К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Наконец, скалярное произведение векторов состояния ψ естественным образом определяетP скалярное произведениеPвекторов c(n) в φ-представлении. Действительно, если ψ1 =c1 (n)ψn , ψ2 =c2 (n)ψn ,то, учитывая ортонормированность системы {ψn }, находимX(ψ1 , ψ2 ) =c∗1 (n)c2 (n) .nnnСумму в правой части мы обозначим (c1 , c2 ) и назовем скалярным произведением векторовc1 = {c1 (n)} и c2 = {c2 (n)}:X(c1 , c2 ) =c∗1 (n)c2 (n) .(10.9)nПри записи этого скалярного произведения столбец c1 удобно транспонировать, т.е.
представлять его строкой – тогда скалярное произведение будет равно матричному произведению c∗1 и c2 , вычисляемому по обычному правилу “строка на столбец.”Выписанные здесь формулы предполагают, что оператор φ̂ имеет дискретный спектр,но они тривиально обобщаются на операторы с любым типом спектра, причем под φ̂ можно подразумевать не один, а совокупность нескольких операторов.
Например, если φ̂ = p̂,то вместо (10.7) надо использовать разложение (7.63), а формула (10.9) перепишется ввидеZ +∞ZZ(c1 , c2 ) =d3 pc∗1 (p)c2 (p) .−∞Наиболее важными представлениями являются импульсное (φ = p), энергетическое (φ =H) и представление z-компоненты момента импульса (φ = lz ). Последнее особенно важнопри рассмотрении спина частиц (см. 11).199Глава 10. Матрицы операторов§10.2.Матрицы координаты и импульса гармонического осциллятораВернемся к гармоническому осциллятору, рассмотренному в §8.5, и покажем, какимобразом можно найти матрицы операторов координаты и импульса осциллятора в базисесобственных векторов гамильтониана чисто алгебраически, не используя явного вида этихвекторов. Для этого рассмотрим все возможные коммутаторы операторов x̂, p̂, Ĥ, гдегамильтониан осциллятора (см.
пример 32)Ĥ =p̂2mω 2 x2+2m2Согласно формуле (7.32) из примера 31x̂p̂ − p̂x̂ = i~ .(10.10)С помощью этой формулы находим[Ĥ, x̂] =1 211i~p̂(p̂ x − xp̂2 ) =(p̂(xp̂ − i~) − xp̂2 ) =((xp̂ − i~)p̂ − i~p̂ − xp̂2 ) = −,2m2m2mmmω 2 2mω 2mω 2(x p̂ − p̂x2 ) =(x(p̂x + i~) − p̂x2 ) =((p̂x + i~)x + xi~ − p̂x2 ) = im~ω 2 x .222Возьмем матричный элемент этих равенств между n-ым и k-ым состояниями с определенной энергией (т.е. собственными векторами гамильтониана осциллятора). Тогда, применяяправило умножения матриц (10.3) и предполагая, что собственные векторы гамильтониана нормированы, имеем из (10.10)X(xnl plk − pnl xlk ) = i~δnk .[Ĥ, p̂] =lДалее, используя свойство 2 скалярного произведения и определение (10.1), найде쵶i~p̂i~(ψn , [Ĥ, x̂]ψk ) = ψn , −ψk = − pnk ,mm¡¢(ψn , [Ĥ, p̂]ψk ) = ψn , im~ω 2 xψk = im~ω 2 xnk .Но, учитывая эрмитовость гамильтониана и то, что ψk , ψn – его собственные векторы,можем написать(ψn , [Ĥ, x]ψk ) = (ψn , (Ĥx − xĤ)ψk ) = (Ĥψn , xψk ) − (ψn , xĤψk ) = (En − Ek )xnkи, аналогично,(ψn , [Ĥ, p̂]ψk ) = (En − Ek )pnk .Таким образом, мы получаем следующую систему уравнений для величин xnk , pnkX(xnl plk − pnl xlk ) = i~δnk ,ωnk xnk = −lipnk ,mωnk pnk = imω 2 xnk ,где введена величина ωnk = (En − Ek )/~, называемая частотой перехода из состояния ψk2в состояние ψn .
Из последних двух уравнений системы следует, что (ωnk− ω 2 )xnk = 0 , т.е.200§10.2. Матрицы координаты и импульса осциллятораматричные элементы координаты (а, следовательно, и импульса) отличны от нуля лишьдля переходов между состояниями, для которых ωnk = ±ω. Как мы знаем из §8.5, величина ~ω есть как раз разность энергий соседних уровней осциллятора. Таким образом,для данного n величины xnl , pnl отличны от нуля лишь при l = n ± 1. Поэтому первоеуравнение системы при n = k сводится к(xn,n−1 pn−1,n + xn,n+1 pn+1,n ) − (pn,n−1 xn−1,n + pn,n+1 xn+1,n ) = i~ .(10.11)Поскольку операторы x̂, p̂ эрмитовы, их матрицы удовлетворяют соотношению (10.5).
