К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Так же как и в классической механике,основной проблемой квантовой механики является решение уравнений движения – в данном случае уравнения Шредингера (7.22). В этой и следующих двух главах мы будемрассматривать системы, гамильтонианы которых не зависят от времени. В этом случаезадача решения уравнения Шредингера может быть существенно упрощена – она сводится к задаче решения более простого уравнения, в котором неизвестная функция независит от времени. Этому посвящен настоящий параграф.Поскольку по определению гамильтониан Ĥ строится по функции ГамильтонаH(r, p, t), а операторы p̂i не зависят от времени, то условие независимости Ĥ от времени означает, что функция H(r, p, t) не должна явно зависеть от времени.
Как мы знаем из §5.1, следствием этого является закон сохранения обобщенной энергии H(r, p) =E = const. В отличие от классической механики, энергия в квантовой механике не обязана иметь определенное значение, и поэтому не имеет смысла говорить о ее сохранении.Однако общая задача может быть сведена к тому частному случаю, когда неизвестнаяфункция Ψ(r1 , ..., rN , t) в уравнении Шредингераi~∂Ψ= ĤΨ ,∂t(8.1)является собственной функцией оператора Ĥ, т.е. в состоянии Ψ(r1 , ..., rN , t) энергия имеет определенное значение. Это делается следующим образом. Согласно теореме о разложении, в каждый момент времени t волновая функция системы Ψ может быть разложенапо собственным функциям оператора Ĥ.
До сих пор мы рассматривали собственные функции операторов в некоторый фиксированный момент времени. Если оператор зависит отвремени, то и его собственные функции тоже будут зависеть от времени. Но поскольку оператор Ĥ по предположению от времени не зависит, мы договоримся выбирать егособственные функции также независящими от времени и обозначать их малыми буквамиψ:Ĥψn = En ψn .(8.2)Тогда теорема о разложении гласит, чтоΨ=Xcn (t)ψn ,nгде cn (t) – некоторые коэффициенты, зависящие от времени. Подставим это разложениев уравнение (8.1). В силу линейности оператора Ĥ и операции дифференцирования повремени можем написатьXXX dcn (t)ψn =cn (t)Ĥψn =cn (t)En ψn ,i~dtnnnили¶X µ dcn (t)i~− En cn (t) ψn = 0 .dtn132§8.2. Качественное исследование уравнения ШредингераПоскольку собственные функции линейно-независимы, последнее равенство может выполняться, только если все коэффициенты при ψn обращаются в нуль:dcn (t)− En cn (t) = 0 .dtРешение этого уравнения имеет видi~cn (t) = cn e−iEn t/~ ,где cn ≡ cn (0) .
Таким образом, искомая волновая функция представляется в видеXΨ=cn e−iEn t/~ ψn .nВ соответствии с интерпретацией коэффициентов разложения cn (t), данной в §7.4, квадраты их модулей определяют вероятности различных значений энергии. Поскольку¯¯2|cn (t)|2 = |cn |2 ¯e−iEn t/~ ¯ = |cn |2 ,то мы видим, что в случае независящего от времени гамильтониана распределение вероятностей для энергии также не зависит от времени.
Этот результат заменяет в квантовоймеханике закон сохранения энергии классической механики.Итак, задача решения уравнения Шредингера (8.1) сведена к задаче решения уравнения (8.2). Последнее называют обычно стационарным уравнением Шредингера. Случай,когда Ĥ имеет непрерывный спектр, отличается только тем, что решения соответствующего стационарного уравнения ШредингераĤψE = EψE(8.3)не принадлежат пространству состояний системы, т.е.
сами по себе не описывают никакихвозможных состояний системы. Последние обязательно размазаны по конечным областямзначений E :ZΨ = dE cE e−iEt/~ ψE .(8.4)§8.2. Качественное исследование уравнения Шредингера. Типы энергетическихспектровКак и в классической механике, простейшим типом квантового движения являетсядвижение частицы по прямой. Этот случай позволяет изучить основные свойства решений уравнения Шредингера и дать классификацию типов энергетических спектров.
