретным уровням энергии, являются нормируемыми.
Напомним, что дискретность собственных значений является необходимым, но не достаточным условием нормируемости собственныхфункции (см. пример 34). В данном же случае дискретность, или как говорят, квантование энергии в области E < U (±∞) возникает как результат отбрасывания неограниченных решений, причем согласно утверждению γ остающиеся решения автоматическиоказываются нормируемыми. Это соответствие между дискретностью уровней энергиии нормируемостью собственных функций гамильтониана имеет место и в общем случаепроизвольного (многомерного) движения.Наконец, есть еще одно важное общее свойство энергетических спектров.
Предположим, что потенциал U (x) ограничен снизу, и пусть Umin – его значение в точке абсолютногоминимума (этот случай может встретиться в любом из типов, кроме типа IV). Покажем,что тогда собственные значения гамильтониана удовлетворяют неравенствуE > Umin .(8.13)Что касается непрерывной части спектра, то она имеется в типах II,III и лежит вышеминимального из значений U (±∞), а потому и выше Umin . Рассмотрим теперь дискретные уровни. Для того чтобы доказать неравенство E > Umin в этом случае, умножимуравнение (8.5) на ψ(x) и проинтегрируем его по всем x:~2−2mZ+∞Z+∞Z+∞002dxψψ +dxU (x)ψ = Edxψ 2 .−∞−∞(8.14)−∞Все интегралы в этом уравнении существуют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
