К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Поскольку зависимость от времени в этом выражении не отделяется в виде фазового множителя, |Ψ(x, t)|2 в каждой точке пространствазависит от времени, т.е. Ψ(x, t) описывает нестационарное движение.Хотя сами по себе найденные решения (8.18), (8.21) (8.22) не описывают возможные состояния системы, отношения коэффициентов при e±ikx , e±iκ̄x в выражениях (8.18) – (8.22)имеют важный физический смысл. Для того чтобы его выяснить, рассмотрим движение145Глава 8. Одномерное движениечастицы, описываемое вектором состояния вида (8.4), в котором коэффициенты cE вещественны и отличны от нуля лишь в малой окрестности ∆E вокруг некоторого значенияE0 (энергия “размазана” по интервалу ∆E). Малость ∆E означает, что ∆E ¿ E0 . Определим вид функции Ψ(x, t) при |t| = T, где T есть некоторое большое, но конечное число,а именно, T À ~/∆E.Случай 0 < E < U0 .
Рассмотрим сначала область x < 0. Решение (8.18) имеет в этойобласти вид ψ1 (x) = Aeikx + Ãe−ikx , где A, Ã связаны соотношением (8.17), поэтомуZ√√Ψ(x, t) =dE cE e−iEt/~ (Aei 2mE x/~ + Ãe−i 2mE x/~ )(8.23)∆E(предполагается, что весь интервал энергии, в котором cE отличноот нуля, содержит√−iEt/~±i 2mE x/~ся в области (0, U0 )). При увеличении |t| экспоненты e, рассматриваемыекак функции переменной E, все быстрее и быстрее осциллируют. При выполнении условия |t| À ~/∆E эти экспоненты успевают проосциллировать большое число раз, покапеременная E пробегает отрезок интегрирования.
Поэтому, за одним-единственным исключением, интеграл (8.23) будет практически равен нулю независимо от вида функцииcE . Исключением будет тот случай, когда в интервал интегрирования попадает точка экстремума показателя одной из экспонент. Похожая ситуация уже разбиралась подробно в§6.3B и §7.4C. В окрестности экстремума показатель меняется относительно медленно,и поэтому вклады от соседних с экстремумом точек складываются практически в однойфазе. Положения экстремумов определяются уравнениями√∂(−Et ± 2mE x) = 0 ,∂Eоткудаrx=±2Et.m(8.24)Верхний (нижний) знак в этих формулах соответствует первому (второму) слагаемому вподынтегральном выражении в (8.23).
Поскольку E принадлежит узкому интервалу ∆Eвокруг значения E0 , то из (8.24) следует, что в каждый момент времени t функция Ψ(x, t)заметно отлична от нуля лишь в интервале∆x = √t∆E2mE0(8.25)вокруг значенияrx0 = ±2E0t.m(8.26)Сравним соотношение (8.26) с законом равномерного движения частицы в классическоймеханике: x = x0 + v(t − t0 ) . При больших |x|, |t| он переходит в x = vt. Мы видим,что в отдаленном прошлом (будущем) область значений x, в которой волновая функцияΨ(x,pt) заметно отличнаp от нуля, равномерно перемещается в пространстве со скоростьюv = 2E0 /m (v = − 2E0 /m). Такие состояния называют волновыми пакетами, а скорость v – групповой скоростью волнового пакета.
Итак, при t → −∞ функция Ψ(x, t)146§8.3. Свойства гладкости волновой функцииописывает волновойпакет, налетающий на потенциальный барьер слева с групповой скоpростьюpv = 2E0 /m, а при t → +∞ – пакет, улетающий влево от барьера со скоростьюv = − 2E0 /m. При этом соотношение между скоростью пакета и энергией E0 такое же,как и в классической механике между скоростью и энергией частицы, поскольку при x < 0имеем U = 0, и энергия E0 равна кинетической энергии частицы mv 2 /2.Таким образом, в моменты времени t = −T и t = +T выражение (8.23) для волновойфункции сводится, соответственно, кZ√Ψ(x, −T ) = A(E0 ) dE cE eiET /~ ei 2mE x/~(8.27)∆EиZΨ(x, +T ) = Ã(E0 )dE cE e−iET /~ e−i√2mE x/~.(8.28)∆EЗдесь коэффициенты A, Ã заменены их значениями при E = E0 и вынесены за знак интеграла.
