Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 80
Текст из файла (страница 80)
В 3 !1.3 при описании этого поля мы рассматривали перемещения отдельных частиц газа и принимали эти перемещения за обобщЕнные координаты. Однако это поле является, в сущности, скалярным, так как для его исследования можно пользоваться лишь одной величиной— скалярои а, представляющим относительное изменение плотности. Поэтому е является здесь естественной координатой, и именно через нее должна выражаться величина 3.
При этом В должно быть таким, чтобы полученное из него уравнение совпадало с волновым уравнением (11.43). Легко видеть, что этому условию удовлетворяет следующее выражение для 3: 3 = — — 'еа — (7а)е = — еа — — — . (11.61) 2 ( 1Р«) 21Р« 2 .Ла (,дхк) Действительно, согласно (11.61) имеем: дЯ д0 !»о«д8 д« вЂ” =О, д. ' д,.
— 1Р,' д(д.у — д„ ( дхк / 388 мвтоды лагглнжл и гамильтона для нвпгинывных систем (гл. 11 Поэтому уравнение (11.17) будет здесь иметь вид Пс дзс %т дзс 17'о ды Яьа дл' -а что совпадает с уравнением (11.43). Заметим, что выражение (11.61) не совпадает с выражением (11.40), пол> ченным нами для 8 в 3 11.3. Кроме того, ни один из членов выражения (11.61) не является удельной кинетической или удельной потенциальной энергией. Тем не менее, мы видим, что это 8 приводит к правильному волновому у.равнению, т. е. удовлетворяет поставленной цели. Для описания звукового поля можно также пользоваться удельным гамильтонианом Е=-'~ — т" и'+(р)ф (! 1.62) Легко видеть, что это выражение приводит к нужному нам уравнению поля, хотя оно н отличается от (! 1.53) и не выражает плотности энергии механической системы.
В качестве более сложного примера образования лагранжиана рассмотрим электромагнитное поле в вакууме. В этом случае Е = В и В = И (в единицах Гаусса), и уравнения Максвелла (!.55) принимают вид Ч ХЕ+ — — =О, 1 дВ с дг 1 дЕ ал/ РХ — — — =— с дг с т ° В=О, т ° Е= 4лр (11.63) (11.64) Первая пара этих уравнений, т. е.
уравнения (11.63), эквивалентна следующим: Е= — Рл — —— 1 дА с дг (1.58) В=РХА, (1.57) которые выражают тот факт, что поле имеет скалярный и векторный потенциалы. В противоположность этому уравнения (11.64) описывают процесс образования и изменения поля под действием зарядов и токов. Поэтому именно их мы будем рассматривать как уравнения поля. Так как шесть составляющих этого поля не являются независимыми, но могут быть выражены через четыре составляющие потенциалов, то в качестве обобгцанных координат этого поля выберем потенциалы А и ть Покажем теперь, что уравнения (11.64) можно получить с помощью удельного лагранжиана Ез — Вз ,~' А 8= — су+ —, 8л с (1! .65) где Е и  — правые части равенств (1.58) и (1.57).
Вычисляя для ф 11 б) описание полай с помощью влгилционных пгинципов 389 этого производные х по о и по —, будем иметь: дч дхл др до Еа дЕл Ел ( †" ) " ( †' ) ду Но так как производные — вообще не входят в Вт, то уравнение дт Лагранжа, соответствующее координате л, будет иметь вид — лу — — р=О, или т Е=4пр, 1 ъч дЕ„ 4в 2~ дха л что совпадает с первым нз уравнений (!1.64).
Получим теперь урав- нения Лагранжа для составляющих вектора А. Рассмотрим для этого одну из таких составляющих, например А,. Вычисляя связанные с ней производные 2, получим: дй У! дй Е! дЕ! Е! дА! с ' дА„ лп дА, д0 1 дВз Вз дй Вз д (дА! ) 4в ) (дАт) 4п 1(дА~) 4к ' Поэтому уравнение Лагранжа, соответствующее координате А„будет иметь вид ' — О.
(11.66) 1 /дВз дВз) 1 дЕ! У 4п ~дхз дхз/ 4гс дт с Легко видеть, что, проектируя уравнение 1 дЕ 4с/ (Р ХВ) — — — = — ' с дс с на ось х,, мы получаем точно такой же результат. Следовательно, для координаты А, мы получили нужное нам уравнение и точно также могли бы получить уравнения и для координат Ая и Аз. Таким образом, удельный лагранжиаи (11.65) приводит к уравнениям Максвелла (! 1.64)*). ..) В некоторых отношениях электромагнитное поле представляет собой неудачный пример.
Одной нз трудностей здесь является отсутствие в производной т и, следовательно, отсутствие канонического импульса, соответствующего т, что затрудняет применение метода Гамильтона, изложенного в й 11.4. В сущности, источник появляющихся здесь трудностей заключается в том, что скалярный и векторный потенциалы являются пе вполне незаввснмымп, так как онн связаны между собой так называемым калибровочным условием.
