Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Изменение возмущающей силы со временем часто совершается по синусондальному закону. Примером может служить возмущающая сила в виде давления звуковой волны, действующей на систему, так как Ог будет иметь тогда ту же частоту, что и звуковая волна, Другой пример дает нам многоатомная молекула, на которую падает пучок мопохроматического света. В этом случае на каждый атом 362 [гл. 10 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ молекулы будет действовать возмущающая электрическая сила, изменяющаяся по синусоидальному закону с частотой падающего света. Во всех таких слУчаЯх сила Сзг может быть записана в виде Яг = Оь,сов(юг+ 3;), (10. 59) а уравнения (10.58) в виде ".„+ ~Г(Ь = 1',1Ы СОЗ (ьт+ 3;), (10.60) где ю — круговая частота возмущающей силы.
Общее решение каждого уравнения (10.60) состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения (свободное колебание) плюс частное решение данного неоднородного уравнения. Однако при соответствующих начальных условиях первое из ннх обращается в нуль ь). Поэтому мы сосредоточим свой внимание на частных решениях уравнений (10.60), которые будут иметь вид (г = Вг соя(юу+ Ег). (10.61) Амплитуды Вь определяются здесь посредством подстановки частных решений (10.61) в уравнения (10.60): Оь откуда юд арам сов (юг + Ь,) тн = ауггг = 7~ =1 "=Х 4 ь (10.63) ь) Свободные колебания являются, в сущности, временными. Если к системе, находящейся з равновесии, приложить возмущающие силы, медленно изменяющиеся от нуля, то свободные колебания вообще пе возникнут.
Другим аргументом в пользу игнорирования свободных колебаний является наличие диссипативных сил (см. следующий параграф), которые уменьшают амплитуду свободных колебаний до пуля, Таким образом, полное колебание будет здесь тоже линейной комбинапией главных колебаний, но каждое главное колебание будет иметь теперь одну и ту же частоту, равную частоте возмущающей силы. Амплитуда каждого колебания определяется двумя факторами. Первый из них — это амплитуда возмушаюшей силы, т.
е. Если сила, действующая на точку, не имеет составляющей в направлении некоторого главного колебания, то, очевидно, соответствующая обобщенная сила будет равна нулю и О„ обратится в нуль. Другими словами, внешняя сила может возбудить главное колебание только в том случае, если она стремится двизать точку в направлении этого колебания. Вторым фактором является близость частот возмущающей силы и свободного колебания. Как видно из формулы (10.62), амп.читуда 3 10.5) выняжденныя колявлния и диссиплтивныв силы 363 В» будет по сравнению с другими амплитудами тем больше, чем ближе »е к мп Формально мы получаем при »е = »е» даже бесконечно большую амплитуду, что представляет хорошо известное явление резонанса.
В действительности, конечно, формула (10.62) справедлива только при малых отклонениях от равновесия. В дальнейшем увидим, что в реальных колебаниях амплитуда остабтся конечной и при резонансе. Заметим, что фаза вынужденного колебания совпадает с фазой возмуп»ающеИ силы только при»е .. ь»», а при ы ) ы» эти фазы отличаются на -. Все наши рассуждения были до сих пор не вполне реальными, так как мы не учитывали диссипативных сил (сил трения).
В большинстве физических систем эти силы пропорциональны скоростям движущихся точек и поэтому могут быть получены с помощью диссипативной функции б (см. Э 1.5). Рассмотрим сейчас влияние этих сил на свободные колебания. По определению $ представляет собой однородную квадратичную функцию скоростей. Поэтому з=-,' ~ъ~,~, (10. 64) где коэффициенты $»7 — — $7» являются некоторыми функциями координат. Однако, так как мы рассматриваем только малые отклонения от положения равновесия, то, раскладывая $»» в степенные ряды в окрестности этого положения, мы можем ограничиться лишь первыми членами этих рядов, т. е. считать коэффициенты $»7 постоянными (подобно тому, как мы это делали для кинетической энергии).
Заметим, что функция 2$ выражает скорость рассеивания энергии вследствие трения и поэтому она не может быть отрицательной. Таким образом, мы получаем следующую систему уравнений Лагранжа: :", т„„+ ~Д,>ц+ ~У„.„== 0 (10.65) (см. Э !.5). Иногда преобразование, диагонализирующее 7' н У, диагонализирует и Я. Это, в частности, имеет место з том случае, когда диссипативная сила пропорциональна не только скоростям частиц, но и их массам. В этих исключительных случаях уравнения движения в главных координатах будут иметь вид -"»+ Ъ»"-»+ "Ф» = 0 (10. 66) где $» — положительные коэффициенты диагонализированной формы $. Уравнения (10.66) образуют систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициента»и, и их решения можно записать в виде / -»в.» С,а», 364 (гл.
1О МАЛЫБ КОЛЕБАНИЯ причйм ю',. должны удовлетворять уравнениям сз Ъ ю; + сюсбс — ю; = О. (10.67) Каждое из этих уравнений имеет корни се с; ю. = с ~/ ю-.— — — 1 —, сХХ сю 4 2 ' (10.68) — с'; сж -с'» с (!0,69) Вели функцию рассеивания нельзя диагонализировать одновременно с Т и \г, то процедура решения уравнений (10.66) становится более сложной. Однако общий характер решения остаатся при этом в основном тем же. Будем искать решение уравнений (!0.65) в виде т = Са е-""'= Сл,е -"се-асссс.