Это допустимо, поскольку по предположению ∆E ¿ E0 , и поэтому коэффициентыA, Ã мало меняются на отрезке интегрирования, в отличие от cE . Комплексно сопрягаяравенство (8.27) с учетом вещественности cE и сравнивая его с (8.28), находим следующуюсвязьΨ(x, +T ) =Ã(E0 ) ∗Ψ (x, −T ) ,A∗ (E0 )x < 0.(8.29)Рассмотрим теперь область x > 0. Здесь функция Ψ(x, t) имеет видZ√Ψ(x, t) =dE cE Be−iEt/~− 2m(U0 −E) x/~ .∆EОна осциллирует по t, но не по x, поэтому показатель экспоненты не имеет экстремума вобласти интегрирования, так что с ростом |t| волновая функция очень быстро обращаетсяв нуль:Ψ(x, ±T ) ≈ 0, x > 0 .Таким образом, при E ∈ (0, U0 ) вероятность нахождения частицы в области x > 0 заметноотлична от нуля лишь в течение конечного промежутка времени, причем быстро затухаетс ростом x.
Другими словами, в рассматриваемом случае происходит полное отражениечастицы от потенциального барьера. При этом соотношение (8.29) гарантирует, что еслив начале процесса, (t = −T ) сумма вероятностей всех значений x равнялась единице, тои в конце процесса (t = +T ) она также будет равна единице. Действительно, как мывыяснили выше, при |t| = T эта вероятность заметно отлична от нуля лишь в окрестности(8.25) вокруг значения (8.26), поэтомуZdx|Ψ(x, −T )|2 = 1 .∆xВыражая здесь Ψ(x, −T ) через Ψ(x, +T ) с помощью (8.29), находим¯ Z¯ ∗¯ A (E0 ) ¯2¯¯dx|Ψ(x, +T )|2 = 1 .¯ Ã(E ) ¯0∆x147Глава 8.
Одномерное движениеНо согласно соотношению (8.17)¯ ∗¯¯¯¯ A (E0 ) ¯2 |A(E0 )|2 ¯ ik − κ ¯2¯¯¯ = 1,¯ ==¯¯ Ã(E ) ¯¯2ik+κ|Ã(E)|00и потомуZdx|Ψ(x, +T )|2 = 1 .∆xРассмотрим теперьСлучай E > U0 . Рассмотрим эволюцию волновой функцииZ(1)dE cE e−iEt/~ ψE (x) ,Ψ(x, t) =(8.30)∆Eсоставленной из собственных функций (8.21), причем коэффициенты cE снова вещественны и отличны от нуля лишь в малой окрестности ∆E вокруг некоторого значения E0 > U0 .В области x < 0 эта волновая функция имеет тот же вид, что и (8.23), где коэффициентыA, à связаны теперь соотношениями (8.19).
Поэтому, повторяя дословно все рассуждения,проведенные выше для случая E0 < U0 , приходим к тем же соотношениям (8.24) – (8.29).В области же x > 0 волновая функция имеет видZ√−iEt/~+i 2m(E−U0 ) x/~Ψ(x, t) =dE cE Be.(8.31)∆EУсловие экстремума показателя экспонентыp∂(−Et + 2m(E − U0 ) x) = 0 ,∂Eдаетrx=2(E − U0 )t.m(8.32)В области x > 0 это соотношение удовлетворяется лишь при t > 0 и означает, что придостаточно больших t функция Ψ(x, t) заметно отлична от нуля лишь в интервалеt˜ =p∆x∆E2m(E0 − U0 )вокруг значенияrx̃0 =2(E0 − U0 )t.mМы видим, что в отдаленном будущем область значений x > 0, в которой волновая функция Ψ(x, t)pзаметно отлична от нуля, равномерно перемещается в пространстве со скоростью ṽ = 2(E0 − U0 )/m .
