К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 45
Текст из файла (страница 45)
С помощью формулы (11.15) оператор ŝ = ŝ1− + ŝ2− запишется вматричном виде ка굶µ¶0 00 0ŝ− =+,(11.24)1 0 11 0 2где нижний индекс у матрицы указывает на какой столбец умножается данная матрицапри составлении выражения ŝ− χ. Действуя этим оператором на вектор (11.23), находимвектор χs=1,σ=0 :(µµ¶ )µ ¶ µ ¶¶0 00 011+χs=1,σ=0 = ŝ− χs=σ=1 =1 0 11 0 20 1 0 2(µ¶ µ ¶)µ ¶ (µ¶ µ ¶ )µ ¶10 01110 0+=1 0 2 0 20 10 21 0 1 0 1µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶0110.(11.25)+=0 1 1 21 1 0 2Нормируем этот вектор.
Для этого вычислим его скалярный квадрат по формуле (10.9).В данном случае “координата” n состоит из двух индексов σ1 , σ2 и поэтому формула (10.9)имеет видX(χ1 , χ2 ) =χ∗1 (σ1 , σ2 )χ2 (σ1 , σ2 ) .(11.26)σ1 ,σ2211Глава 11. СпинВ соответствии с этой формулой выражение (χs=1,σ=0 , χs=1,σ=0 ) представится в виде четырех слагаемых, каждое из которых является произведением скалярных квадратов векторов состояния первой и второй частиц(χs=1,σ=0 , χs=1,σ=0 )((µ ¶ )(µ ¶)µ ¶ )(µ ¶)0110= (0 1)1(1 0)2+ 2 (0 1)1(1 0)21 10 20 11 2(µ ¶ )(µ ¶)10+ (1 0)1(0 1)2= 1 × 1 + 2 × 0 × 0 + 1 × 1 = 2.0 11 2Таким образом, нормированный собственный вектор с s = 1, σ = 0 имеет вид(µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶)10110χs=1,σ=0 = √+.1 1 0 20 1 1 22(11.27)Заметим, что нормировочный множитель этого вектора выбран положительным, так чтобы не изменить его фазу, которая уже фиксирована соглашением о выборе фаз матричныхэлементов повышающего оператора.
Действуя на этот вектор оператором ŝ− еще раз инормируя результат, получим вектор состояния с s = 1, σ = −1:µ ¶ µ ¶00.χs=1,σ=−1 =1 1 1 2Нам осталось найти собственный вектор состояния с s = 0. Это легко сделать с помощьютеоремы об ортогональности собственных функций эрмитова оператора, соответствующих различным собственным значениям (см. §7.4B). А именно, вектор χs=0 должен бытьортогонален всем трем найденным выше векторам с s = 1.
Поскольку при s = 0 также иσ = 0, то искомый вектор должен являться линейной комбинацией векторовµ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶0110,.1 1 0 20 1 1 2Легко видеть, что таким вектором является(µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶)10110χs=0,σ=0 = √−,1 1 0 20 1 1 22(11.28)что нетрудно проверить, вычислив скалярное произведение этого вектора с вектором(11.27).Проведенное рассуждение непосредственно обобщается на системы с любым спиноми применимо также к сложению моментов или момента со спином.
Если данная система состоит из двух подсистем со спинами s1 и s2 , то максимально возможное значениепроекции на ось z вектора полного спина равно s1 + s2 , и поэтому наибольшее значениеполного спина есть smax = s1 +s2 . Это соответствует случаю, когда оба спина параллельныдруг другу. Минимальное же значение достигается в случае антипараллельных спинов:smin = |s1 − s2 |. Поскольку число s по определению есть максимально возможное значениеs1z + s2z при заданном значении квадрата вектора спина, то число s является целым, если212§11.4.
