К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 27
Текст из файла (страница 27)
в собственную функцию оператора fˆ (в последующие моменты временисистема эволюционирует согласно уравнению Шредингера и, вообще говоря, “уходит” изсостояния Ψn ). Взятое само по себе, любое такое измерение возможно всегда (как ужебыло сказано ранее, чисто приборная погрешность является несущественной с принципиальной точки зрения, поэтому, пренебрегая ею, мы можем считать, что величина f точноравна fn ). Предположим теперь, что одновременно с величиной f измеряется некотораядругая величина f 0 , причем эти два измерения “не мешают” друг другу, т.е. в результате такого совместного измерения система переходит в состояние Ψnm , в котором обе0, т.е.величины f, f 0 одновременно получают определенные значения fn , fmfˆΨnm = fn Ψnm ,0Ψnm .fˆ0 Ψnm = fm(7.65)Следствием этих равенств является следующая цепочка равенств0 ˆ00(fˆ0 fˆ)Ψnm = fˆ0 (fˆΨnm ) = fˆ0 fn Ψnm = fn fˆ0 Ψnm = fn fmΨnm = fmfn Ψnm = fmf Ψnm= fˆf 0 Ψnm = fˆ(fˆ0 Ψnm ) = (fˆfˆ0 )Ψnm ,mоткуда[fˆ0 , fˆ]Ψnm = 0 .0Мы видим, что для того чтобы величины f, f 0 могли одновременно иметь значения fn , fm,необходимо, чтобы коммутатор их операторов обращал состояние Ψnm в нуль.
Если этоимеет место для всех n и m, т.е. величины f, f 0 могут одновременно иметь определенные0значения из соответствующих наборов {fn }, {fm} в любой комбинации, то в силу линей00ности оператора [fˆ , fˆ] равенство [fˆ , fˆ]Ψ = 0 должно выполняться для любого вектора Ψ,поскольку совокупность векторов {Ψnm } образует полную систему функций, и поэтомуΨ может быть представлен в виде суперпозиции векторов из {Ψnm }. Другими словами, вэтом случае должно выполняться операторное равенство[fˆ0 , fˆ] = 0 .(7.66)Покажем теперь, что условие (7.66) является также достаточным для того, чтобы величины f, f 0 всегда могли быть точно измерены одновременно, т.е. могли иметь одновременно0любые значения из соответствующих наборов {fn }, {fm}.Теорема: при выполнении условия (7.66) у операторов fˆ, fˆ0 существует полная система совместных собственных векторов, т.е.
система {Ψnm }, удовлетворяющая уравнениям (7.65) для всех n, m. Доказательство. Возьмем любой собственный вектор Ψn оператора fˆ и разложим его по собственным векторам Ψ0k оператора fˆ0 :XΨn =akn Ψ0k , akn = const .kВ этой сумме индекс k нумерует как всегда все собственные векторы оператора fˆ0 . Напомним, что некоторые из этих векторов могут соответствовать одному и тому же собственному значению, т.е. fk0 могут быть вырожденными. Ввиду этого нам будет удобно128§7.5.
Совместная измеримость физических величин0объединить эти векторы, образовав для каждого fmсуммуXakn Ψ0k ≡ Ψnmk:0f 0 =fmk0(в случае невырожденного fmсумма в левой части сводится к одному члену). По построению, Ψnm является собственным вектором оператора fˆ0 , соответствующим собственному0значению fm:0Ψnm .fˆ0 Ψnm = fm(7.67)Тогда разложение вектора Ψn перепишется в видеXΨn =Ψnm ,mгде m теперь нумерует все различные собственные значения оператора fˆ0 . Покажем, чтоΨnm и будут совместными собственными функциями операторов fˆ, fˆ0 . Для этого подействуем на последнее равенство оператором (fˆ−fn ).