Собирая полученные результаты, мы приходим к выводу, что148§8.3. Свойства гладкости волновой функцииволновая функция (8.30) описывает процесс,в котором волновой пакет налетает на потенpциальный барьер слева со скоростью + 2E0 /m, в результате чего он разделяетсяp на дваволновых пакета, один из которыхp движется от барьера влево со скоростью − 2E0 /m, адругой – вправо со скоростью + 2(E0 − U0 )/m .Подсчитаем теперь суммы вероятностей всех значений координат в удаленном прошлом и в удаленном будущем.
Обе суммы должны быть равны единице:ZZZ22dx|Ψ(x, −T )| = dx|Ψ(x, +T )| + dx|Ψ(x, +T )|2 = 1 .∆x˜∆x∆xС другой стороны, в области x < 0 функции Ψ(x, −T ), Ψ(x, +T ) связаны уравнением(8.29), из которого следует¯ ∗¯ ZZ¯ A (E0 ) ¯22¯¯dx|Ψ(x, +T )|2 .dx|Ψ(x, −T )| = ¯Ã(E0 ) ¯R∆x∆xВеличина R ≡ ∆x dx|Ψ(x, +T )|2 есть вероятность найти частицу при t = +T в областислева от барьера, т.е. вероятность ее отражения от барьера. Величина же D ≡R2˜ dx|Ψ(x, +T )| есть вероятность найти частицу при t = +T в области справа от барье∆xра, т.е. вероятность ее прохождения над барьером. Величины R и D называют коэффициентами отражения и прохождения, соответственно.
Они являются функциями энергии.Из написанных выше соотношений следует, что¯¯¯ Ã(E ) ¯2¯0 ¯R(E0 ) = ¯ ∗(8.33)¯ , D = 1−R.¯ A (E0 ) ¯Подставляя для A, à их выражения из (8.19), находим, опуская для краткости индекс 0у энергии,Ã√!2¯¯√¯ k − κ̄ ¯2E−E−U0¯ = √R(E) = ¯¯.√k + κ̄ ¯E+ E−U0Мы видим, что в то время как при E < U0 отражение частицы от барьера происходитс вероятностью единица (как и в классической механике), в случае E > U0 возможно иотражение, и прохождение частицы. Вероятность прохождения близка к единице лишьпри E0 À U0 .Наконец, для того чтобы выяснить смысл второго линейно-независимого решения(8.22), надо рассмотреть эволюцию волновой функции видаZ(2)Ψ(x, t) =dE cE e−iEt/~ ψE (x) .(8.34)∆EЭтот случай отличается от только что рассмотренного формальной заменой x → −x,k ↔ κ̄, поэтому функция (8.34) pописывает движение волнового пакета, налетающегона барьер справа со скоростью − 2(E0 − U0 )/m и затемp разделяющегося на два, одиниз которых улетаетp от барьера вправо со скоростью + 2(E0 − U0 )/m, а второй – влевосо скоростью − 2E0 /m .
Интересно отметить, что при этом вероятности отражения ипрохождения оказываются теми же, что и ранее.149Глава 8. Одномерное движениеB.Симметричная прямоугольная потенциальная ямаРассмотрим движение частицы в потенциале½−U0 , x ∈ [−a, +a] ,U (x) =0, x ∈/ [−a, +a] ,где U0 – положительная постоянная. Энергетический спектр в этой задаче относится ктипу III. При E > 0 имеется непрерывный спектр, причем каждое значение двукратно вырождено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