Сложение спиновобе частицы имеют либо целый, либо полуцелый спин, и является полуцелым, если одначастица имеет целый спин, а другая полуцелый. Другими словами, для данной системычисло 2s имеет всегда одну и ту же четность, и поэтому все возможные значения s отличаются на целое число. Таким образом, при заданных s1 , s2 полный спин системы можетпринимать (2s + 1) значений|s1 − s2 |, |s1 − s2 | + 1, ..., s1 + s2 − 1, s1 + s2 .Поскольку при каждом данном s проекция sz может принимать значения −s, −s+1, ..., s−1, s, то полное число независимых состояний с определенным значением полного спинаравно, по известной формуле для суммы арифметической прогрессии,sX1 +s2(2s + 1) =s=|s1 −s2 |{2|s1 − s2 | + 1} + {2(s1 + s2 ) + 1}{(s1 + s2 ) − |s1 − s2 | + 1}2= (s1 + s2 + 1)2 − |s1 − s2 |2 = 4s1 s2 + 2s1 + 2s2 + 1 = (2s1 + 1)(2s2 + 1) ,(11.29)т.е.
то же число, что и в исходном базисе собственных векторов набора операторовŝ21 , ŝ22 , ŝz1 , ŝz2 , в котором s1z и s2z по отдельности имеют определенные значения и могутпринимать независимо (2s1 + 1) и (2s2 + 1) значений, соответственно.Пример 47. Полные спин и момент электронов атома серебра. Найдем величину полногоспина электронов атома серебра в нормальном состоянии. Состояние электрона в центральном поле характеризуется четырьмя квантовыми числами – главным (n), орбитальным (l), магнитным (m) числами, определяющими вид координатной волновой функции,и числом σ – проекцией спина на ось z, определяющим спиновую волновую функциюэлектрона. При этом согласно принципу Паули в каждом состоянии с данными n, l, m, σможет находиться не более одного электрона.
Поскольку энергия электрона зависит лишьот главного и орбитального квантовых чисел, то электроны в атоме удобно разбивать нагруппы (оболочки) с одинаковыми значениями n, l. В нормальном состоянии 47 электронов атома серебра заполняют все состояния с n = 1 и l = 0 (2 электрона), n = 2 иl = 0, 1 (2 + 6 = 8 электронов), n = 3, 4 и l = 0, 1, 2 (2(2 + 6 + 10) = 36 электронов),и одно состояние с n = 5, l = 0. Непосредственным следствием принципа Паули является тот факт, что полный спин S и полный момент импульса L каждой заполненнойоболочки равны нулю.
Действительно, поскольку по определению число электронов в заполненной оболочке равняется числу возможных состояний, то имеется всего лишь однанезависимая волновая функция, описывающая состояние рассматриваемой совокупностиэлектронов – перестановка электронов приводит лишь к изменению ее знака.
Если хотябы одно из чисел S, L не равнялось нулю, то имелось бы несколько волновых функций,соответствующих различным значениям проекции вектора S или вектора L на ось z. Ноэто невозможно, поскольку эти функции были бы линейно-независимы как собственныефункции оператора Ŝz или L̂z (см. §7.4A).Равенство S = 0 для заполненной оболочки можно доказать и непосредственно с помощью полученных выше формул. Именно, если в состоянии с данными n, l, m имеетсяровно два электрона, то они имеют противоположные значениями σ.
Поэтому их общаяспиновая волновая функция должна быть линейной комбинацией видаµ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶0110.(11.30)+ c2χ = c10 1 1 21 1 0 2213Глава 11. СпинРис. 21: Схема опыта Штерна-Герлаха.Поскольку оба электрона имеют одинаковые значения n, l, m, то их координатные волновые функции совпадают, и поэтому координатная волновая функция системы двухэлектронов является симметричной относительно перестановки электронов. Следовательно, спиновая волновая функция (11.30) должна быть антисимметричной, т.е. c1 = −c2 ,а такая функция соответствует состоянию с нулевым суммарным спином [ср. формулы(11.28), (11.27)].Таким образом, полные спин и момент импульса электронной компоненты атома серебра в нормальном состоянии совпадают со спином и моментом единственного электрона внезаполненной оболочке, т.е., S = 1/2, L = 0.§11.5.Опыт Штерна-Герлаха.