Поскольку Ψn есть собственный вектороператора fˆ, соответствующий собственному значению fn , получаемX0=(fˆ − fn )Ψnm .(7.68)mЗаметим теперь, что вектор fˆΨnm , а потому и вектор (fˆ − fn )Ψnm , является собственным0для оператора fˆ0 , соответствующим собственному значению fm. Действительно, используя равенства (7.66), (7.67), а также определение произведения операторов и линейностьоператора fˆ, находим0Ψnm ,fˆ0 (fˆΨnm ) = (fˆ0 fˆ)Ψnm = (fˆfˆ0 )Ψnm = fˆ(fˆ0 Ψnm ) = fˆfmили0 ˆfˆ0 (fˆΨnm ) = fm(f Ψnm ) .Таким образом, в правой части равенства (7.68) стоит сумма собственных векторов опе0ратора fˆ0 , причем все они соответствуют различным собственным значениям fm. Поэтому в силу линейной независимости собственных векторов, соответствующих различнымсобственным значениям (см. §7.4A) все члены этой суммы должны обращаться в нуль:(fˆ − fn )Ψnm = 0, илиfˆΨnm = fn Ψnm ,откуда следует, что вектор Ψnm является также собственным вектором оператора fˆ, соответствующим собственному значению fn .
Поскольку это справедливо для всех n, то мывидим, что уравнения (7.65) выполняются для всех n и для всех m. Наконец, посколькусистема векторов {Ψn } является полной, а каждый вектор Ψn линейно выражается черезвекторы Ψnm , то любой вектор Ψ ∈ S может быть линейно разложен по векторам Ψnm ,т.е. система {Ψnm } является полной. Теорема доказана.Существование системы совместных собственных функций и является выражениемсовместной измеримости величин f, f 0 : в любом состоянии Ψnm эти величины имеют129Глава 7.
Основные положения квантовой механики0определенные значения fn , fm, и наоборот, одновременное измерение этих величин в произвольном состоянии Ψ переводит это состояние в один из векторов Ψnm . Формальнотакое двойное измерение можно рассматривать как одинарное измерение двухкомпонентной величины (f, f 0 ), что как раз соответствует нумерации состояний двойным индексом(n, m). Поэтому к нему применимы все полученные в предыдущих параграфах формулы.0В частности, вероятность найти значения fn , fmпри измерении в состоянии, описываемомнормированным вектором Ψ, дается выражением0w(fn , fm) = |cnm |2 ,где коэффициенты cnm определяются из разложенияXΨ=cnm Ψnm ,nmпричем Ψnm также должны быть нормированы: (Ψnm , Ψnm ) = 1 .Полученные результаты непосредственно обобщаются на случай трех и большего числа коммутирующих операторов.
Именно, если помимо рассмотренных операторов fˆ, fˆ0имеется еще один коммутирующий с ними эрмитов оператор fˆ00 , то для этих трех операторов существует система совместных собственных векторов {Ψnml }, которая может бытьполучена разложением всех векторов системы {Ψnm } по собственным векторам Ψ00l оператора fˆ00 . В случае операторов с непрерывным спектром приведенное выше рассуждениеприводит к тому же самому выводу с одной лишь оговоркой: поскольку не существует состояний системы, в которых непрерывная величина имеет строго определенное значение,слово “точно” следует заменить на “с заданной точностью.”B.Принцип неопределенностиПолучим теперь количественную характеристику неточности измерений, связанной снекоммутативностью операторов измеряемых величин. Возьмем два эрмитова оператораfˆ, fˆ0 и пусть[fˆ, fˆ0 ] = iĝ ,(7.69)где ĝ 6= 0.
