К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Для l = 0 полином p(%) имеетвид p20 (%) = a0 + a1 %. Полагая k = 0 в уравнении (9.57), находим 2a1 + a0 = 0, поэтомуR20 (r) = B20 (1 − r/2)e−r/2 . При l = 1 полином p(%) снова есть просто константа, и поэтомупо формуле (9.60) находим R21 (r) = B21 re−r/2 . Нормируя эти функции, получаем1 ³r ´ −r/2rR20 (r) = √ 1 −e, R21 (r) = √ e−r/2 .222 6Перепишем, наконец, полученные формулы в обычных единицах.
Для этого учтем,что [α] = [U · r] = г·см3 /с2 , [~] =г·см2 /с, [m] =г, поэтому комбинацией этих трех параметров с размерностью энергии является mα2 /~2 , следовательно, формула (9.59) в обычныхединицах принимает видEn = −mα2.2~2 n2Далее, размерностью длины обладает комбинация ~2 /(m|α|), так что выражения для радиальных функций в обычных единицах получатся, если в написанных выше выражениях3/22для Rnl (r) заменить r → rm|α|/~2 и поделить их на (~2 /m|α|) (поскольку Rnlдолжны−3иметь размерность см ).
Например,R10 (r) =2(m|α|)3/2 −rm|α|/~2e.~3Форма и размеры областей “размазанности” электрона в низших состояниях (т.е. областей, в которых |ψ|2 заметно отлична от нуля) – электронных орбиталей – показанына Рис. 20.Пример 45. Атом водорода. Применим полученные результаты к атому водорода. Какмы знаем, задача определения движения двух тел с массами m1 и m2 , взаимодействующих по закону U (|r1 − r2 |) сводится к задаче о движении одной частицы массыm = m1 m2 /(m1 + m2 ) в поле U (r). В данном случае U (r) = −e2 /r, где e – элементарный заряд, а приведенная масса m приближенно равна массе электрона, в силу малостипоследней по сравнению с массой протона. Поэтому спектр дискретных уровней энергииатома водорода дается выражениемEn = −me4,2~2 n2n = 1, 2, ...Подставляя сюда e = 4, 803 · 10−10 ед.СГС, m = 9, 11 · 10−28 г, ~ = 1, 055 · 10−27 г·см2 /с,получаем численные значения для уровней энергии En = −1/(2n2 ) · 4, 36 · 10−11 г·см2 /с2 .194§9.7.
Кулоново полеРис. 20: Электронные орбитали нормального и первых двух возбужденных состояний в кулоновом поле притяжения. Вид в плоскости, проходящей через ось симметрии орбиталей (ось z).Яркость областей пропорциональна |ψ|2 . Расстояния указаны в единицах ~2 /(m|α|).Атомная же единица длины равна ~2 /(me2 ) = 0, 529 · 10−8 см.
(так называемый боровскийрадиус).Рассмотрим подробно нормальное состояние. Его волновая функция есть1ψ100 (r, θ, φ) = R10 (r)Y00 (θ, φ) = 2e−r √ .4πОна сферически-симметрична. Отсюда в частности следует, что плотность распределения вероятностей координат электрона w(r) = |ψ|2 зависит лишь от |r| = r. При этомраспределение вероятностей для самой координаты r дается квадратом модуля функцииχ(r) = rR(r) (см. вывод формулы (9.38))w(r) = 4r2 e−2r .Эта функция имеет максимум при r = 1, т.е.
при r = 0, 529 · 10−8 см в обычных единицах.Среднее расстояние электрона до ядраZ∞Z∞3r̄ = drrw(r) = dr4r3 e−2r = .200Вычислим теперь распределение вероятностей импульса электрона. Согласно §7.4C плотность этого распределения дается квадратом модуля cp – коэффициента разложения волновой функции данного состояния по нормированным собственным функциям оператора195Глава 9. Трехмерное движениевектора импульса.
