К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Оператор спинаОпределим возможные значения спина. В §9.4B, используя одни лишь коммутационныесоотношения для компонент момента импульса, было показано, что соседние собственныезначения его проекции отличаются на единицу, а собственные значения квадрата момента имеют вид l(l + 1), где l есть максимальное значение проекции момента при заданномзначении его квадрата. Поскольку компоненты спина удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, то это утверждение верно и для них. Таким образом, при заданномзначении ŝ2z = s(s+1), где s – некоторое число, σ пробегает значения −s, −s+1, ..., s−1, s.Однако теперь мы уже не можем утверждать, что эти значения являются целыми, т.к.целочисленность значений проекции момента импульса была получена из условия непрерывности ее собственной функции как функции угловой координаты, тогда как спин неимеет отношения к координатной зависимости волновой функции.
Поэтому единственным условием на σ является то, что между σ = −s и σ = +s должно уложиться целоечисло. Отсюда следует, что число s, которое обычно и называют спином системы, должнобыть либо целым, либо полуцелым. Далее, формула (9.21) также была получена исходяиз одних лишь коммутационных соотношений для момента, и потому справедлива и дляоператора ŝŝ2 = ŝ− ŝ+ + ŝz + ŝ2z ,(11.2)ŝ± = ŝx ± iŝy(11.3)гдеимеют прежний смысл повышающих/понижающих операторов.Найдем, наконец, операторы компонент спина для системы, спин которой имеет заданное значение s, т.е.,¡ 2 ¢ŝ χ (σ) = s(s + 1)χ(σ) .(11.4)Прежде всего, согласно формуле (10.6) матрица оператора ŝz в sz -представлении являетсядиагональной, с собственными значениями на главной диагонали:(sz )σσ0 = σδσσ0 .(11.5)Далее, для того чтобы найти матрицы операторов проекций спина на оси x, y, вычислимматрицы операторов ŝ± .
Для этого усредним уравнение (11.2) по состоянию χσ̃ , в которомодновременно с квадратом спина имеет определенное значение σ̃ и его компонента sz :(ŝz χσ̃ ) (σ) = σ̃χσ̃ (σ) .(11.6)s(s + 1) = (χσ̃ , ŝ− ŝ+ χσ̃ ) + σ̃ + σ̃ 2 .(11.7)ИмеемВычислим стоящее здесь скалярное произведение. Во-первых, как и всякий оператор физической величины, оператор спина эрмитов, ŝ+ = ŝ, и поэтому ŝ+− = ŝ+ . Следовательно,мы можем написатьX(χσ̃ , ŝ− ŝ+ χσ̃ ) = (ŝ+ χσ̃ , ŝ+ χσ̃ ) =|(ŝ+ χσ̃ )(σ)|2 ,(11.8)σ203Глава 11.
Спингде мы использовали формулу (10.9) для скалярного произведения векторов в sz представлении. Далее, по правилу действия операторов в sz -представлении имеем [см.вторую формулу (10.8)]X(ŝ+ χσ̃ ) (σ) =(s+ )σσ0 χσ̃ (σ 0 ) .(11.9)σ0Заметим, что по определению волновой функции в sz -представлении, величина |χ(σ)|2есть вероятность обнаружения значения σ при измерении sz . По условию, в состоянииχσ̃ (σ) компонента sz имеет определенное значение σ̃. Поэтому |χσ̃ (σ)|2 = δσ̃σ . Отсюдаследует, что½χσ̃ (σ) = eiα , σ = σ̃ ,(11.10)χσ̃ (σ) = 0 , σ 6= σ̃ ,где α – некоторое действительное число. Поэтому равенство (11.9) сводится к(ŝ+ χσ̃ ) (σ) = (s+ )σσ̃ eiα .(11.11)Кроме того, поскольку оператор ŝ+ увеличивает значение sz на единицу, а собственныевекторы эрмитова оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, то элемент (s+ )σσ̃ = (χσ , ŝ+ χσ̃ ) отличен от нуля лишь при σ = σ̃ + 1.