Уравнение ПаулиВажный эксперимент, послуживший основанием для гипотезы о существовании у электрона собственного момента, был поставлен в 1922 г. немецкими физиками О. Штерноми В. Герлахом. В этом эксперименте пучок атомов серебра, полученных испарением привысокой температуре, пропускался в вакууме через неоднородное магнитное поле и затемосаждался на стеклянной пластине (см.
Рис. 21). Было обнаружено, что при прохождении через магнитное поле пучок разделяется на два пучка равной интенсивности, причемразделение происходит в направлении неоднородности магнитного поля.Для того чтобы объяснить этот результат, рассмотрим сперва эксперимент ШтернаГерлаха с классической точки зрения. Покажем, прежде всего, что несмотря на неоднородность магнитного поля, его влияние на движение атомов серебра можно описыватьв приближении однородного поля. Основанием для этого является следующее соображение. В силу малости размеров атома движение электронов в нем можно рассматриватькак происходящее в однородном магнитном поле, напряженность которого равна напряженности внешнего поля в точке нахождения атома.
В силу же электронейтральностиатома нарушение приближения однородного поля на бóльших масштабах должно бытьнесущественно. Для того чтобы строго обосновать это интуитивное рассуждение, векторный потенциал однородного поля удобно выбрать в следующей инвариантной форме (т.е.форме, независящей от частного выбора направления координатных осей):1A = [H, r] .2(11.31)Проверим, что оно приводит к заданному значению H напряженности поля.
Имеем, на214§11.5. Опыт Штерна-Герлахапример, для x-компонентыHx =∂Az ∂Ay1 ∂(Hx y − Hy x) 1 ∂(Hz x − Hx z)Hx −Hx−=−=−= Hx .∂y∂z2∂y2∂z22В силу произвольности направления оси x тот же результат получится и для осей y, z.Поэтому функция Лагранжа атома в магнитном поле имеет видX mi ṙ 2 X qiiL=+(ṙi , [H, ri ]) − U ,22ciiгде суммирование ведется по всем частицам системы (электроны и ядро), а U обозначает полную электростатическую энергию взаимодействия частиц атома. Для того чтобыопределить эффективное влияние электронного состояния на движение атома в магнитном поле, применим прием, аналогичный использованному в §4.2. Именно, учитывая тотфакт, что электронные скорости значительно превосходят скорость ядра, усредним L поинтервалу времени, большому по сравнению с периодом обращения электрона вокруг ядра, но малому по сравнению с характерным временем орбитального движения атома, т.е.его движения как целого в поле H. При этом влиянием магнитного поля на само электронное состояние будем пренебрегать (это влияние будет рассмотрено в примере 48).Обозначая определенное таким образом усреднение угловыми скобками, имеем очевидные равенстваhri i = R ,hṙi i = Ṙ ,(11.32)где R обозначает центр инерции атома.
Они выражают целостность атома, т.е. что частицы не разлетаются, а движутся вокруг центра инерции атома. Для того чтобы усреднитькинетическую энергию, пишемhṙi2 i = h(ṙi − Ṙ)2 + 2(ṙi , Ṙ) − Ṙ2 i = h(ṙi − Ṙ)2 i + Ṙ2 .Первый член справа представляет собой среднее значение квадрата скорости частицыотносительно центра масс. Поэтому эта величина не зависит от скорости атома как целого.Поскольку мы пренебрегаем влиянием магнитного поля на электронное состояние, тоh(ṙi − Ṙ)2 i не зависит от H, а следовательно, и от положения атома в пространстве.Другими словами, эта величина является постоянной и может быть опущена (как и всякаяаддитивная постоянная в функции Лагранжа). Аналогично, так как электростатическаяэнергия зависит лишь от расстояний между частицами, среднее значение U также независит ни от положения атома, ни от его скорости. Таким образом, hT − U i сводится кодному членуX mi Ṙ2µṘ2=,hT i =22iгде µ есть полная масса атома.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
