К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В этом случае решение задачи и смысл линейно-независимых решенийполучаются аналогично рассмотренному в предыдущем пункте. Поэтому мы подробнорассмотрим случай E < 0, где возможны лишь дискретные уровни энергии. Обозначаярешение уравнения (8.5) в области x 6 −a через ψ1 (x), имеем для нее следующее уравнение2m|E|ψ100 =ψ1 .~2Общее решение этого уравнения естьp2m|E|+κx−κxψ1 (x) = Ae+ Ãe, κ=,~где A, Ã – произвольные постоянные.
Условие ограниченности решения требует Ã = 0,поскольку e−κx → ∞ при x → −∞. Аналогично, в области x > +a волновая функцияудовлетворяет уравнению2m|E|ψ300 =ψ3 ,~2общее решение которого имеет видψ3 (x) = Ce−κx + C̃e+κxс тем же значением κ, но теперь неограниченным оказывается решение e+κx , и потомудолжно быть C̃ = 0.
Наконец, в области −a 6 x 6 +a волновая функция удовлетворяетуравнению~2 00−ψ − U0 ψ2 = Eψ2 ,2m 2илиp2m(U0 − |E|)002ψ2 = −k ψ2 , k = +.~Как мы знаем, в любом поле возможны лишь уровни, удовлетворяющие E > Umin . Вданном случае это условие дает E > −U0 , или |E| < U0 . Поэтому параметр k являетсявещественным, а общим решением является линейная комбинация тригонометрических(а не экспоненциальных) функций:ψ2 (x) = B sin(kx) + B̃ cos(kx) .Это решение ограничено при любых B, B̃. Значения постоянных A, B, B̃, C определяютсяусловиями сшивания и условием нормировки.
Условия сшивания имеют видψ1 (−a) = ψ2 (−a) ,ψ10 (−a) = ψ20 (−a) ,150ψ2 (+a) = ψ3 (+a) ,ψ20 (+a) = ψ30 (+a)§8.3. Свойства гладкости волновой функциии после подстановки в них найденных решений даютAe−κa = −B sin(ka) + B̃ cos(ka) ,Aκe−κa = k(B cos(ka) + B̃ sin(ka)) ,Ce−κa = B sin(ka) + B̃ cos(ka) ,Cκe−κa = k(−B cos(ka) + B̃ sin(ka)) .(8.35)(8.36)(8.37)(8.38)Эти уравнения представляют собой систему четырех линейных однородных уравненийотносительно четырех неизвестных постоянных A, B, B̃, C.
Условием совместности этойсистемы является обращение в нуль ее определителя:¯¯¯¯ e−κa ,sin(ka),−cos(ka),0¯¯ −κa¯¯ κe , −k cos(ka), −k sin(ka),0¯¯−κa ¯ = 0 .¯ 0,− sin(ka), − cos(ka), e¯¯¯ 0,k cos(ka), − sin(ka), κe−κa ¯Несложное, но несколько громоздкое разложение определителя приводит к следующемупростому уравнению{κ cos(ka) − k sin(ka)}{k cos(ka) + κ sin(ka)} = 0 .Таким образом, энергия E, функциями которой являются k и κ, должна удовлетворятьодному из двух уравнений: либо κ cos(ka) − k sin(ka) = 0, либо k cos(ka) + κ sin(ka) = 0.В первом случае уравнения (8.35) – (8.38) дают A = C = B̃eκa cos(ka), B = 0, а во второмA = −C = −Beκa sin(ka), B̃ = 0. Итак, при E < 0 гамильтониан имеет собственныефункции двух типов:x 6 −a , cos(ka)eκ(x+a) ,(+)−a 6 x 6 +a ,E : κ cos(ka) − k sin(ka) = 0 ⇒ ψ (x) = B̃ × cos(kx),cos(ka)eκ(−x+a) ,x > +aиE : k cos(ka) + κ sin(ka) = 0⇒x 6 −a , − sin(ka)eκ(x+a) ,(−)−a 6 x 6 +a ,ψ (x) = B × sin(kx),sin(ka)eκ(−x+a) ,x > +a .Из этих выражений видно, что ψ (+) (−x) = ψ (+) (x) , ψ (−) (−x) = −ψ (−) (x) , чем и объясняется смысл верхнего индекса в обозначении этих функций.
