К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Спинкоторых может находиться каждый из электронов, через ψn . Тогда волновые функциисистемы, меняющие знак при перемене местами электронов, должны иметь видψnm (ξ1 , ξ2 ) = ψn (ξ1 )ψm (ξ2 ) − ψn (ξ2 )ψm (ξ1 ) .Непосредственно видно, что ψnn (ξ1 , ξ2 ) ≡ 0, что и утверждает принцип Паули.Из свойств симметрии волновой функции при перестановке частиц следует важный вывод о свойствах ее симметрии при перестановке одних лишь пространственных координатчастиц. Как было указано выше, обычно взаимодействия частиц приводят к установлениюопределенного значения полного спина системы.
При этом спиновые волновые функциисами по себе оказываются обладающими определенной симметрией. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим опять случай двух электронов, предполагая их взаимодействиеслабым настолько, чтобы можно было говорить о состояниях каждого из электронов вотдельности, так что волновая функция системы по-прежнему может быть записана через произведения волновых функций двух электронов. Тогда спиновые волновые функции системы, описывающие состояния с определенным значением полного спина, даютсявыражениями (11.23), (11.27) – (11.28). Очевидно, что при перестановке индексов 1 и 2функции с s = 1 не меняются, а функция (11.28), описывающая состояние с s = 0, меняетзнак. Поскольку полная волновая функция должна быть антисимметричной при одновременной перестановке r1 ↔ r2 , σ1 ↔ σ2 , то отсюда следует, что в состояниях с s = 1координатная волновая функция системы антисимметрична при замене r1 ↔ r2 ,ϕs=1 (r1 , r2 ) = −ϕs=1 (r2 , r1 ) ,(11.19)а в состоянии с s = 0 симметричнаϕs=0 (r1 , r2 ) = ϕs=0 (r2 , r1 ) .Если выбор значения полного спина определяется электростатическим взаимодействиемэлектронов, то на основании этих формул естественно ожидать, что состоянием с наименьшей энергией будет состояние с s = 1.
Действительно, в силу равенства (11.19) волновая функция этого состояния обращается в нуль при r1 = r2 . Это означает, что вероятность нахождения электронов вблизи друг от друга мала, следовательно, мала такжеи энергия их электростатического отталкивания. Поэтому при прочих равных условияхэнергия состояний с s = 1 будет меньше энергии состояния с s = 0. Это рассуждениелегко обобщается на случай любого числа электронов – наименьшей энергией будет обладать конфигурация с наибольшим значением полного спина. В применении к атомамэтот результат составляет содержание правила Хунда заполнения электронных оболочек.§11.4.Сложение спиновРассмотрим систему, состоящую из двух частиц со спином 1/2, и поставим вопросо спине такой системы, рассматриваемой как целое. Для этого надо изучить свойстваоператора полного спина системыŝ = ŝ1 + ŝ2 ,где ŝ1,2 есть операторы спина частиц.
Заметим, прежде всего, что эти операторы коммутируют друг с другом. Действительно, спиновая волновая функция χ = χ(σ1 , σ2 ) в208§11.4. Сложение спиноврассматриваемом случае является функцией двух переменных σ1 и σ2 , каждая из которых описывает свою частицу и пробегает значения ±1/2, а операторы (матрицы) ŝ1 и ŝ2действуют, соответственно, на аргумент σ1 и σ2 :XX(ŝ1 χ)(σ1 , σ2 ) =(s)σ1 σ10 χ(σ10 , σ2 ) , (ŝ2 χ)(σ1 , σ2 ) =(s)σ2 σ20 χ(σ1 , σ20 ) ,(11.20)σ10σ20где матрицы (s)σ1 σ10 , (s)σ2 σ20 имеют вид (11.16). Поскольку суммирование в формулах(11.20) идет по разным переменным, то порядок действия операторов ŝ1 , ŝ2 не важен:используя формулы (11.20), находим по определению произведения операторовX(s)σ1 σ10 (ŝ2 χ)(σ10 , σ2 )({ŝ1 ŝ2 }χ) (σ1 , σ2 ) = (ŝ1 (ŝ2 χ)) (σ1 , σ2 ) =σ10XXXX(s)σ1 σ10 χ(σ10 , σ20 )(s)σ2 σ20(s)σ1 σ10(s)σ2 σ20 χ(σ10 , σ20 ) ==σ10σ20σ20σ10X=(s)σ2 σ20 (ŝ1 χ)(σ1 , σ20 ) = (ŝ2 (ŝ1 χ)) (σ1 , σ2 ) = ({ŝ2 ŝ1 }χ) (σ1 , σ2 ) ,(11.21)σ20где фигурные скобки указывают, что под произведением векторов ŝ1 , ŝ2 понимается простое произведение каких-либо их компонент.
