К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Трехмерное движениеСравнение этих двух выражений с учетом формулы cos φ − i sin φ = e−iφ подтверждаетпервую из формул (9.27). Аналогично проверяется и вторая.Теперь уже нетрудно вычислить ψlm . Расписывая явно тождество ˆl+ ψll = 0, имее쵶∂∂iφe+ i ctg θψll = 0 ,∂θ∂φили, подставляя согласно формуле (9.23) ψll = A(r, θ)eilφ ,∂A(r, θ)= l ctg θA(r, θ) .∂θРешение этого уравнения легко находится разделением дифференциалов:A(r, θ) = A(r) sinl θ ,где A(r) – произвольная функция координаты r. Поскольку операторы компонент момента действуют лишь на угловые переменные, зависимость их собственных функцийот радиальной координаты r остается полностью произвольной (требуется лишь, чтобыфункции A(r) принадлежали пространству M).
Иначе говоря, координата r в данномслучае играет роль параметра, и для краткости не будет выписываться явно. Итак, мыполучили, что ψll (θ, φ) = A sinl θeilφ . Действуя на эту функцию оператором ˆl− , получаемвектор ψl,l−1 :µ¶∂∂−iφψl,l−1 (r, θ, φ) = e− + i ctg θA sinl θeilφ = −2lAei(l−1)φ sinl−1 θ cos θ ,∂θ∂φа для того чтобы получить вектор ψlm , надо подействовать на вектор ψll понижающимоператором (l − m) раз:½µ¶¾l−m∂∂−iφψlm (θ, φ) = A e− + i ctg θsinl θeilφ .(9.28)∂θ∂φАльтернативно, вектор ψlm может быть получен как ψlm = (ˆl+ )l+m ψl,−l .
Из тождестваˆl− ψl,−l = 0 находим, как и раньше, ψl,−l = A sinl θe−ilφ , и поэтому½ µ¶¾l+m∂∂iφψlm (θ, φ) = A e+ i ctg θsinl θe−ilφ .(9.29)∂θ∂φИз формул (9.28), (9.29) следует важный вывод о том, что все функции ψlm (r, θ, φ)являются полиномами по sin θ и cos θ, а именно, легко проверить, что синусы, появляющиеся в знаменателе из-за котангенса в ˆl± и содержащие потенциальную особенность приθ = 0, π, сокращаются с синусами из sinl θ.
Действительно, степень последнего уменьшается на единицу при каждом действии операторов ˆl± (как из-за дифференцирования по θ,так и из-за умножения на ctg θ), но из формулы (9.28) видно, что при m > 0 степень синусапосле всех этих операций оказывается не меньше l − (l − m) = m > 0, тогда как из формулы (9.29) следует, что при m 6 0 эта степень оказывается не меньше l − (l + m) = −m > 0,т.е. неотрицательной при любом m. Таким образом, при всех целых неотрицательныхl функции ψlm (r, θ, φ) являются однозначными и имеют производные любого порядка поr, θ, φ, а потому и по x, y, z. Следовательно, они принадлежат пространству M и являютсясобственными функциями операторов l̂2 , ˆlz .180§9.4.
Свойства оператора момента импульсаПример 42. Флуктуации компонент момента. Продолжим разбор примера 41. Найдемфлуктуации lx , ly в том случае, когда вместе с lz имеет определенное значение и квадрат момента. Усредняя равенствоl̂2 = ˆlx2 + ˆly2 + ˆlz2по этому состоянию, получаемl(l + 1) = lx2 + ly2 + m2 .(9.30)22= 0, поскольку оператор ˆl+переводит векторС другой стороны, имеем тождественно l+ψlm в ортогональный ему вектор ψl,m+2 (см.
теорему об ортогональности собственныхфункций эрмитова оператора из §7.4B). Раскрывая это тождество, находим2l+= (ψlm , (ˆlx + iˆly )2 ψlm ) = (ψlm , (ˆlx2 − ˆly2 + i(ˆlx ˆly + ˆly ˆlx ))ψlm ) = lx2 − ly2 + i(lx ly + ly lx ) = 0 .Операторы ˆlx2 , ˆly2 , ˆlx ˆly + ˆly ˆlx являются эрмитовыми. Действительно, имеем, например,(ˆlx ˆly + ˆly ˆlx )+ = (ˆlx ˆly )+ + (ˆly ˆlx )+ = ˆly+ ˆlx+ + ˆlx+ ˆly+ = ˆly ˆlx + ˆlx ˆly = ˆlx ˆly + ˆly ˆlx .Поэтому их средние значения вещественны, и отделение вещественной части тождестваlx2 − ly2 + i(lx ly + ly lx ) = 0 дает lx2 = ly2 .
