К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Тогда классическая частица не может находитьсяв областях слева от x1 или справа от x2 . Попытаемся построить волновую функцию, которая описывала бы аналогичную ситуацию в квантовом случае, а именно, такую функциюΨE (x, t), для которой вероятность частице оказаться точках x ∈/ [x1 , x2 ] обращалась быв нуль. Согласно Предположению 5 эта вероятность пропорциональна |Ψ(x, t)|2 . Итак,должно быть ΨE (x, t) = 0 при x < x1 и x > x2 . Тогда в силу Следствия 1 (непрерывностьволновой функции) ΨE должна обращаться в нуль также и в самих точках остановкиΨE (x1 , t) = ΨE (x2 , t) = 0 .(6.16)Для того чтобы построить функцию, удовлетворяющую этим условиям, применим Предположение 4, и будем искать ΨE (x, t) в виде суперпозиции функций (6.15):ΨE (x, t) = c1 Ψ+ (x, t) + c2 Ψ− (x, t) ,96(6.17)§6.3.

Механика квазиклассической частицыгде нижний индекс у Ψ соответствует знаку корня в решении (6.15). Подставив это выражение в условия (6.16), получим два уравнения для определения коэффициентов c1 , c2 x i Z 1p i Zx1 pc1 exp2m(E − U (x)) dx + c2 exp −2m(E − U (x)) dx = 0 ,~ ~a ax i Z 2p i Zx2 pc1 exp2m(E − U (x)) dx + c2 exp −2m(E − U (x)) dx = 0 .~ ~aaУсловие совместности этой системы есть 2i Zx2 pexp2m(E − U (x)) dx = 1 .~x1Это равенство означает, что показатель экспоненты должен быть целым кратным от 2πi,т.е.Zx2 p2m(E − U (x)) dx = π~n ,n∈N.(6.18)x1pЕсли использовать классическое правило знаков и брать корень 2m(E − U (x)) со знакомплюс при интегрировании от меньших x к бóльшим, и знак минус при интегрировании вобратном направлении, то последнее равенство можно записать коротко так:Ipx dx = 2π~n , n ∈ N ,(6.19)Hгде символ dx означает интеграл по полному периоду движения классической частицы –от x1 до x2 и обратно.

Это условие называется правилом квантования Бора-Зоммерфельда.Оно было предложено датским физиком Н. Бором и немецким физиком А. Зоммерфельдом в 1913–1916 гг. еще до создания современной квантовой механики, и затем выведенодля квазиклассических систем из уравнения Шредингера. С учетом этого условия волновая функция принимает вид)(xpR2m(E − U (x)) dx , x ∈ [x1 , x2 ],C0 e−iEt/~ sin ~1ΨE (x, t) =(6.20)x10, x ∈/ [x1 , x2 ].Эта функция уже является нормируемой, и поэтому энергия частицы уже не должнабыть “размазана” по конечному интервалу, а может принимать строго определенное значение. Однако это значение не может быть произвольно выбрано, а должно удовлетворять условию Бора-Зоммерфельда. Действительно, точки x1,2 определяются из уравнения U (x) = E, т.е.

являются функциями энергии: x1,2 = x1,2 (E). Поэтому уравнение (6.18)определяет допустимые значения энергии частицы. Мы видим, таким образом, что энергия частицы при финитном движении может принимать лишь определенный дискретныйнабор значений, или как говорят, энергия квантуется.97Глава 6. Переход от классической механики к квантовойВ связи с полученным результатом сделаем следующие замечания:Замечание 1. Из выражения (6.20) видно, что величина |Ψ(x, t)|2 не зависит от вре¯¯2мени (так как ¯e−iEt/~ ¯ = 1). Таким образом, волновые функции, соответствующие определенным значениям энергии, описывают стационарные состояния, т.е.

состояния, в которых распределение вероятностей для координат частицы не зависит от времени (см.Предположение 3).Замечание 2. Условие (6.18) является следствием граничных условий (6.16), которыевыражают финитность движения. Поэтому при инфинитном движении (в одну или в обестороны) энергия частицы не квантуется (на Рис. 3 этому соответствует случай E = E1 ).Для систем, не удовлетворяющих условию квазиклассичности, волновая функция уже необязана обращаться в нуль в точках, соответствующих точкам остановки классическойчастицы. Поэтому в общем случае граничные условия не имеют вида (6.16), а определяются требованием интегрируемости функции |Ψ(x)|2 . Это значит, что в квантовой механикечастица может находиться в областях пространства, запрещенных для классической частицы с той же энергией. Например, если классическая частица колеблется с энергиейE = E2 между точками q1 и q2 на Рис.

3, то квантовая частица в соответствующем состоянии может пребывать и в точках справа от q2 . В частности, она может “просочиться”в область правее точки q3 , которая опять соответствуют классически доступной областипри том же значении энергии. Оказавшись справа от q3 , частица уйдет на бесконечностьвправо. Это явление называют квантовым туннелированием. Вероятность такого процесса тем меньше, чем шире и выше потенциальный барьер между точками q2 , q3 и чемболее “классична” частица, но при E = E2 она в принципе отлична от нуля, так что раноили поздно частица с такой энергией покинет яму [q1 , q2 ].

Поэтому даже для квазиклассических частиц состояние с E = E2 , строго говоря, не является стационарным. Таковымиявляются лишь состояния при E = E3 .Пример 23. Квантование энергии гармонического осциллятора. Применим правило квантования Бора-Зоммерфельдак частице, описывающейся функцией Гамильтона (5.8).