Таким образом,ŝ1 ŝ2 − ŝ2 ŝ1 = 0 .Отсюда следует, что компоненты полного спина удовлетворяют тем же коммутационнымсоотношениям, что и операторы ŝ1,2 . Имеем, например,[ŝx , ŝy ] = [ŝx1 + ŝx2 , ŝy1 + ŝy2 ] = [ŝx1 , ŝy1 ] + [ŝx2 , ŝy2 ] = iŝz1 + iŝz2 = iŝz .Отсюда следует, в частности, что квадрат полного спина коммутирует с проекций полногоспина на ось z (см. §9.4A). Далее, оба эти оператора коммутируют с квадратами спиновŝ1,2 . Действительно,ŝ2 = (ŝ1 + ŝ2 )(ŝ1 + ŝ2 ) = ŝ21 + ŝ22 + 2(ŝ1 ŝ2 ) .(11.22)Поскольку ŝ21 коммутирует со всеми компонентами ŝ1 , а также по только что доказанномусо всеми компонентами ŝ2 , то [ŝ2 , ŝ21 ] = 0 .
Аналогично доказывается, что [ŝz , ŝ21,2 ] = 0 . Однако ŝ2 не коммутирует с компонентами ŝ1,2 по отдельности: например, хотя ŝz1 коммутирует с первыми двумя слагаемыми в правой части (11.22), но не коммутирует с последним,поскольку [ŝz1 , ŝx1 ] 6= 0, [ŝz1 , ŝy1 ] 6= 0.
Как мы знаем из §7.5A, коммутативность операторовŝ2 , ŝ21 , ŝ22 , ŝz означает, что они имеют полную систему совместных собственных функций.В состояниях, описываемых такими функциями, все четыре величины s2 , s21 , s22 , sz имеют определенные значения, а в силу принципа неопределенности (§7.5B) значения величин sz1 , sz2 , вообще говоря, не определены. Наоборот, операторы ŝ21 , ŝ22 , ŝz1 , ŝz2 также всекоммутируют друг с другом, и потому имеют полную систему совместных собственныхфункций. В соответствующих состояниях s21 , s22 , sz1 , sz2 имеют определенные значения, аs2 не определен. С физической точки зрения наиболее интересными являются состоянияпервого типа, поскольку взаимодействия между частицами обычно приводят к установлению определенной величины именно квадрата полного спина.
Построим эти состояния.209Глава 11. СпинВообще говоря, для этого надо решить следующую систему уравнений на собственныефункции и собственные значенияŝ2 χ = s(s + 1)χ ,ŝz χ = σχ ,ŝ21 χ = s1 (s1 + 1) χ ,ŝ22 χ = s2 (s2 + 1) χ ,где неизвестными являются функции χ = χ(σ1 , σ2 ) и числа s, σ (а числа s1 , s2 равны поусловию 1/2). Однако проще и нагляднее найти эти состояния, используя известные намсвойства собственных функций и собственных значений. Определим сперва спектр оператора ŝz = ŝ1z + ŝ2z . Спектр данного оператора является характеристикой этого оператораи не зависит от того, какие другие операторы выбираются в качестве набора коммутирующих с ним операторов.
Поэтому собственные значения ŝz можно найти, рассматриваясостояния χ, в которых вместе с sz имеют определенные значения и величины s1z , s2z .Действуя на такое состояние оператором ŝz = ŝ1z + ŝ2z , получаем σχ = σ1 χ + σ2 χ, откудаσ = σ1 + σ2 .Поскольку каждая из проекций σ1,2 может принимать значения ±1/2, то из полученногоравенства следует, что собственными значениями ŝz являются σ = +1, 0, −1. Далее, поопределению числа s оно равняется наибольшему из возможных значений проекции наось z при заданном значении квадрата спина. Мы еще не знаем, какие значения можетпринимать квадрат спина и какие из найденных значений σ им соответствуют, но поскольку среди трех значений ±1, 0 максимальным является +1, то ясно, что одним иззначений s является s = 1, и это значение является максимально возможным. При этомзначении полного спина его проекция σ пробегает значения +1, 0, −1, т.е. все возможныесобственные значения оператора ŝz .