Подставляя это в равенство (9.30), находимlx2 = ly2 =Поэтомуl(l + 1) − m2.2rqlx2 =Dly = Dlx =l(l + 1) − m2.2В частности, поскольку l > m, тоl(l + 1) − m2m>,22в согласии с принципом неопределенности.Dlx Dly =Пример 43. Собственные функции момента с l = 0, 1, 2. При l = 0 возможно лишь однозначение m = 0, а соответствующая собственная функция ψ00 = B, т.е. не зависит от угловых координат. При l = 1 число m пробегает значения +1, 0, −1, при этом ψ11 = A sin θeiφ ,ψ10 = ˆl− ψ11 = −2A cos θ , ψ1,−1 = ˆl− ψ10 = −2A sin θe−iφ .
При l = 2 z-проекция моментаможет иметь значения +2, +1, 0, −1, −2, которым соответствуют собственные функцииψ22 = A sin2 θe2iφ ,ψ20ψ21 = ˆl− ψ22 = −4A sin θ cos θeiφ ,µ¶∂∂−iφˆ= l− ψ21 = −4Ae− + i ctg θsin θ cos θeiφ∂θ∂φ= −4A(− cos2 θ + sin2 θ − ctg θ sin θ cos θ) = 4A(3 cos2 θ − 1) .Аналогично получаем, что ψ2,−1 = A sin θ cos θe−iφ , ψ2,−2 = A sin2 θe−2iφ .181(9.31)Глава 9. Трехмерное движение§9.5.Центрально-симметричное полеДвижение частицы в центрально-симметричном поле описывается гамильтонианомĤ = −~24 + U (r) ,2m4 ≡ ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 + ∂ 2 /∂z 2 .(9.32)Для того чтобы разделить переменные в уравнении Шредингера, воспользуемся известным выражением лапласиана 4 в сферических координатах:µ¶µ¶½¾1 ∂1∂ψ1 ∂ 2ψ1 ∂2 ∂ψ4ψ = 2r+ 2sin θ+.r ∂r∂rrsin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂φ2Замечательным при этом оказывается тот факт, что выражение в фигурных скобкахздесь есть не что иное как (−l̂2 ).
Это нетрудно проверить, подставив выражения (9.27) вформулу (9.21). Имее쵶 µ¶µ¶2ˆl− ˆl+ ψ = e−iφ − ∂ + i ctg θ ∂ eiφ ∂ + i ctg θ ∂ ψ = − ∂ ψ − ∂ i ctg θ ∂ψ∂θ∂φ∂θ∂φ∂θ2∂θ∂φµ¶µ¶∂∂∂∂ ∂ψ− ctg θ+ i ctg θψ + i ctg θ+ i ctg θ∂θ∂φ∂θ∂φ ∂φ22∂ ψ∂ψ∂ψ∂ ψ=− 2 +i− ctg θ− ctg2 θ 2 ,∂θ∂φ∂θ∂φпоэтому∂ 2ψ∂ψ∂ψ∂2ψ∂ψ ∂ 2 ψl̂2 ψ = (ˆl− ˆl+ + ˆlz + ˆlz2 )ψ = − 2 + i− ctg θ− ctg2 θ 2 − i−∂θ∂φ∂θ∂φ∂φ∂φ2µ¶1 ∂∂ψ1 ∂ 2ψ= −sin θ−,sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂φ2Таким образом, стационарное уравнение Шредингера в центральном поле принимает вид"#µ¶22~1 ∂∂l̂−r2− 2 ψ + U (r)ψ = Eψ .(9.33)22m r ∂r∂rrМы видим, что гамильтониан опять имеет вид (9.1), причем q1 = r, {q2 } = {θ, φ}, ĥ = l̂2 .Поэтому мы ищем его собственные функции в видеψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ) ,где Y (θ, φ) являются собственными функциями оператора l̂2 :l̂2 Y = λY .Но эти собственные функции были уже найдены в §9.4B как совместные собственныефункции операторов l̂2 и ˆlz .
Согласно формуле (9.28) имеем¶¾l−m½µ∂∂−iφsinl θeilφ ,Ylm (θ, φ) = Alm e− + i ctg θ∂θ∂φ182§9.5. Центрально-симметричное полегде Alm – произвольные постоянные. Заменяя в гамильтониане оператор l̂2 его собственным значением [см. формулу (9.26)], получаем уравнение для радиальной функции R(r)[см. вывод уравнения (9.5)]:µ¶~2 1 d~2 l(l + 1)2 dR−r+R + U (r)R = ER .(9.34)2m r2 drdr2mr2Таким образом, задача нахождения собственных функций гамильтониана в центральномполе сведена к задаче решения обыкновенного дифференциального уравнения для радиальной функции R(r). Больше того, полученное уравнение может быть представлено ввиде одномерного уравнения Шредингера.
