К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для этого достаточно доказать, что система всех произведений (9.3) является полной. Возьмем произвольную функцию ψ(q) ∈ Sи разложим ее по собственным функциям оператора ĥ, т.е. по решениям уравнения (9.4)(что возможно в силу теоремы о разложении по собственным функциям эрмитова оператора)Xψ(q) =cn (q1 )ψ2n (q2 )n(для простоты мы рассматриваем случай дискретного спектра). Коэффициенты разложения cn зависят здесь от переменных q1 как от параметров. Теперь разложим каждый членэтой суммы по собственным функциям ψ1m (q1 , εn ) оператора Ĥ(q1 , εn ) (т.е. по решениямуравнения (9.5) с ε = εn ):Xcn (q1 )ψ2n (q2 ) =cnm ψ1m (q1 , εn )ψ2n (q2 ) ,mгде коэффициенты cnm – уже просто комплексные числа. Отсюда следует, что любаяволновая функция действительно может быть представлена в виде линейной комбинациифункций вида (9.3):Xψ(q) =cnm ψ1m (q1 , εn )ψ2n (q2 ) .nmИтак, система функцийψnm (q) = ψ1m (q1 , εn )ψ2n (q2 )(9.6)со всевозможными n, m является полной системой собственных функций гамильтонианаĤ.Эти результаты по индукции распространяются на случай, когда гамильтониан разбивается на большее число независимых частей – его собственные функции следует искатьв виде произведения функций от соответствующих наборов координат.170§9.2.
Прямоугольный потенциальный ящик§9.2.Прямоугольный потенциальный ящикВ качестве первого примера применения метода разделения переменных рассмотримдвижение частицы в поле U (x, y, z), которое равно нулю внутри прямоугольного параллелепипеда x ∈ (0, a), y ∈ (0, b), z ∈ (0, c), и обращается в +∞ вне его. Функция Гамильтоначастицы H(r, p) = p2 /2m + U (r) = (p2x + p2y + p2z )/2m + U (r) после замены компонентимпульса операторами дает гамильтониан частицыµ 2¶∂2∂2~2∂+++ U (x, y, z) ,Ĥ = −2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2поэтому уравнение Шредингера внутри ямы (U = 0) имеет видµ 2¶~2∂2∂2∂−++ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) .2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2(9.7)Как видно, гамильтониан внутри ямы является суммой трех эрмитовых операторов, каждый из которых зависит от одной из координат,Ĥ = ĥ1 + ĥ2 + ĥ3 ,ĥi = −~2 ∂ 2,2m ∂qi2qi = (x, y, z) ,поэтому мы ищем решение в виде ψ(x, y, z) = ψ1 (x)ψ2 (y)ψ3 (z) и пишем уравнения насобственные функции для операторов ĥ2 и ĥ3 :ĥ2 ψ2 = ε2 ψ2 ,ĥ3 ψ3 = ε3 ψ3 .Тогда уравнение (9.7) сводится к уравнению для ψ1 :(ĥ1 + ε2 + ε3 )ψ1 = Eψ1 ,илиĥ1 ψ1 = ε1 ψ1 ,ε 1 = E − ε2 − ε3 .Все три уравнения для функций ψi (qi ) имеют один и тот же вид.
Рассмотрим, например,уравнение для ψ1 :~2 d2−ψ1 (x) = ε1 ψ1 (x) ,2m dx2С уравнениями такого вида мы уже имели дело в §8.3B при рассмотрении одномерных ям.В случае бесконечно глубокой ямы выражения для собственных функций и собственныхзначений гамильтониана могут быть найдены из формул (8.39) – (8.41) заменой a →a/2 (поскольку теперь яма имеет ширину a, а не 2a) и последующим сдвигом x → x −a/2. Эти формулы были получены в примере 37 путем предельного перехода в решенияхдля ямы конечной глубины.
Но их можно получить и более простым способом, решаяуравнение Шредингера с граничными условиями ψ1 (0) = ψ1 (a) = 0 (как мы видели впримере 37, вне бесконечно глубокой ямы волновая функция должна обращаться в нуль,а потому, по непрерывности, она равна нулю и на границе ямы). Общее решение уравненияШредингера для функции ψ1 (x) есть√2mε1.ψ1 (x) = A sin(k1 x) + B cos(k1 x) , k1 =~171Глава 9.