Это, однако, не означает, что s = 1 является единственным возможным значением полного спина, поскольку состояние с s = 0 также имеетσ = 0. Легко видеть, что состояние с s = 0 действительно должно существовать. Это следует уже из простого подсчета общего числа собственных функций. С математическойточки зрения, переход от собственных функций одного набора коммутирующих операторов к собственным функциям другого такого набора представляет собой смену базиса впространстве состояний. Поскольку число векторов базиса должно при этом оставатьсянеизменным, то число состояний с определенной величиной квадрата полного спина врассматриваемом случае должно равняться четырем.
Действительно, при заданных значениях s1 = s2 = 1/2 базис собственных функций набора ŝ21 , ŝ22 , ŝz1 , ŝz2 состоит из четырехфункций вида χσ̃1 σ̃2 (σ1 , σ2 ) = χσ̃1 (σ1 )χσ̃2 (σ2 ) , соответствующих четырем возможным комбинациям σ̃1 = σ̃2 = 1/2, σ̃1 = −σ̃2 = 1/2, σ̃1 = −σ̃2 = −1/2 и σ̃1 = σ̃2 = −1/2. С другойстороны, состоянию с s = 1 в новом базисе соответствуют лишь три собственных функциис σ = ±1, 0, поэтому недостающая четвертая функция должна соответствовать состояниюс s = 0.
Этот результат можно интерпретировать наглядно, сказав, что состояния с s = 1и s = 0 описывают конфигурации спинов, в которых векторы спинов соответственно параллельны и антипараллельны друг другу. Однако при этом ни сами эти векторы, ни ихсумма не имеют определенного направления относительно осей x, y, z.Найдем теперь явный вид собственных функций состояний с определенным полнымспином. Наиболее прост случай s = 1, σ = 1. В этом случае не только sz но и s1z , s2zдолжны иметь определенные значения, равные 1/2. Действительно, поскольку 1/2 естьмаксимально возможное значение для каждого из s1z , s2z , то любая неопределенность в ихзначении привела бы к уменьшению их средних значений. Но тогда и сумма этих среднихs1z + s2z = sz была бы меньше единицы, тогда как по условию она равна единице.
Таким210§11.4. Сложение спиновобразом, собственная функция состояния с s = 1, σ = 1 имеет видχs=σ=1 (σ1 , σ2 ) = χ1/2 (σ1 )χ1/2 (σ2 ) ,где χ1/2 (σ) дается формулой (11.10) с σ̃ = 1/2. Непосредственной подстановкой этоговыражения в уравнение ŝz χ = σχ нетрудно убедиться, что σ действительно равно 1.Как мы знаем, фазу α в (11.10) можно выбрать произвольно для какого-либо одногосостояния, и тогда фазы состояний с другими σ̃ автоматически определятся из условияположительности матричных элементов повышающего оператора. Положим, например,α = 0 в состоянии с σ̃ = 1/2, т.е.
возьмем собственную функцию этого состояния длякаждой из частиц в виде½1 , σ = 21 ,χ1/2 (σ) = δ 1 ,σ =20 , σ = − 21 .Тогда собственная функция полной системы с s = σ = 1 примет видχs=σ=1 (σ1 , σ2 ) = δ 1 ,σ1 δ 1 ,σ2 .22Это выражение удобно изобразить графически, используя введенное выше представлениефункций χσ̃ (σ) в виде столбцовµ ¶ µ ¶11,(11.23)χs=σ=1 =0 1 0 2где нижний индекс у скобок указывает на систему, к которой относится данный столбец.Состояния с s = 1 и σ = 0 можно построить, используя основное свойство понижающегооператора ŝ− , а именно, что он переводит собственную функцию с данным σ̃ в собственнуюфункцию с σ̃ − 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
