К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Действительно,Ĥ(T̂a ψ) = (Ĥ T̂a )ψ = (T̂a Ĥ)ψ = T̂a (Ĥψ) = T̂a (Eψ) ,т.е.Ĥ(T̂a ψ) = E(T̂a ψ) .Обозначим через ψ1 (x), ψ2 (x) два линейно-независимых решения уравнения Шредингерапри данном значении E. Тогда, по доказанному, функции ψ1 (x + a), ψ2 (x + a) можнопредставить в виде линейных комбинаций функций ψ1 (x), ψ2 (x):ψ1 (x + a) = c11 ψ1 (x) + c12 ψ2 (x) ,165ψ2 (x + a) = c21 ψ1 (x) + c22 ψ2 (x) ,Глава 8. Одномерное движениегде cik , i, k = 1, 2 – некоторые комплексные коэффициенты. Вводя матричные обозначения¶¶µµψ1 (x)c11 c12ψ(x) =, C=,ψ2 (x)c21 c22запишем эти соотношения в виде ψ(x + a) = Cψ(x) .
Заметим, что detC 6= 0. Действительно, в противном случае существовал бы ненулевой вектор-строка b = (b1 , b2 ), такойчто bC = 0, а тогда из равенства ψ(x + a) = Cψ(x) следовало бы bψ(x + a) = 0, илиb1 ψ1 (x + a) + b2 ψ2 (x + a) = 0, т.е. линейная зависимость решений ψ1,2 , в противоречии спредположением.
Перейдем теперь к новым линейно-независимым решениям ψ̃1 (x), ψ̃2 (x),совершив линейное преобразование ψ̃(x) = Aψ(x), где ψ̃ – столбец, построенный из новых функций, а A – некоторая постоянная невырожденная комплексная матрица. ИмеемAψ̃(x+a) = CAψ̃(x), или ψ̃(x+a) = A−1 CAψ̃(x).
Подберем матрицу A так, чтобы матрицаC̃ = A−1 CA приняла диагональный ви䵶c̃1 0C̃ =.0 c̃2Покажем, что это возможно. Для этого распишем в компонентах матричное равенствоCA = AC̃:µ¶µ¶ µ¶c11 c12a11 a12c̃1 a11 c̃2 a12=.(8.61)c21 c22a21 a22c̃1 a21 c̃2 a22Из этой записи видно, что столбцы матрицы A являются собственными векторами матрицы C, а числа c̃1,2 – соответствующими собственными значениями. Эти значения являютсярешениями уравненияµ¶c11 − c̃ c12det= 0,(8.62)c21 c22 − c̃представляющего условие совместности системы (8.61).
Уравнение (8.62) является алгебраическим уравнением относительно c̃, и потому всегда имеет решение, а следовательносистема (8.61) разрешима относительно неизвестных векторов (a11 , a21 ) и (a12 , a22 ). Заметим, наконец, что из AC̃ = CA, detA 6= 0 следует detC̃ = c̃1 c̃2 = detC 6= 0, и поэтому обачисла c̃1,2 отличны от нуля.Итак, мы показали, что решения уравнения Шредингера в периодическом поле всегдаможно выбрать так, чтобы они удовлетворяли условию ψ(x+a) = cψ(x), где c – некотороекомплексное число.
Применяя это равенство n раз, получаем ψ(x+na) = cψ(x+(n−1)a) =c2 ψ(x + (n − 2)a) = · · · = cn ψ(x) , откуда следует, что если |c| > 1, то |ψ(x)| → ∞ приx → +∞. С другой стороны, переписав равенство ψ(x + a) = cψ(x) как ψ(x − a) = c−1 ψ(x)и применив его n раз, найдем аналогично ψ(x − na) = c−n ψ(x), откуда видно, что если|c| < 1, то |ψ(x)| → ∞ при x → −∞. Итак, при |c| 6= 1 решение уравнения Шредингераоказывается неограниченным при |x| → ∞, и поэтому не является собственной функцией гамильтониана. Следовательно, ψ(x) может быть собственной функцией, только есличисло c является фазовым множителем.