Более того, если мы договоримся выбирать собственные функции гамильтониана веществен(это всегда возможно, см. замечание после (8.5)), то все матричные элементы xnk =Rными+∞dxψn∗ xψk будут вещественными, т.к. x вещественна. Следовательно, ввиду равенства−∞(10.5), матрица координаты будет симметрична, xnk = xkn , а матрица импульса антисимметрична, pnk = −pkn . Учитывая это и подставляя pn,n±1 = imωn,±1 xn,±1 = ∓imωxn,n±1 всоотношение (10.11), находим(xn,n−1 (−imωxn−1,n ) + xn,n+1 imωxn+1,n ) − (imωxn,n−1 xn−1,n − imωxn,n+1 xn+1,n ) = i~ ,или~.(10.12)2mωИз этого соотношения следует, что величины (xn,n−1 )2 образуют арифметическую прогрессию, причем x0,−1 ≡ 0, поскольку состояний с n < 0 не существует. Таким образом,(xn+1,n )2 − (xn,n−1 )2 =n~.(10.13)2mωВыше мы договорились выбирать собственные функции гамильтониана вещественными.Это условие оставляет произвольными их знаки.
Выберем теперь эти знаки так, чтобы xn,n−1 были положительны. Это легко сделать последовательно следующим образом. Возьмем функцию ψ0 (x) с любым знаком, и затем выберем знак ψ1 (x) так, чтобы x10 = (ψ1 , xψ0 ) был положителен. Затем выберем знак функции ψ2 (x) так, чтобыx21 = (ψ2 , xψ1 ) также был положителен, и т.д.
Тогда окончательно получим матричныеэлементы координаты в видеrn~xn,n−1 =.(10.14)2mωСогласно постулату III оператор любой физической величины выражается через операторы координат и импульсов, поэтому, зная матрицы операторов этих двух операторов,можно найти матрицу любого оператора. В частности, можно заново получить выражениедля уровней энергии. Замечая, что En = Hnn , имеем(xn,n−1 )2 =(p2 )nn mω 2 (x2 )nn+2m2mω 21(pn,n−1 pn−1,n + pn,n+1 pn+1,n ) +(xn,n−1 xn−1,n + xn,n+1 xn+1,n )=2m21mω 2=(|pn,n−1 |2 + |pn,n+1 |2 ) +((xn,n−1 )2 + (xn,n+1 )2 ) = mω 2 ((xn,n−1 )2 + (xn,n+1 )2 )2m µ2¶n~(n + 1)~2= mω+= ~ω(n + 1/2) ,2mω2mωEn =т.е. формулу (8.58).201Глава 11. СпинГлава 11.§11.1.СПИНОператор спинаКак показывает опыт, многие квантовые системы обладают определенной дискретнойхарактеристикой, не имеющей аналога в классической механике и называемой спином.Более точно, отсутствие у спина классического аналога означает, что не существует такой функции f (r, p) координат и импульсов частиц системы, с помощью которой можнобыло бы построить оператор этой величины в соответствии с постулатом III.
Замечательным является однако тот факт, что основные свойства спина очень похожи на свойства момента импульса, чем и объясняется само название “спин” (от английского словаspin – вращение). Отсутствие классической функции f (r, p), по которой можно былобы построить оператор спина, означает, что спину не соответствует какое-либо реальноепространственное вращение (такое вращение как раз описывается моментом импульса).Строго говоря, свойства спина могут быть описаны последовательно лишь в рамках релятивистской квантовой теории – теории, обобщающей квантовую механику и основаннойна принципе относительности Эйнштейна. Оставаясь же в рамках нерелятивистской квантовой механики, наличие спина и вид его оператора можно ввести как дополнительныйпостулат, чему и посвящен настоящий параграф.Схожесть свойств спина и момента выражается математически в том, что спин является вектором, причем коммутационные соотношения для компонент оператора спина ŝимеют тот же вид (9.16), (9.17) что и для оператора момента (как и момент, спин удобноизмерять в единицах ~, что и предполагается везде ниже)[ŝx , ŝy ] = iŝz ,[ŝy , ŝz ] = iŝx ,[ŝz , ŝx ] = iŝy .(11.1)Как было сказано выше, ŝ не может быть выражен через r, p̂.
Поэтому в выражении ŝψоператор спина действует не на обычные координаты r, а на особые “спиновые” координаты волновой функции. Обозначая эти координаты через σ, мы будем поэтому писатьтеперь волновую функцию как ψ({r}, σ), причем будем предполагать для простоты, чтозависимость ψ от σ отделяется в виде множителя:ψ({r}, σ) = ϕ({r})χ(σ) .Когда такое разделение действительно имеет место, функцию ϕ({r}) называют координатной волновой функцией, а χ(σ) – спиновой волновой функцией. До сих пор мы изучалилишь первую, а теперь сосредоточимся на второй.
Оказывается, что вид оператора спинаможно установить непосредственно из коммутационных соотношений (11.1), используяпонятие о φ-представлении, введенное в §10.1A. Там было показано, что волновые функции можно представлять числовыми столбцами – коэффициентами разложения данногосостояния по полной ортонормированной системе некоторого эрмитова оператора φ̂.
Вэтом случае операторы представляются матрицами, вычисленными по этой системе. Выберем в качестве оператора φ̂ оператор ŝz – оператор проекции вектора спина на некоторую ось в пространстве. Тогда, как мы знаем из §10.1A, аргументом волновой функцииχ(σ) будет являться индекс, нумерующий собственные значения оператора ŝz . В теорииспина принято в качестве этого индекса использовать сами собственные значения. Такимобразом, переменная σ будет пробегать собственные значения ŝz . Тогда формулы для χ(σ)и матриц спина получаются заменой c(n) → χ(σ), fmn → sσσ0 в формулах §10.1A.202§11.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