Какмы увидим в дальнейшем, исследование многих важных многомерных систем может бытьсведено к задаче решения одномерного уравнения Шредингера для частицы, движущейся в некотором эффективном потенциале, что позволяет применять к таким системамрезультаты настоящего параграфа.Установим сначала вид гамильтониана для одномерного движения частицы. Пусть x –ее декартова координата на прямой (−∞, +∞), а U (x) – потенциальная энергия в постоянном внешнем поле. Следуя постулату III, заменяем в функции Гамильтона частицыH(x, p) =p2+ U (x)2m133Глава 8.
Одномерное движениепеременную p оператором p̂ = −i~∂/∂x и получае쵶21∂~2 ∂ 2Ĥ =−i~+ U (x) = −+ U (x) .2m∂x2m ∂x2Поэтому стационарное уравнение Шредингера одномерного движения имеет вид−~2 d2 ψ+ U (x)ψ = Eψ2m dx2(8.5)(поскольку по определению функции ψ зависят лишь от координаты x, но не от времени, можно писать полные производные по x; нижний индекс у ψ, указывающий к какомууровню энергии она относится, для краткости опущен).
Заметим, что поскольку все коэффициенты в уравнении (8.5) вещественны, то если ψ(x) удовлетворяет этому уравнению,то ее вещественная и мнимая части также ему удовлетворяют, и поэтому все независимыерешения (8.5) можно выбрать вещественными.Отыскание решений стационарного уравнения Шредингера (8.5) – трудная задача, иуже для сравнительно простых потенциалов решение не может быть выписано явно. Однако оказывается, что общие свойства решений и энергетических спектров можно оченьпросто выяснить, анализируя лишь структуру самогó уравнения Шредингера, не зная явного вида решений. Этому посвящен настоящий параграф. Мы будем предполагать, чтовсе независимые решения уравнения (8.5) выбраны вещественными.
Кроме того, мы будемрассматривать только такие потенциалы U (x), которые в каждом из пределов x → ±∞либо имеют конечный предел, либо монотонно стремятся к плюс или минус бесконечности,а в остальном произвольные. Потенциалы, не удовлетворяющие этому условию, осциллируют на бесконечности. Важным примером такого потенциала является поле бесконечнойкристаллической решетки. Этот случай будет рассмотрен отдельно в §8.6.Поскольку уравнение (8.5) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, то при любом вещественном значении E оно имеет два линейнонезависимых решения.
В соответствии с определением, данным в §7.4A, эти решенияявляются собственными функциями гамильтониана при условии, что они ограничены.Поскольку функция ψ(x) непрерывна при всех x, то неограниченной она может оказаться лишь при |x| → ∞.Выясним свойства ограниченности решения в зависимости от значения энергии E.
Дляэтого перепишем уравнение (8.5) в видеψ 00 =2m[U (x) − E]ψ ,~2(8.6)где штрих обозначает дифференцирование по x, а домножив его на ψ 0 , еще и в другомвиде2mdψ 2dψ 0 2= 2 [U (x) − E].dx~dx(8.7)Будем теперь перебирать все значения параметра E от −∞ до +∞ и следить за поведением функции ψ(x) при x → ∞.
Начнем со случая, когда при данном значении E выполняется неравенство E > U (x) при всех x > a для некоторого a (см. Рис. 12). Предположим,что dψ 2 /dx > 0 в некоторой точке x1 > a, т.е. функция ψ(x) растет по абсолютной величине. Тогда правая часть уравнения (8.7) отрицательна в точке x1 , и поэтому dψ 02 /dx < 0134§8.2. Качественное исследование уравнения Шредингерат.е. ψ 0 убывает по абсолютной величине. Другими словами, если в данной точке ψ положительна и растет, то ее рост замедляется, а если ψ отрицательна и убывает, то замедляетсяее убывание. Если мы будем двигаться вправо от x1 , то в некоторой точке x2 производнаяψ 0 обратится в нуль. При этом ψ(x2 ) 6= 0, поскольку ψ(x1 ) 6= 0, а |ψ| растет на отрезке[x1 , x2 ].