ДляRтого чтобы вычислить px dx, заметим, что если формулу (5.8) подставить H(x, p) = E,где E есть заданное значение энергии осциллятора, то получим уравнениеp2xmω 2 x2+=E,(6.21)2m2представляющее собой уравнение эллипса в фазовой плоскости (x, px ) с полуосямиr√2Ea=,b=2mE .mω 2С другой стороны, интеграл в левой стороне равенства (6.19) определяет площадь, ограниченную в плоскости (x, px ) замкнутой кривой px (x). Учитывая, что площадь эллипса сполуосями a, b равна πab, получаем правило квантования в виде E/ω = ~n, n ∈ N , откудаследует, что энергия осциллятора может принимать лишь значенияEn = ~ωn,n∈N.(6.22)Условие применимости этой формулы следует из общего условия квазиклассичностиS[x(t)]R À ~, которое должно выполняться на классической траектории.

ПосколькуS = Ldt, а по порядку величины L ∼ E, то S ∼ E∆t, где ∆t ∼ 1/ω есть характерноевремя движения осциллятора. Таким образом, должно быть E/ω À ~, и потому формула(6.22) применима при n À 1.98§6.3. Механика квазиклассической частицыПример 24. Модель Бора атома водорода. Как мы знаем из §3.2, радиальное движениечастицы в центральном поле U (r) может быть представлено как одномерное движениев эффективном поле Ueff (r) = U (r) + M 2 /(2mr2 ) , где M есть момент импульса частицымассы m. Поэтому в правиле квантования Бора-Зоммерфельда (6.18) следует заменитьU → Ueff :rZmaxp2m(E − Ueff (r)) dr = π~k ,k∈N.(6.23)rminПрименим эту формулу к кулоновскому полю U (r) = α/r, α < 0. Финитному движениюсоответствуют E < 0.

Мы должны вычислить интегралrZmaxsµ¶αM2I=2m E − −dr .r2mr2rminИнтегрируя по частям и учитывая, что rmin , rmax являются корнями подынтегральноговыражения, перепишем этот интеграл в видеαM2rZmax¶¯¯rmin+√α¯mr2r rI = r 2m E − −dr− 2m¯22r2mr ¯αMrminrmin 2 E −−r2mr2µ¶M2αM2M2rZmax E −rZmax−−E−E+√I √r2mr22mr22mr2rr= 2mdr = − 2mdr ,22αMαM2rminrmin 2 E −2 E− −−r2mr2r2mr2sµM2откуда с учетом формул (3.21), (3.22) находим2Mt(rφ(rrZmaxZmax )Zmax )E+√2T2mrrI = − 2mdr = −2Edt − Mdφ = −2E − M π .2αM2rmint(rmin )φ(rmin )E− −r2mr2Наконец, подстановка выражения (3.38) для периода T даетrmI = π|α|− πM .2|E|Таким образом, правило квантования Бора-Зоммерфельда для радиального движенияимеет видrm|α|− M = ~k , k ∈ N .(6.24)2|E|Для того чтобы вывести отсюда формулу квантования энергии частицы, нам остаетсяприменить правило Бора-Зоммерфельда к угловому движению.

Покажем, что это правило применимо к угловой координате φ и сопряженному с ней обобщенному импульсу99Глава 7. Переход от классической механики к квантовойpφ в том же виде (6.18). Действительно, хотя при движении частицы угол φ монотонновозрастает со временем, но значения этого угла, отличающиеся на 2π, соответствуют одной и той же точке пространства. Поэтому если в качестве обобщенной координаты мывыберем вместо угла φ какую-либо непрерывную периодическую его функцию, например, x = sin φ, то при обращении частицы вокруг центра поля новая координата будетизменяться периодически, принимая значения между −1 и +1, играющими роль точекостановки. С другой стороны, замена φ → x, как и любая замена обобщенных координат, является канонической (см.

пример 20). Поэтому в силу теоремы об инвариантностифазового объема при канонических преобразованиях (см. §5.4B)IIpx dx = pφ dφ ,Hпоскольку, как уже указывалось выше, интеграл px dx равен площади фигуры, ограниченной кривой px (x) в фазовом пространстве. Учитывая также, что обобщенный импульсpφ = ∂L/∂ φ̇ = M сохраняется, условие квантования (6.18) даетIIpφ dφ = M dφ = 2πM = 2π~l , l ∈ N ,откудаM = ~l ,l∈N.(6.25)Подставляя это выражение в уравнение (6.24), находим из него формулу квантованияэнергииEn = −mα2,2~2 n2n≡k+l ∈N.(6.26)Применяя ее к движению электрона в атоме водорода (α = −e2 ), приходим к знаменитойформуле Бора для уровней энергии атома водородаEn = −me4.2~2 n2(6.27)Как и в случае осциллятора, условие квазиклассичности требует n À 1 . Однако как мыувидим в §9.7, на самом деле эта формула справедлива при всех n.При обсуждении предпосылок принципа суперпозиции уже говорилось о том, что дляустойчивости атома необходимо, чтобы электроны находились в таких состояниях, в которых отсутствует движение заряда, поскольку иначе энергия электрона непрерывно тратилась бы на излучение.

Из Замечания 1 следует, что состояния с определенной энергией какраз удовлетворяют этому условию. Действительно, согласно Предположению 5 электрон“размазан” в пространстве с плотностью ∼ |Ψ|2 , т.е. его заряд распределен с плотностью∼ e|Ψ|2 . В состояниях же с определенной энергией |Ψ|2 не зависит от времени. Такимобразом, в связанных состояниях электрон может излучать энергию лишь дискретнымипорциями при переходах между различными стационарными состояниями.

Характеристики

Список файлов книги