Подставляя выражение для ψ100 в формулу (7.64), получим (в единицах ~ = m = e = 1)Z +∞ZZ−r13−i(pr) e√.cp =dre(2π)3/2π−∞Для того чтобы вычислить этот тройной интеграл, направим ось сферической системыкоординат по вектору p. Тогда1cp = √π(2π)3/2ZπZ2πdφ0Z∞drr2 e−ipr cos θ−r ,dθ sin θ00где p ≡ |p| . Интеграл по φ дает 2π, а в интеграле по θ делаем замену u = cos θ:1cp = √2π√ Z∞√Z+1 Z∞Z∞22 ∂2 −ipru−r−rdu drr e=drre sin(pr) = −dre−r cos(pr) .πpπp ∂p−1000Последний интеграл берется двойным интегрированием по частям:Z∞I ≡dre−r1cos(pr) =p0= −Z∞−rd sin(pr)e01p2Z∞d cos(pr)e−r0¯∞Z∞¯11−r ¯= sin(pr)e ¯ +dre−r sin(pr)pp00¯∞Z∞¯111I= − 2 cos(pr)e−r ¯¯ − 2 dre−r cos(pr) = 2 − 2 ,pppp00откуда I = (1 + p2 )−1 , и поэтому√√2 ∂12 2cp = −=.πp ∂p 1 + p2π(1 + p2 )2Таким образом, плотность распределения вероятностей импульса электрона естьw(p) = |cp |2 =π 2 (18.+ p2 )4Комбинацией постоянных ~, m, e с размерностью импульса является me2 /~.
Учитываятакже, что плотность вероятности трехмерного вектора импульса должна иметь размерность [импульс]−3 , получаем выражение для w(p) в обычных единицах:µw(p) =~me2¶3π 2 {11968.+ (~p/me2 )2 }4§10.1. Определение и основные свойства матрицГлава 10.МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВПонятие о волновой функции в ее современном виде и уравнение Шредингера былипредложены в 1926 г. Однако несколько ранее этого квантовая механика была сформулирована в матричном виде – каждой физической величине сопоставлялся набор комплексных чисел, сгруппированных в квадратную матрицу, собственные значения которойопределяли спектр данной физической величины, а изменения состояния системы описывались как преобразования этой матрицы. Обе формулировки полностью эквивалентны,но в разных задачах удобны по-разному.
Матричная формулировка особенно удобна приработе с величинами с дискретным спектром, потому что она сводит задачи решениядифференциального уравнения Шредингера и вычисления средних значений к алгебраическим.§10.1.Определение и основные свойстваПусть имеется полная ортонормированная система векторов {ψn }, например, системасобственных функций некоторого эрмитова оператора φ̂. Пусть, далее, fˆ – некоторыйлинейный оператор (эрмитов или нет).
Совокупность величинfnm = (ψn , fˆψm )(10.1)называется матрицей оператора fˆ в базисе {ψn }. Договоримся, что первый индекс матрицы, как обычно, нумерует ее строки, а второй – столбцы. Матрица оператора естественнопоявляется при разложении вектора fˆψn по системе {ψn }:Xfˆψn =fmn ψm .(10.2)mЭто равенство легко проверить, скалярно умножая обе его части на ψk и используя свойство 2 скалярного произведения и ортонормированность векторов {ψn }Ã!XXX(ψk , fˆψn ) = ψk ,fmn ψm =fmn (ψk , ψm ) =fmn δkm = fkn .mmmНайдем выражение для матрицы (f 0 f )nm , сопоставляемой произведению двух операторов fˆ, fˆ0 . Используя формулы (10.1), (10.2), определение произведения операторов, ихлинейность, а также свойство 2 скалярного произведения, находимÃ!³´XXfkm ψk =fkm ψn , fˆ0 ψk(fˆ0 fˆ)nm = (ψn , (fˆ0 fˆ)ψm ) = (ψn , fˆ0 (fˆψm )) = ψn , fˆ0=XkÃfkmψn ,Xlk!flk0 ψl=XkfkmXflk0 (ψn , ψl ) =lkXkfkmXlflk0 δnl =X0fkm fnk,kили(fˆ0 fˆ)nm =Xk1970fkm ,fnk(10.3)Глава 10.