Подставив эти выражения в (10.65), получим Х )гс аХ вЂ” !ю,'Я ЯХХаХ вЂ” юа ~ ТыаХ вЂ”вЂ” О, с Х Х (1О. 70) (10.?1) или, полагая ю = с7: ~~„"!гсХаХ+ 7 ~'Я!Ха + 7Я~~~" Тйа =О. Х Уравнения (!0.71) или (!0.7!') являются линейными однородными уравнениями относительно а~ и имеют нетривиальные решения лишь при определессных комплексных значениях ю (или;). При этом мол<но (10.
7! ') откуда видно, что функции чс ие являются строго периодическими, так как числа ос' содержат мнимые части. Вследствие этого функции — .сж '.с(!) будут содержать непериодические множители е ог , итак как Дс ) О, то при 7 -+ со они будут стремиться к нулю. Этот результат следовало, конечно, ожидать, так как, совершая колебания, рассматриваемая система производит работу против сил трения, что приводит к непрерывному уменьшению еа энергии (а следовательно, и амплитуды колебаний). Частота изменения функции ".с(с) определяется вещественной частью равенства (10.68), и, как видно из этого равенства, трение уменьшает частоту ю; до величины с 3 юз — — '.
Однако если рассеивание мало, то квадратным чле- 4 ном Д; можно пренебречь, и частоту колебания можно считать равной собственной частоте при отсутствии трения. Тогда колебание, описываемое функцией (ч(!), можно будет рассматривать как экспоненциальпо демпфированное свободное колебание. В этом случае будем иметь Э 10.5) выцюкденньщ колввлнпя и диссиплтнвные силы Збо показать, что мнимая часть ш (или вещественная часть 7) должна быть отрицательной. Чтобы доказать это, умножим (10.77') на а',.
и просуммируем по Д Проделав это, получим." Х )'~~а;а~+ 7 ~~~ ~$0а;а + 7з ~~", Т; а;ау= О, (10.72) причйм из симметричности коэффициентов Г;., $;„. и Тц следует, что каждая пз этих сумм является вещественной (см. э 10.2). Полагая теперь ау = иу+1Эу и подставляя это выражение в (10.72), получаем: У )г0(~р +. 94) + 7 Х 60(я;х~+ В1$)+ 72 Х Т0(агяу+ р Ъ) == 0 ьу (10.72') что представляет собой квадратное уравнение относительно 7. Корнялш его будут комплексно сопряженные числа 7 и 7" и поэтому сумма их будет равна удвоенной вещественной части числа 7. Но так как сумма корней квадратного уравнения известным образом выражается через его коэффициенты, то можно написать: 7 1 = ХлТг (ч~" +Р ) Но диссипатнвная функция 1т не может быть отрицательной, а функция Т является определанно положительной.
Следовательно, х есть число положительное илн равно нулю. Таким образом, колебания системы могут только уменьшаться со временем по экспоненцнальному закону. Заметим, что если функция Д является определанно положительной, то я должно бьжь строго положительным, н каждая функция (10.70) будет иметь зкспоненциальный демпфирующий коэффициент. Частота рассматриваемого колебания определяется вещественной частью ы и зависит от степени рассеивания энергии, однако если демпфирование не очень велико, то она мало отличается от соответствующей собственной частоты. Перейдем теперь к последнему вопросу — к исследованию вынужденных колебаний при наличии диссипативных снл. Уравнения этих колебаний имеют вид .г, —,'- ~~~~~ гб.уа -~- ч~'., Тг.т(1 = Гсче г''"', (10.74) где Таге-ч г = Р, — возмущающая сила, причем Теу может быть комплексным. Разыскивая частное решение этих уравнений в виде т,, = А е-~"', Ц 7 йбп 1гл.
1о! малыв ьолввлния получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд А: ~~~~ АГ (гы йобй ыгТг ) — Гег = О. (10. 75) Решая ее, находим Т1у Ю А = —, у 0(м) (1О. 76) где 7) (ы) — детерминант, составленный из коэффициентов при А~, а 717(ы) получается из е)(ы) посредством замены г'-го столбца на Ге„ ..., г". „.
Нас будет интересовать знаменатель этой дроби, так как именно им определяется резонансная характеристика системы. Поскольку он представляет детерминант векового уравнения, его можно представить в виде 0(ш) = 0(ы — ыг) (ы — аа) (ы — ыа) ., . (ы — ыв) где аы..., ы„— комплексные частоты свободных колебаний, а ц — некоторая постоянная. Это выражение можно записать также в виде О(ы) = ОЦ [2я (ч — чг)+ гя;). (10. 77) а=1 Желая теперь разделить вещественную и мнимую части А~, мы должны будем умножить числитель и знаменатель (!0.76) на 7)'(ы). Тогда новый знаменатель будет равен ~У(ы) 7)(в) = ОО'И (4яз(ч — ~.)а+ я!), г=г откуда видно, что резонанс будет иметьместо в том случае, когда частота ч будет совпадать с одной из резонансных частот тп Однако вследствие наличия постоянных гм знаменатель (10.78) уже не будет обращаться при этом в нуль.
Это связано с тем, что возмущающая сила должна теперь совершать работу против сил трения, и поэтому резонансные амплитуды уже не получаются бесконечными. Колебания, которые мы рассматривали в этой главе, относились к механическим системам. Однако легко видеть, что здесь имеется много сходства с теорией колебания электрических систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