Трехмерное движениеУсловия ψ1 (0) = ψ1 (a) = 0 даютB = 0,A sin(k1 a) + B cos(k1 a) = 0 .Отсюда следует, что k1 a = nπ, n ∈ Z. Таким образом, получаем собственные функции исобственные значения гамильтониана Ĥ1 в виде½~2 ³ πn ´2An sin(πnx/a), x ∈ [0, +a] ,ψ1n (x) =.ε1n =0,x∈/ [0, +a] ,2m aПоскольку при n = 0 это решение равно нулю тождественно, а замена n → −n приn 6= 0 меняет лишь знак решения, то все линейно независимые собственные функцииполучаются когда n пробегает значения 1, 2, ...
Заметим, что полученные функции неявляются ни четными, ни нечетными, в отличие от найденных в примере 37. Последниеимели определенную четность в силу четности потенциала. В данном же случае потенциалсимметричен не относительно нуля, а относительно точки a/2. Соответственно, при заменеx → a−x написанное выше выражение для ψ1n (x) не меняется (меняет знак) для нечетныхn (четных n).Условие нормировки собственных функций даетZ+∞ZaZa1 − cos(2πnx/a)adx|ψ1n (x)|2 = |An |2 dx sin2 (πnx/a) = |An |2 dx= |An |2 = 1 .22−∞00pВыбирая An = 2/a, получаем выражение для нормированных собственных функцийгамильтониана Ĥ1 внутри ямыr³ πnx ´2ψ1n (x) =sin, x ∈ [0, a] .(9.8)aaСовершенно также находятся собственные функции гамильтонианов ĥ2 , ĥ3 .
Таким образом, получаем собственные функции и собственные значения гамильтониана Ĥ :r³ πnx ´³ πny ´³ πnz ´8ψnmk (x, y, z) =sinsinsin, x ∈ [0, a] , y ∈ [0, b] , z ∈ [0, c] ,abcabµc¶~2 π 2 n2 m2 k 2Enmk = ε1n + ε2m + ε3k =+ 2 + 2 , n, m, k = 1, 2, ...2m a2bc172§9.3. Постоянное однородное магнитное поле§9.3.Постоянное однородное магнитное полеРассмотрим движение заряженной частицы в постоянном магнитном поле. Построимгамильтониан частицы.
Её функция Гамильтона имеет вид (см. пример 16)´21 ³qH(r, p) =p − A(r) ,2mcгде A(r) – вектор-потенциал магнитного поля. Заменяя согласно постулату III p →−i~∂/∂r, получаем оператор Гамильтон൶2∂1q−i~Ĥ =− A(r) .2m∂r cЭта формула справедлива в любом магнитном поле. В случае однородного поля она упрощается. Выберем ось z в направлении вектора напряженности поля H. Тогда вектор A(r)может быть выбран в видеAx = 0 ,Ay = Hx ,Az = 0 ,H = |H| .(9.9)Действительно, по формулам (1.25) находимHx =∂Az ∂Ay∂(Hx)∂Ax ∂Az∂Ay ∂Ax∂(Hx)−=−= 0 , Hy =−= 0 , Hz =−== H,∂y∂z∂z∂z∂x∂x∂y∂xкак и должно быть.
Поэтому стационарное уравнение Шредингера принимает вид()µ¶2221∂∂qH∂−~2 2 + −i~−x − ~2 2 ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)(9.10)2m∂x∂yc∂zВидно, что гамильтониан можно записать в виде (9.1):µ¶2~2 ∂ 21qHĤ(x, ĥ2 (y), ĥ3 (z)) = −+ĥ2 (y) −x + ĥ3 (z) ,2m ∂x2 2mcгде эрмитовы операторыĥ2 (y) = −i~∂,∂yĥ3 (z) = −~2 ∂ 2.2m ∂z 2Соответственно этому ищем решение уравнения Шредингера в виде ψ(x, y, z) =ψ1 (x)ψ2 (y)ψ3 (z), где ψ2 и ψ3 – собственные векторы операторов ĥ2 и ĥ3 :−i~∂ψ2 (y) = p2 ψ2 (y) ,∂y−~2 ∂ 2ψ3 (z) = T3 ψ3 (z) .2m ∂z 2Собственные значения в этих уравнениях обозначены через p2 и T3 потому, что они являются не чем иным как собственными значениями операторов импульса и кинетическойэнергии одномерных движений по осям y и z, соответственно. Собственные функции этихоператоров уже были найдены ранееpψp2 (y) = Aeip2 y/~ , ψT3 (z) = Beikz/~ + Ce−ikz/~ , k = 2mT3 .173Глава 9.