Его принято записывать в виде c = eika , гдеk – вещественное число. Таким образом, каждая собственная функция гамильтонианаудовлетворяет условиюψ(x + a) = eika ψ(x)166(8.63)§8.6. Движение в периодическом полес некоторым k. Введя новую функцию u(x) согласноψ(x) = eikx u(x) ,(8.64)найдем, что u(x) должна удовлетворять eik(x+a) u(x + a) = eika eikx u(x), или u(x + a) = u(x),т.е. должна быть периодической функцией координаты x с периодом, равным периодуполя. Функции (8.64) называют функциями Блóха, а величину p = ~k – квазиимпульсомчастицы.
Поскольку функции (8.64) ненормируемы, реальные состояния частицы являются суперпозициями функций вида (8.64) с различными k, и поэтому ее квазиимпульсобязательно “размазан” по некоторой области значений, так же как и обычный импульс.B.Задача Кронига-ПенниПусть частица движется в потенциале, представляющем собой последовательностьпрямоугольных пиков высоты U0 > 0 и ширины 2b, (период поля по-прежнему обозначаемчерез a). Особенно прост случай b ¿ a, E ¿ U0 , который мы рассмотрим как формальныйпредел b → 0, U0 → ∞, причем будем считать, что эти пределы берутся при фиксированной площади прямоугольника: 2bU0 = α = const . Тогда везде, за исключением точекxn = na, n ∈ Z, уравнение Шредингера−~2 00ψ + U (x)ψ = Eψ2m(8.65)сводится к свободному уравнению−~2 00ψ = Eψ ,2mи поэтому на каждом из интервалов (an, an + a) его решение имеет вид√2mEiqx−iqxψ(x) = Ae + Be, q=.~Рассмотрим два таких интервала (−a, 0) и (0, +a), приписывая функции ψ(x) на этихинтервалах индекс 1 и 2, соответственно.
Функции ψ1 (x), ψ2 (x) должны удовлетворятьусловиям сшивания. Одним из них, как всегда, является условие непрерывности решения[см. (8.15)]: ψ1 (0) = ψ2 (0) . Условие же на производные от ψ теперь иное, поскольку потенциал имеет бесконечный разрыв в точке x = 0. Для того чтобы получить это условие,проинтегрируем уравнение (8.65) по отрезку [−b, +b]:¯+b Z+bZ+b~2 0 ¯¯+ dxU (x)ψ(x) = E dxψ .−ψ2m ¯−b−b−bПоскольку ψ(x) конечна и непрерывна в нуле, в пределе b → 0 ее можно вынести за знакинтеграла в левой части этого равенства, заменив значением в нуле, интеграл же в правойчасти обращается в нуль.
Учитывая также условие 2bU0 = α, находим следующее условиедля скачка производнойψ20 (0) − ψ10 (0) = ψ(0)1672mα.~2(8.66)Глава 9. Одномерное движение121086420−2−405qa1015Рис. 18: Графическое решение дисперсионного соотношения (8.72). Допустимые значения (qa)выделены жирными горизонтальными отрезками.Наконец, условие (8.63) даетψ2 (a) = eika ψ1 (0) ,ψ2 (0) = eika ψ1 (−a) .Итак, мы имеем следующую систему уравнений для определения коэффициентов в функциях ψ1,2 (x) = A1,2 eiqx + B1,2 e−iqxA1 + B1 = A2 + B2 ,(8.67)2γiq(A2 − B2 ) − iq(A1 − B1 ) =(A1 + B1 ) ,aA2 eiqa + B2 e−iqa = eika (A1 + B1 ) ,A2 + B2 = eika (A1 e−iqa + B1 eiqa ) .maαγ≡ 2 ,~Условие совместности этой системы линейных однородных уравнений11−1−12iγ/qa−1 2iγ/qa+11−1 =0det ikaikaiqa ee−e−e−iqa e−iqaeiqa −e−ika −e−ika(8.68)(8.69)(8.70)(8.71)несложными преобразованиями приводится к видуsin(qa)= cos(ka) .(8.72)qaНа Рис.