Опо является дополнительным условием, позволяющим исключить олпу из обобщанных координат н оставить только независимые координаты. Подробнее смотри об этом в книге: О. )т' е п ! з е1, 1и!гобпсйоп !о гйе !апзп!пгп Тйеогу о1 р1е!бз. (Иа!еется русский перевод: В е н ц е л ь, Введение в квантовую теорию волновых полей.) 390 методы ллгглнжл и глмнльтонл для нвпгвгывных систвм [гл. 11 Плотность тока можно записать в виде ,7' =-,".е>, (11,67) р(г) = ~~ д,о(г — гя), (11.71) ~=-г где >7г — заряд 1-й частицы, а г; — ее радиус-вектор.
Из (11.70) следует, что если р(г) определяется формулой (11.71), то интеграл [ р( ) [; ( ) —, [ 1~' равен е;. А (г;) ~ с Следовательно, если в поле имеется и заряженных частиц, то полный лаграижиан этого поля будет иметь вид 1,= ~ г(Ь' — ~~>М >7;(7> — '~ ) (11.?2) где р — плотность заряда, а е> — его скорость, являющаяся некоторой функцией г. Учитьщая это соотношение и интегрируя (11.65), мы получаем следующее выра>кение для полного лагранжиана электромагнитного поля: 7.= ~ ~6„й — р[; — — ")~ ц:.
(11.66) Следует заметить, что выражение, стоящее в круглых скобках, уже встреча. тось нам прн вычислеш>и лагранжиана заряженной частицы в электромагнитном поле [см. уравнение (1.61)[. Таким образом, эта часть Г является обобщснным потенциалом заряженной точки. Если в поле имеется заря>кенная частица, то ев масса и заряд будут сконцентрированы в одной точке пространства. Следовате.чьно, плотность ее заряда должна равняться нулю всюду, кроме этой точки, где эта плотность лолжна быть бесконечной.
Однако объемный интеграл от этой плотности должен равняться полному заряду рассматриваемой частицы. Г1оставлеиному условию удовлетворяет известная 6-функция Дирака, определяемая равенствами 6 (г — г,) =- 0 (г =л >",), [ (11.69) 1 6 (г —.,) Д = 1, где г> — радиус-вектор данной частицы. Из этих равенств следует также, что если /'(г) есть некоторая функция г, то [ 7( ) ( — «,)Л'=7'(~,) (11.70) Поэтому для группы из >г частиц функция плотности р(г) будет иметь вид 3 11,5) опислннв полей с помощью влгилционных пгинципов 39! (7г и А; берутся при г = ге).
Сравнивая выражения (11.72) н (1.61), видим, что входжцая в (11.72) сУмма есть обобщенный потенциал системы, состоящей из и заряженных частиц. Поэтому можно обьединить лагранжианы (1.61) и (11.72), добавив к (11.72) кинетическую энергию этих частиц: что можно записать также в виде Х')г3 (г г~) (т )1 п~ + 2 ~4 т;оы (11.73') Это выражение, так же как и выражение (1!.73), является лагранжнаном системы, состоящей из электромагнитного поля и и заряженных частиц.
Оно является функцией обобщенных координат з(лы хз, ха) и А (лы хе, лз), а также обобщенных координат го Таким образом, мы одновременно описываем две системьк электромагнитное поле и находящиеся в нем частицы. Пользуясь теперь принципом Гамильтона и варьируя только потенциалы, получим уравнения Максвелла для электромагнитного поля, а варьируя координаты частиц, получим уравнения движения этих частиц. Заметим, что первый член выражения (11.73) представляет собой лагранжиан поля в случае отсутствия заряженных частиц, а последний — лагранжиан этих частиц в случае отсутствия поля. Средний член этого выражения, очевидно, отражает взаимодействие поля и заряженных частиц.
Мы видели, что вариационные принципы позволяют получить компактное и изящное описание поля. Может, однако, возникнуть вопрос: каковы практические преимущества этого метода по сравнению с методом непосредственного составления уравнений поляР На это следует ответить, что наиболее важные преимущества проявляются здесь в области, лежащей за пределами классической физики. Поэтому мы остановимся на них совсем кратко. Во-первых, этот метод позволяет получать новые поля и исследовать их свойства. Дело в том, что при выборе возможного выражения для 9 мы всегда ограничены тем требованием, что 3 должно содержать только координаты и их первые производные по х; и 1 и, кроме того, должно быть инвариантом Лоренца.
Пусть, например, имеется только одна обобщенная координата т1, которая должна быть инвариантным скаляром (или псевдоскаляром). Тогда указанным требованиям бу.дуг отвечать только члены вида где А„ — внешний инвариантный вектор (или псевдовектор).
Поэтому в случае скалярного поля любое 9 должно быть комбинацией этих 392 методы ллгглнжл и гамильтона для нвпгвгывных систвм (гл. 11) членов. Этим путЕм можно исследовать многие общие свойства такого скалярного поля, не зная его физической сущности. Последнее время этим методом часто пользуются в теоретических работах по полям мезонов. Второе применение рассматриваемого метода относится к квантованию полей. Мы знаем, что переход от классической теории к квантовой можно осуществить через канонические переменные системы. Мы отмечали, что классическим скобкам Пуассона от функций канонических координат соответствуют при этом квантовые коммутационные соотношения. В сушности, мы только тогда умеем квантовать систему, когда моэкем говорить о ней на языке механики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