Учитываяэто и подставляя (11.11) в правую часть (11.8), получаем(χσ̃ , ŝ− ŝ+ χσ̃ ) = |(s+ )σ̃+1,σ̃ |2 ,после чего из уравнения (11.7) находим следующее выражение для модулей матричныхэлементов оператора ŝ+p|(s+ )σ̃+1,σ̃ | = s(s + 1) − σ̃(σ̃ + 1) .Фазы матричных элементов, как всегда, зависят от выбора фаз собственных функций, т.е.чисел α в выражении (11.10). Договоримся выбирать α так, чтобы все элементы (s+ )σ̃+1,σ̃были вещественны и положительны. Это можно легко сделать с помощью той же самойпроцедуры, что была использована при переходе от формулы (10.13) к (10.14). Такимобразом, опуская тильду над σ, получаем окончательно ненулевые матричные элементыповышающего оператора в видеp(s+ )σ+1,σ = s(s + 1) − σ(σ + 1) .(11.12)Матричные элементы понижающего оператора находим отсюда по формуле (10.4)p(11.13)(s− )σ,σ+1 = s(s + 1) − σ(σ + 1) ,а матрицы операторов ŝx , ŝy находим затем по формулам(sx )σσ0 =(s+ )σσ0 + (s− )σσ0,2(sy )σσ0 =следующих из определения (11.3).204(s+ )σσ0 − (s− )σσ0,2i(11.14)§11.2.
Спин 1/2§11.2.Спин 1/2Применим полученные формулы к важнейшему случаю s = 1/2. Этот спин имеютэлектрон, протон, нейтрон и многие другие частицы. В этом случае σ принимает двазначения +1/2 и −1/2. По формуле (11.12) находимs µ¶ µ ¶µ¶111 1(s+ ) 1 ,− 1 =+1 − −− + 1 = 1,222 222а остальные элементы равны нулю. Для того чтобы представить (s+ )σσ0 в виде матрицы2 × 2, договоримся нумеровать строки сверху вниз, а столбцы – слева направо в порядкеубывания σ от σ = +s до σ = −s. Тогд൶0 1ŝ+ =.0 0Аналогично по формуле (11.13) находимµŝ− =0 01 0¶.(11.15)Наконец, по формулам (11.14), (11.5) получае쵶µ¶0 1/20 −i/2ŝx =, ŝy =,1/2 0i/2 0µŝz =1/2 00 −1/2¶.(11.16)Это выражение для оператора спина электрона было получено немецким физиком В.
Паули в 1927г.Пример 46. Среднее значение и флуктуация проекции спина. Пусть спиновая волноваяфункция электрона χ(σ) задана в видеµ ¶1χ=,(11.17)0т.е. проекция спина на ось z имеет определенное значение 1/2. Найдем среднее значениепроекции спина на ось z 0 , составляющую угол θ с осью z. Найдем сперва вид операторапроекции спина на данное направление в пространстве. Для этого заметим, что операторŝz проекции спина на ось z может быть переписан тождественно в виде ŝz = (ŝ, n), гдеn = (0, 0, 1) – орт оси z. Поскольку запись через скалярное произведение инвариантна,т.е.
не зависит от выбора системы координат, то оператор проекции на ось z 0 имеет тотже вид ŝz0 = (ŝ, n0 ) где n0 – орт оси z 0 . Поскольку по условию угол между осями z и z 0равен θ, то в системе координат, в которой состояние электрона задано в виде (11.17),вектор n0 = (n0x , n0y , cos θ). Итак, оператор проекции на ось z 0 есть1ŝz0 = ŝx n0x + ŝy n0y + ŝz cos θ =2205Ãcos θ n0x − in0yn0x + in0y − cos θ!.Глава 11. СпинПоэтому среднее значение проекции спина на ось z 0 равно#"XXχ∗ (σ)(sz0 )σσ0 χ(σ 0 )sz0 = (χ, ŝz0 χ) =σ0σ" Ã! µ ¶#µ¶111cos θ n0x − in0ycos θ1= (1 0)= (1 0)= cos θ .00002 nx + iny − cos θ22nx + iny0В частности, так же как и в случае обычного момента, средние значения проекций спинана оси x, y (θ = π/2) равны нулю. Найдем теперь флуктуацию sz0 .