Состояния, описываемыефункциями ψ (+) (ψ (−) ), а также соответствующие уровни энергии, называют четными(нечетными). В обоих случаях собственные значения энергии являются решениями трансцендентных уравнений. Эти решения удобно искать графически. Для этого заметим, чтоуравнение√ κ cos(ka) = k sin(ka) эквивалентно двум уравнениям cos(ka) = ±α(ka) , гдеα = ~/(a 2mU0 ) , причем из решений этих последних следует брать лишь те, для которых аргумент косинуса (ka) принадлежит либо первой, либо третьей четверти (посколькуиз исходного уравнения следует, что синус и косинус имеют одинаковые знаки).
Эквивалентность проверяется возведением обоих уравнений в квадрат с учетом соотношения(aα)2 (κ 2 + k 2 ) = 1, которое следует из определений параметров k, κ, α. Аналогично, уравнение k cos(ka) = −κ sin(ka) эквивалентно двум уравнениям sin(ka) = ±α(ka), причем151Глава 8. Одномерное движение110.80.80.60.60.40.40.20.200−0.2−0.2−0.4−0.4−0.6−0.6−0.8−0.8−1−1IIIIIIIVIIIIIIIVIkaIIIIIIVkaIIIIIIIVРис. 15: Графическое определение четных и нечетных уровней энергии в симметричной потенциальной яме.аргумент синуса должен лежать либо во второй, либо в четвертой четверти. Полученныеуравнения решены графически на Рис. 15 для случая α = 0, 1.
В этом случае имеется четыре четных уровня (по два в первой и третьей четверти) и три нечетных (два во второйчетверти и один в четвертой), т.е. всего семь уровней энергии. Из построения очевидно, что при любом значении α 6= 0 имеется конечное число уровней. При увеличении α(т.е. при уменьшении U0 или a) число уровней сокращается, но при любом α имеется покрайней мере одно четное решение. Нечетные же уровни существуют лишь при достаточно малых α, а именно, момент исчезновения последнего нечетного уровня соответствуетмоменту, когда точка пересечения верхней прямой с синусом переходит из второго квадранта в первый,√проходя крайний левый максимум синуса, т.е. когда ka = π/2. При этомαπ/2 = 1, или a 2mU0 /~ = π/2.Наконец, нормируем полученные решения.
Для четных решений условие нормировкиR +∞dxψ 2 = 1 дает−∞Z−a−∞Z+aZ+∞dxB̃ 2 cos2 (ka)e2κ(x+a) + dxB̃ 2 cos2 (kx) +dxB̃ 2 cos2 (ka)e2κ(−x+a) = 1 .−a+aВычисление интегралов приводит к условию B̃ 2 (a + 1/κ) = 1. Для нечетных решенийполучается тот же результат (с заменой B̃ → B), поэтому, полагаяµB̃ = B =1a+κ¶−1/2,мы получаем нормированные функции ψ (±) (x).Пример 37. Бесконечно глубокая яма.
Полученные выражения сильно упрощаются в случае больших U0 , а именно, если U0 À ~2 /(ma2 ) , или α ¿ 1. Величина ~2 /(ma2 ) имеетпростой физический смысл: по порядку величины это есть минимальная средняя кинетическая энергия, которую имеет частица массы m, если ее движение ограничено отрезком длины a. Действительно, если известно, что частица находится на этом отрезке, то152§8.3. Свойства гладкости волновой функциинеопределенность ее координаты заведомо меньше a.
Следовательно, согласно соотношению неопределенности (7.74) неопределенность ее импульса будет больше ~/(2a), т.е.при многократном измерении импульса частицы будут получаться в среднем значенияпорядка ~/a или выше, а для ее кинетической энергии p2 /(2m) – соответственно значения порядка (~/a)2 /m или выше. Если интересоваться лишь нормальным состоянием инесколькими первыми возбужденными, то удобнее отсчитывать энергию частицы от днаямы, т.е. рассматривать разность E = E − (−U0 ) = Up0 − |E| > 0.
Для таких уровней будет√выполняться неравенство E ¿ U0 , а потому и κa = 2m|E| a/~ ≈ 2mU0 a/~ À 1 . В силу последнего неравенства собственные функции будут очень быстро убывать вне интервала [−a, +a], поскольку в этих областях ψ (±) (x) ∼ e−κ(|x|−a) . Если формально устремитьU0 → +∞ (α → 0), то мы получим ψ (±) (x) = 0 для любого x ∈/ [−a, +a] и любого E (бесконечно глубокая√ яма).