Для этого заметим, что первый член в левойчасти уравнения (9.34) можно переписать так:µ¶d2 R 2 dR1 d1 d2 (rR)2 dRr=+=.r2 drdrdr2r drr dr2Поэтому, домножая уравнение (9.34) на r и вводя новую неизвестную функцию χ(r) =rR(r), приходим к следующему уравнению−~2 d2 χ(l)+ Ueff (r)χ = Eχ ,22m dr(9.35)где~2 l(l + 1).2mr2Это уравнение имеет в точности вид уравнения (8.5), описывающего прямолинейное дви(l)жение частицы в эффективном потенциальном поле Ueff (r) (ср.
с аналогичным результатом классической механики, §3.2).Заметим, что величиной, определяющей плотность распределения вероятностей радиальной координаты, является именно функция χ(r). Действительно, согласно постулату I,вероятность обнаружить частицу в элементе объема dτ = r2 sin θdrdθdφ около точки с координатами r, θ, φ дается выражением (предполагается, что (ψ, ψ) = 1)(l)Ueff (r) = U (r) +w(r, θ, φ)dτ = |ψ|2 dτ = |R(r)|2 |Y (θ, φ)|2 r2 sin θdrdθdφ = (|χ(r)|2 dr)(|Y (θ, φ)|2 do) ,где do = sin θdθdφ – элемент телесного угла в направлении, определяемом углами θ, φ.Распределение вероятности для радиальной координаты получается отсюда интегрированием по do (ср.
пояснение B в §7.3)Z2w(r)dr = |χ(r)| dr do|Y (θ, φ)|2 .(9.36)RПоскольку функции Y (θ, φ) конечны, то интеграл do|Y (θ, φ)|2 также конечен. Из формулы (9.36) следует поэтому, что если договориться нормировать функции Y (θ, φ) условиемZdo|Y (θ, φ)|2 = 1 ,(9.37)то |χ(r)|2 даст плотность распределения вероятностей координаты r:w(r) = |χ(r)|2 .183(9.38)Глава 9.
Трехмерное движениеКак следствие, условие нормировки для функции χ(r) имеет тот же вид, что и при одномерном движении:Z+∞dr|χ(r)|2 = 1 .(9.39)0Пример 44. Нормированные собственные функции момента с l = 0, 1. Нетрудно проверить,что функции Ylm (θ, φ) с l = 0, 1 можно выбрать в видеrr133Y00 = √ , Y10 =cos θ ,Y1,±1 =sin θe±iφ .(9.40)4π8π4πИмеем, например,3(Y10 , Y10 ) =4πZ2πZπdφ03dθ sin θ cos2 θ =20Z+1dxx2 = 1 .−1Тот факт, что уравнение Шредингера и условие нормировки для радиального движения имеют одномерный вид позволяет применить к нему результаты качественного исследования, проведенного в §8.2.
Для этого надо лишь заменить U (x) → Ueff (r) и учесть,что r не может быть отрицательным. Это условие можно интерпретировать как наличиебесконечно высокой потенциальной стенки в точке r = 0. Вероятность нахождения частицы слева от стенки должна быть равна нулю, а потому по непрерывности она должнаобращаться в нуль и в точке r = 0. Таким образом, одним из граничных условий для собственной функции χ(r) является χ(0) = 0. Второе условие на собственную функцию следует, как всегда, из условия ограниченности функции ψ(r). Поскольку функции Ylm (θ, φ)конечны при всех θ, φ, то для ограниченности ψ при r → ∞ необходимо и достаточно,чтобы функция R(r) была ограничена при r → ∞. Если χ(r) ограничена при r → +∞,то и R(r) = χ(r)/r также ограничена (а именно, стремится к нулю).
С другой стороны,как мы знаем из §8.2, если решение одномерного уравнения Шредингера неограничено,то оно растет на больших расстояниях быстрее первой степени координаты. Поэтому, если функция χ(r) неограничена, то и функция R(r) = χ(r)/r также неограничена. Мывидим, таким образом, что функция ψ = R(r)Y (θ, φ) является собственной функциейгамильтониана тогда и только тогда, когда функция χ(r) является собственной функ(l)(l)цией оператора Ĥr ≡ −~2 /2m · d2 /dr2 + Ueff (r), описывающего одномерное радиальное(l)движение частицы в эффективном поле Ueff (r).Заметим, наконец, что поскольку радиальное движение может быть инфинитным лишьв одну сторону, то каждому значению E в уравнении (9.35) может соответствовать мак(l)симум одна собственная функция χ(r), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