Матрицы операторовт.е. матрица произведения операторов равна произведению их матриц, вычисляемому пообычному правилу умножения “строка на столбец.” Найдем теперь матрицу оператора,эрмитово-сопряженного данному оператору fˆ. Используя определения (7.10), (10.1), атакже свойство 1 скалярного произведения, находим(f + )nm = (ψn , fˆ+ ψm ) = (fˆ+ ψm , ψn )∗ = (ψm , fˆψn )∗ = (fmn )∗ ,или∗(f + )nm = (fgnm ) ,(10.4)где волна означает транспонирование матрицы, т.е. замену ее строк столбцами и наоборот. Итак, матрица оператора, эрмитово-сопряженного данному оператору, получаетсякомплексным сопряжением и транспонированием матрицы этого оператора.
В частности,матрица эрмитова оператора fˆ удовлетворяет равенствуfnm = (fmn )∗ .(10.5)Наконец, если операторы fˆ, φ̂ коммутируют, то, как мы знаем из §7.5A, у них имеется система совместных собственных функций. Если {ψn } – такая система, то fnm =(ψn , fˆψm ) = (ψn , fm ψm ) = fm δnm , илиfnm = fm δnm ,(10.6)т.е. матрица оператора fˆ является диагональной, причем на главной диагонали стоятсобственные значения fˆ.A.Переход в φ-представлениеМатрицы операторов позволяют обобщить понятие оператора и волновой функции.Пусть, как и раньше, {ψn } – ортонормированная система собственных функций оператораφ̂, а fˆ – какой-либо оператор. Возьмем произвольный вектор состояния системы ψ иразложим его по {ψn }:Xψ=c(n)ψn .(10.7)nКоэффициенты разложения здесь обозначены через c(n) вместо прежнего cn для удобствапоследующей их интерпретации.
Тогда, используя равенство (10.2), действие оператораfˆ на ψ можно представить в видеXXXXfˆψ = fˆc(n)ψn =c(n)fˆψn =c(n)fmn ψm ,nnnmили, меняя порядок суммирования по n и m,XXfˆψ =(fˆc)(m)ψm , (fˆc)(m) =fmn c(n) .mn198(10.8)§10.2. Определение и основные свойства матрицЗдесь введен новый символ (fˆc)(m), который обозначает набор чисел, вычисляемых повторой из формул (10.8), а именно, если представлять набор {c(n)} как столбец, то{(fˆc)(m)} есть также столбец, получающийся умножением матрицы fmn на c(n) по правилу “строка на столбец.” Первая из формул (10.8) показывает, что вместо того чтобыдействовать оператором fˆ на функции ψn , вектор fˆψ можно найти, заменив коэффициенты c(n) в разложении (10.7) на (fˆc)(n). Этот факт и позволяет расширить понятияволновой функции и оператора.
Действительно, поскольку любой вектор состояния ψможет быть представлен, и притом единственным способом, в виде (10.7), то вектор ψоднозначно определяет столбец {c(n)}, и наоборот. Аналогично, оператор fˆ однозначноопределяет матрицу fnm , а эта матрица, в свою очередь, однозначно определяет по формулам (10.8) действие оператора fˆ на произвольный вектор состояния ψ. Поэтому набор{c(n)} называют вектором состояния системы (волновой функцией) в представленииоператора φ̂, или, короче, в φ-представлении, а набор {fnm } – матрицей оператора fˆ вэтом представлении. При этом запись (fˆc)(n) вполне соответствует нашему прежнемуобозначению (fˆψ)({r}) для действия операторов на функции координат: индекс n, нумерующий собственные значения оператора φ̂, играет роль аргумента нового вектора (fˆc).В то время как |ψ({r})|2 определяет распределение вероятностей для координат, |c(n)|2определяет распределение вероятностей для величины φ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