Трехмерное движениеНаконец, заменяя в гамильтониане Ĥ(x, ĥ2 (y), ĥ3 (y)) операторы ĥ2,3 их собственными значениями, приходим к уравнению для функции ψ1 (x) [см. вывод уравнения (9.5)]~2 d2 ψ1 (x)1−+22m dx2mµqHp2 −xc¶2ψ1 (x) = E 0 ψ1 (x) ,E 0 ≡ E − T3 .Мы получили, таким образом, обыкновенное дифференциальное уравнение для ψ1 (x),которое имеет вид обычного одномерного уравнения Шредингера для частицы массы m,движущейся в квадратичном потенциал嵶21qHU (x) =p2 −x .2mcСдвигом переменной x → x + p2 c/qH он приводится к видуU (x) =mω 2 x2,2ω=|q|H.mcПоэтому решение для ψ1 (x) получается из решения задачи для гармонического осциллятора, найденного в §8.5, обратным сдвигом x → x − p2 c/qH.
Например, решению, описывающему плоское движение с наименьшей энергией, соответствует функция(µ¶1/4µ¶2 )|q|H|q|Hp2 cψ0 (x) =exp −x−,πc~2c~qHа уровни энергии определяются формуло鵶|q|H10En = ~n+,mc2n = 0, 1, 2, ...(9.11)Эти дискретные уровни называются уровнями Ландау.Итак, любое решение исходного уравнения (9.10) может быть представлено в видесуперпозиции функцийp(9.12)ψnp2 T3 (x, y, z) = e(ip2 y+ikz)/~ ψ1n (x) , k = ± 2mT3 .При этом функция ψnp2 T3 (x, y, z) соответствует собственному значениюµ¶|q|H10Enp2 T3 = E + T3 = ~n++ T3 .mc2(9.13)Величины p2 , k пробегают все вещественные значения, а n – все натуральные (включаянуль). Мы видим, что энергия частицы не зависит от величины p2 .
В то же время, функции (9.12) с различными p2 являются линейно-независимыми. Это означает, что каждоезначение (9.13) является бесконечно-кратно вырожденным.174§9.4. Свойства оператора момента импульса§9.4.Свойства оператора момента импульсаВ классической механике при движении в центрально-симметричном поле сохраняется момент импульса частицы. Естественно поэтому, что и в соответствующей квантовойзадаче момент импульса играет важную роль.
В этом параграфе исследуются основныесвойства оператора момента.A.Коммутационные соотношенияВ соответствии с постулатом III оператор момента импульса частицы получается изклассического выражения m = [r, p] заменой p → −i~∂/∂r:m̂ = ~[r, −i∂/∂r](Здесь квадратные скобки обозначают векторное произведение, а не коммутатор). Удобноопределить вспомогательный оператор l̂, выделяя постоянную Планка, m̂ = ~l̂ . Оператор l̂ является безразмерным – это есть оператор момента, измеренного в единицах ~. Вкомпонентах,ˆlx = −i(y∂/∂z − z∂/∂y) ,ˆly = −i(z∂/∂x − x∂/∂z) ,ˆlz = −i(x∂/∂y − y∂/∂x) .
(9.14)Найдем коммутаторы этих операторов. Имеем для любого вектора ψ[ˆlx , ˆly ]ψ = −[(y∂/∂z − z∂/∂y), (z∂/∂x − x∂/∂z)]ψ = − {[y∂/∂z, z∂/∂x] − [y∂/∂z, x∂/∂z]−[z∂/∂y, z∂/∂x] + [z∂/∂y, x∂/∂z]} ψ .(9.15)Ввиду независимости координат x, y, z находим[y∂/∂z, z∂/∂x]ψ = y∂/∂z(z∂ψ/∂x) − z∂/∂x(y∂ψ/∂z) = y∂ψ/∂x ,[y∂/∂z, x∂/∂z]ψ = y∂/∂z(x∂ψ/∂z) − x∂/∂z(y∂ψ/∂z) = 0 ,и т.д., так что получаем[ˆlx , ˆly ]ψ = −y∂ψ/∂x + x∂ψ/∂y = iˆlz ψ ,что в силу произвольности вектора ψ можно записать в операторном виде[ˆlx , ˆly ] = iˆlz .(9.16)Остальные два коммутатора можно получить отсюда циклической перестановкой координат x, y, z:[ˆly , ˆlz ] = iˆlx ,[ˆlz , ˆlx ] = iˆly .(9.17)При определении собственных значений и собственных функций оператора момента особенно удобными оказываются следующие две комбинации его компонент ˆl+ = ˆlx + iˆly иˆl− = ˆlx − iˆly .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