18 изображено графическое решение этого уравнения в случае γ = 10. Собственные значения гамильтониана E = ~2 q 2 /2m соответствуют тем q, при которых значение левой части уравнения (8.72) принадлежит отрезку [−1, +1]. Мы видим, что спектр состоитиз бесконечного числа отрезков конечной ширины, или энергетических зон, разделенныхобластями запрещенных значений энергии (энергетические щели). В каждой из энергетических зон квазиимпульс частицы k пробегает все значения из отрезка [−π/a, +π/a] .cos(qa) + γ168§9.1. Разделение переменныхГлава 9.§9.1.ТРЕХМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕРазделение переменныхВ случае трехмерного движения частицы массы m в заданных внешних полях ее волновая функция зависит от трех координат, а стационарное уравнение Шредингера являетсялинейным дифференциальным уравнением в частных производных.
Согласно постулатамIII, IV, гамильтониан системы строится по функции Гамильтона, заданной как функциядекартовых компонент радиус-векторов и импульсов частиц, соответственно чему в уравнение Шредингера входят производные волновой функции по декартовым компонентамрадиус-векторов частиц. Однако ничто не мешает в полученном таким образом уравненииШредингера переходить к новым переменным, что часто позволяет существенно упростить его решение. Так же как и в классической механике, переменные надо выбиратьтак, чтобы по возможности максимально выявить симметрии внешних полей. Решениеуравнения Шредингера часто может быть найдено методом разделения переменных, аналогичным тому, который применялся в §5.5E при решении уравнения Гамильтона-Якоби.Этот метод применим к системам с любым числом степеней свободы и состоит в следующем.
Предположим, что при некотором выборе переменных (обобщенных координат) {q}гамильтониан системы Ĥ(q) принимает специальный видĤ(q) = Ĥ(q1 , ĥ(q2 )) ,(9.1)где {q1 } и {q2 } – два непересекающихся набора переменных, на которые разбивается набор {q}, ĥ – некоторый эрмитов оператор, а в скобках указаны переменные, на которыедействует данный оператор.
Такая форма оператора Ĥ означает, что все дифференцирования по переменным из набора {q2 } и все функции, зависящие от этих переменных,выделяются в некоторой комбинации, обозначенной через ĥ(q2 ), которая не содержит переменных из набора {q1 }. При этом оператор Ĥ является функцией оператора ĥ в смыслеопределений (7.2) – (7.4). Будем в этом случае искать решение стационарного уравненияШредингераĤ(q1 , ĥ(q2 ))ψ = Eψ ,(9.2)ψ(q1 , q2 ) = ψ1 (q1 )ψ2 (q2 ) ,(9.3)в видегде функция ψ2 (q2 ) является собственной функцией оператора ĥ, соответствующей собственному значению ε:ĥ(q2 )ψ2 = εψ2 .(9.4)Поскольку от переменных q2 в произведении (9.3) зависит лишь функция ψ2 (q2 ), котораяявляется собственной для оператора ĥ, то при действии гамильтониана на это произведение оператор ĥ просто заменяется его собственным значением, которому соответствуетвектор ψ2 :Ĥ(q1 , ĥ(q2 ))ψ = Ĥ(q1 , ĥ(q2 ))ψ1 (q1 )ψ2 (q2 ) = Ĥ(q1 , ε)ψ1 (q1 )ψ2 (q2 ) = ψ2 (q2 )Ĥ(q1 , ε)ψ1 (q1 ) .169Глава 9.
Трехмерное движениеФункция ψ2 (q2 ) вынесена в конце за знак Ĥ(q1 , ε), поскольку этот оператор действует ужелишь на координаты q1 , так что ψ2 (q2 ) играет при этом роль постоянной. Подставляя этотрезультат в уравнение (9.2) и сокращая на ψ2 , получаем уравнение для вектора ψ1 :Ĥ(q1 , ε)ψ1 = Eψ1 .(9.5)Таким образом, мы получили два уравнения (9.4), (9.5), каждое из которых проще исходного уравнения Шредингера (9.2), поскольку содержит меньшее число переменных.Итак, выбрав неизвестные функции в виде (9.3), мы разбили задачу отыскания собственных функций гамильтониана Ĥ(q) на два этапа: сначала следует решить уравнение(9.4), определив, в частности, спектр собственных значений оператора ĥ, а затем для каждого из этих значений решить уравнение (9.5) и найти систему собственных функций исобственных значений оператора Ĥ(q1 , ε).Покажем, наконец, что, действуя таким образом, мы действительно найдем все собственные функции исходного гамильтониана Ĥ(q).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