Рассмотрим произвольное состояние Ψ и пусть f¯, f¯0 – средние значения величинf, f 0 в этом состоянии. Введем новые операторы F̂ = fˆ − f¯ , F̂ 0 = fˆ0 − f¯0 . Посколькусредние значения f¯, f¯0 вещественны, новые операторы эрмитовы. Заметим, что операторĝ также эрмитов. Действительно, вычисляя эрмитово сопряжение левой части уравнения(7.69) по правилам, выведенным в §7.2B и учитывая эрмитовость fˆ, fˆ0 , получим++[fˆ, fˆ0 ]+ = (fˆfˆ0 )+ − (fˆ0 fˆ)+ = fˆ0 fˆ+ − fˆ+ fˆ0 = fˆ0 fˆ − fˆfˆ0 = −[fˆ, fˆ0 ] = −iĝ .(7.70)С другой стороны, эрмитово сопряжение правой части (7.69) дает(iĝ)+ = −iĝ + .Сравнение полученных выражений показывает, что ĝ + = ĝ . Вычислим еще коммутатороператоров F̂ , F̂ 0 :[F̂ , F̂ 0 ] = [(fˆ − f¯), (fˆ0 − f¯0 )] = [fˆ, fˆ0 ] − [f¯, fˆ0 ] − [fˆ, f¯0 ] + [f¯, f¯0 ] = [fˆ, fˆ0 ] = iĝ , (7.71)поскольку любой линейный оператор коммутирует с числами.130§8.1. Совместная измеримость физических величинРассмотрим теперь вектор (F̂ + iαF̂ 0 )Ψ , где α – произвольное вещественное число.
Мыимеем³´(F̂ + iαF̂ 0 )Ψ, (F̂ + iαF̂ 0 )Ψ > 0 ,в силу свойства 4 скалярного произведения. Применяя определение эрмитова сопряжения, учитывая эрмитовость операторов F̂ , F̂ 0 , равенство (7.71) и определение среднегозначения, левую часть можно преобразовать так³´ ³´(F̂ + iαF̂ 0 )Ψ, (F̂ + iαF̂ 0 )Ψ = Ψ, (F̂ + iαF̂ 0 )+ (F̂ + iαF̂ 0 )Ψ³´ ³´= Ψ, (F̂ − iαF̂ 0 )(F̂ + iαF̂ 0 )Ψ = Ψ, (F̂ F̂ + iαF̂ F̂ 0 − iαF̂ 0 F̂ + α2 F̂ 0 F̂ 0 )Ψ´³22 020(7.72)= Ψ, (F̂ + iα[F̂ , F̂ ] + α F̂ )Ψ = F 2 − αḡ + α2 F 02 .Таким образом, мы имеемF 2 − αḡ + α2 F 02 > 0 .Для того чтобы это неравенство выполнялось для всех α, должно бытьḡ 2 − 4F 2 F 02 6 0 ,илиppF2F 02 >qp|ḡ|.2(7.73)В теории вероятностей число= (f − f¯)2 ≡ Df называется дисперсией величиныf. Она характеризует разброс, который будет наблюдаться в значениях величины f примногократном ее измерении в состоянии Ψ, т.е.
неопределенность в ее значении. Такимобразом, мы получили следующий результат: произведение дисперсий двух физическихвеличин в данном состоянии системы не меньше, чем половина среднего их коммутатора в этом состоянии. Подчеркнем, что хотя этот результат и означает, что в состояниис ḡ 6= 0 величины f, f 0 не имеют определенных значений, он еще не означает, что эти величины не могут быть одновременно измерены в этом состоянии точно, поскольку в процессеизмерения система может перейти из данного состояния в такое, в котором f, f 0 имеютопределенные значения, т.е. в их совместную собственную функцию. С другой стороны,может оказаться и так, что Df Df 0 > 0, несмотря на то что ḡ = 0 в данном состоянии, т.е.величины f, f 0 все же не имеют определенных значений в этом состоянии (см.
пример 41).Применим соотношение (7.73) к случаю f = x, f 0 = px . Используя формулу (7.32),получаемF2Dx Dpx >~.2(7.74)Мы видим, что правая часть этого неравенства есть постоянная, не зависящая от состояния системы, т.е. для данной пары величин вообще не существует состояний, в которыхдисперсии x и px были бы одновременно произвольно малы. Это приводит нас к принципунеопределенности Гейзенберга: произведение неопределенностей в значениях одноименных компонент координат и импульсов частиц в любом состоянии не может бытьменьше ~/2, так что ни при каких условиях они не могут быть измерены одновременно сколь угодно точно.131Глава 8. Одномерное движениеГлава 8.§8.1.ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕСтационарное уравнение ШредингераМы переходим к применению общей схемы, изложенной в предыдущей главе, к решению конкретных квантовомеханических задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