ИмеемDs2z0 = s2z0 − (sz0 )2 .Далее, по формуле (10.3) находим матрицу квадрата оператора ŝz0 :!Ã!Ã1cos θ nx0 − in0ycos θ n0x − in0y2ŝz0 =4 n0x + in0y − cos θn0x + in0y − cos θÃ!µ¶1 cos2 θ + (n0x )2 + (n0y )21 1 00=,=44 0 10cos2 θ + (n0x )2 + (n0y )2поскольку cos2 θ + (n0x )2 + (n0y )2 = n02 = 1 . Поэтомуs2z0=(χ, ŝ2z0 χ)· µ¶ µ ¶¸µ ¶1 1 01111= (1 0)= (1 0)= .4 0 14400Итак,Ds2z01= −4µили Dsz0 = sin θ/2.206cos θ2¶2,§11.3.
Бозоны и фермионы§11.3.Бозоны и фермионыОказывается, что спин частиц не только описывает их дополнительные “внутренниестепени свободы,” но и определяет симметрию волновых функций систем, состоящих изодинаковых частиц, по отношению к их перестановкам.
Рассмотрим для простоты системуиз двух электронов. Если поменять электроны местами, то в силу полной их тождественности состояние системы не должно измениться. Это значит, что волновая функция этогосостояния может изменить лишь свою фазу. Для того чтобы выразить этот факт математически, обозначим совокупность координат каждого электрона и проекции его спинана ось z единым символом ξ:ξ = {r, σ} ,и введем оператор Π̂ перестановки двух электронов, определив его равенством³ ´Π̂ψ (ξ1 , ξ2 ) = ψ(ξ2 , ξ1 ) ,где ξ1,2 обозначают ξ-координаты первого и второго электрона, а ψ(ξ1 , ξ2 ) волновую функцию системы.
Тогда, как было сказано, действие оператора перестановки на любой векторψ может изменить лишь его фазу:³ ´Π̂ψ (ξ1 , ξ2 ) = cψ(ξ1 , ξ2 ) , |c| = 1 .Поскольку порядок следования аргументов в обеих частях этого равенства одинаков, егоможно записать более коротко какΠ̂ψ = cψ .(11.18)С другой стороны, если дважды переставить электроны местами, то это вообще ничегоне изменит, т.е. должно быть Π̂2 = 1 .
Учитывая это тождество и действуя операторомперестановки на равенство (11.18), находимψ = cΠψ = c2 ψ ,откуда c2 = 1. Отсюда следует, что c = ±1. Теорема Паули утверждает, что c = (−1)2s ,где s есть спин частицы. Эта теорема также может быть доказана лишь методами релятивистской квантовой теории. Таким образом, волновая функция системы не меняется приперестановке любых двух одинаковых частиц с целым спином, и меняет знак при перестановке любых двух частиц с полуцелым спином. Этот результат имеет далеко идущиеследствия в отношении свойств систем, состоящих из одинаковых частиц. Эти свойства,или, как говорят, статистика, оказываются совершенно различными для частиц с целым и полуцелым спином.
Статистика систем из одинаковых частиц с целым спиномназывается статистикой Бозе-Эйнштейна, а систем из одинаковых частиц с полуцелым спином – статистикой Ферми-Дирака. Соответственно, частицы с целым спиномназывают бозонами, а с полуцелым – фермионами.Важнейшим следствием теоремы Паули является так называемый принцип Паули, который утверждает, что два фермиона не могут одновременно находиться в одном и томже состоянии. Докажем это для простейшего случая системы, состоящей из двух невзаимодействующих электронов. В этом случае волновая функция системы строится из произведений функций, описывающих каждый электрон. Обозначим векторы состояния, в207Глава 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