Тогда из уравнения (8.6) следует, что если ψ(x2 ) > 0, то ψ 00 (x2 ) < 0, т.е. ψ(x)имеет максимум в x2 , а если ψ(x2 ) < 0, то ψ 00 (x2 ) > 0 и ψ(x) имеет минимум. Поэтомупри прохождении точки x2 функция dψ 2 /dx меняет знак и становится отрицательной,т.е. при движении вправо от x2 функция ψ(x) уменьшается по абсолютной величине и внекоторой точке x3 должна обратиться в нуль. Действительно, ψ 0 не может обратиться внуль раньше (или одновременно с) ψ, поскольку ψ 0 (x2 ) = 0, а ψ 00 сохраняет постоянныйзнак до тех пор, пока ψ не обратится в нуль [см. (8.6)].
Таким образом, в точке x3 функция dψ 2 /dx опять меняет знак, т.е. становится положительной. Поэтому, выбрав вблизиот x3 некоторый x̃1 > x3 за новую исходную точку, мы можем повторить приведенныерассуждения и получить тот же результат. Это означает, что при x > a функция ψ(x)осциллирует. Покажем, что ψ(x) остается при этом ограниченной. Для этого перепишемуравнение (8.7) в видеdψ 2~2dψ 0 2=dx2m[U (x) − E] dxи проинтегрируем его между любыми двумя точками x2 и x̃2 , в которых функция ψимеет экстремум (точки типа x2 на Рис.
12). Интегрируя справа по частям и учитывая,что ψ 0 (x2 ) = ψ 0 (x̃2 ) = 0, получаем~2ψ (x̃2 ) − ψ (x2 ) =2m2Zx̃22dx ψ 0 2 U 0 (x).[U (x) − E]2(8.8)x2Предположение о монотонности функции U (x) при x → ∞ и условие U (x) < E означают,что x2 может быть выбрано так, что U 0 (x) 6 0 при всех x > x2 . Тогда правая часть равенства (8.8) не положительна, т.е. ψ 2 (x̃2 ) 6 ψ 2 (x2 ) во всех экстремальных точках справа отx2 . Другими словами, амплитуда осцилляций функции ψ(x) уменьшается при x → +∞(она остается постоянной лишь в случае U (x) = const). Аналогично рассматривается случай E > U (x) при x 6 a.
Итак, мы доказали следующееУтверждение α: Если при данном значении E выполняется неравенство E > U (x)в области x > a (x 6 a), то решение уравнения Шредингера является ограниченнойосциллирующей функцией в этой области.Перейдем теперь к случаю, когда при данном значении E выполняется неравенствоE < U (x) при всех x > a. Предположим, что dψ 2 /dx > 0 в точке a, так что ψ(x) растет по абсолютной величине. Тогда левая часть уравнения (8.7) положительна в точке a,т.е.
ψ 0 также растет по абсолютной величине. Очевидно, что то же самое имеет место влюбой точке x > a, т.е. функция ψ(x) не ограничена при x → ∞, причем |ψ(x)| растетбыстрее, чем первая степень x (т.к. |ψ 0 | тоже растет). Если же dψ 2 /dx < 0 в точке a, топри движении вправо от a функции ψ(x) и ψ 0 (x) одновременно убывают по абсолютнойвеличине.
При этом возможны следующие варианты (см. Рис. 13): 1) ни одна из функцийψ(x), ψ 0 (x) не обращается в нуль ни при каком x > a, и тогда они асимптотически приближаются к нулю при x → ∞; 2) одна из функций ψ(x), ψ 0 (x) обращается в нуль в некоторойточке x1 > a. Тогда в этой точке функция dψ 2 /dx меняет знак на положительный, и мы135Глава 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