В этом пределе√ уравнения cos(ka) = ±α(ka) , sin(ka) = ±α(ka)сводятся к cos( 2mE a/~) = 0 и sin( 2mE a/~) = 0, из которых следуют выраженияE(+)nE(−)n~2 ³ π ´2=(n + 1/2)2 , n = 0, 1, 2, ...2m a~2 ³ π ´2 2=n , n = 1, 2...2m a(8.39)(8.40)для четных и нечетных уровней энергии, а соответствующие им собственные функциивнутри интервала (−a, +a) принимают ви䵶³ πnx ´π(n + 1/2)x11(+), ψn(−) (x) = √ sin.(8.41)ψn (x) = √ cosaaaaРассчитаем с помощью этих выражений основные характеристики стационарного движения частицы.
Плотности распределения вероятностей¯ координат в четных и нечетных¯¯ (±) ¯2(±)состояниях даются выражениями wn (x) = ¯ψn (x)¯ . Среднее значение координаты вчетном состоянии естьµ¶Z+∞Z+axπ(n + 1/2)x(+)22x̄ =dx x|ψn (x)| = dx cos=0aa−∞−aв силу антисимметрии интеграла относительно замены переменной интегрирования x →−x. Тот же результат получается и в нечетных состояниях. Далее, квадрат дисперсиикоординаты в четных состояниях£¤(+) 2Dxµ¶Z+aZ+∞x2π(n + 1/2)x22 (+)22dx x |ψn (x)| = dx cos= (x − x̄) =aa−a−∞Z1dy y 22= 2a1 + cos (π(2n + 1)y).20Интегрируя y 2 cos(π(2n + 1)y) два раза по частям, находим¶1/2µ21(+), n = 0, 1, 2, ...−Dx = a3 π 2 (2n + 1)2153(8.42)Глава 8.
Одномерное движениеВ нечетных же состояниях аналогично получаетсяµ¶1/212(−),Dx = a−3 π 2 (2n)2n = 1, 2, ...Мы видим,что в обоих случаях с ростом n дисперсия координаты быстро приближается√к a/ 3 . Найдем теперь распределение вероятностей импульса частицы. Например, длянечетных состояний по формуле (7.62) находим, применяя формулу Эйлера,c(−)pZ+a³ πnx ´ r a Z+111eiπny − e−iπnydxe−ipx/~ √ sin= √=dye−ipay/~a2π~2ia2π~−a−1rrµ¶1asin(πn − pa/~) sin(πn + pa/~)1 2πa n(−1)n sin(pa/~)=−=.i 2π~πn − pa/~πn + pa/~i~ (πn)2 − (pa/~)2Таким образом, плотность распределения вероятностей импульса (которая является автоматически нормированной, поскольку таковы функции (8.41)) в нечетных состоянияхимеет видa 2πn2 sin2 (pa/~)wn(−) (p) =, n = 1, 2, ...~ [(πn)2 − (pa/~)2 ]2Аналогичное вычисление для четных состояний даетwn(+) (p) =a 2π(n + 1/2)2 cos2 (pa/~),~ [π 2 (n + 1/2)2 − (pa/~)2 ]2n = 0, 1, 2...Из этих формул видно, что естественной единицей для измерения импульса в данной(+)задаче является ~/a, а для плотности его вероятности – a/~.
Каждая функция wn (p),n = 1, 2, ... описывает пару четко выраженных пиков, расположенных симметрично отно(−)сительно нуля с максимумами в точках p = ±~π(n+1/2)/a, а функция wn (p), n = 1, 2, ... –(±)такие же пики с максимумами в p = ±~πn/a. Мы видим, что в каждом состоянии ψn сn = 1, 2, ... импульс частицы размазан в окрестностях тех двух значений, которые может(±)иметь классическая частица при движении в яме с кинетической энергией En . Все пики(+)имеют одинаковую высоту a/(2π~) и ширину 2π~/a у основания. Функция же w0 , описывающая распределение вероятностей импульса в нормальном состоянии, имеет один болеевысокий и широкий пик с максимумом в нуле. На Рис.
16 показаны графики функций(±)w2 (p).Все Функции w(±) (p) являются четными функциями импульса, и поэтому p̄ =R +∞(±)dp pwn (p) = 0 , что естественно, поскольку в стационарном состоянии частица−∞в среднем покоится. С помощьюw(p) можно рассчитать среднее любой функции имR +∞22пульса, например, Dp = −∞ dp p w(p). Однако дисперсию проще найти, заметив, чтоp2 = 2mT = 2mT , где T есть кинетическая энергия частицы. С другой стороны,T = E − U = E + U0 = E, поскольку по определению в любом стационарном состоянии энергия имеет определенное значение, а средняя потенциальная энергия частицыравна −U0 (т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
