Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Если бы потенциал системы не имел в положении равновесия минимума, то числитель дроби (10.19) мог бы быть отрицательным, что привело бы к появлению мнимых частот, вызывающих неограниченное возрастание функции тт(!) по экспоненциальному закону. Следовательно, такое движение было бы неустойчивым. Таким образом,.мы получили обещанное математическое доказательство того, что устойчивость движения требует минимума потенциала. Вернемся теперь к равенству (10.17). Учитывая, что собственные значения А и собственные векторы а являются вещественными, его можно записать в ниде (Агэ — ) 1) ~'„т1)а1110ь == О.
(10.17') Если все корни векового уравнения различны, то булем нчеть ) тт,анау„= О (учь )э). (10.20а) ;~ тэуа,лата =- 1, ь у (10.20!1) что даст нам а уравнений, однозначно определяющих составляющие каждого из и векторов али). Объединив теперь равенства (10,20а) п (10.20Ь), получим Х т1 апауэ эп (10.21) ел 0'' ") Уравнения (!0.20Ь) можно записать в таком виде, что достаточнос1ь этих уравнений для устранения неопределенности в коэффициентах а„ь станет ясной. Предположим, например, что мы хотим определить величину аэля причам отношения аул)атл уже найдены нами иэ уравнений (10.15).
Тогда, записывая (10.20Ь) в виде у а!Аа!л аэ ' э,у 1Л чы можем вычисшпь левтю часть это1о равенства и получ1пь а,1,. Вспомним теперь, что величины а А не вполне определяются уравнениями (!0.1б). Для устранения этой неопределйнности мы потребуем, чтобы [гл. 10 348 малыв колвглния Если среди корней 1, имеются одинаковые, то нз равенства (10.17') нельзя получить равенство (!0.20а), так как ).в может оказаться равным )ч. Этот исключительный случай мы рассмотрим несколько позже, а сейчас будем считать, что коэффициенты авь удовлетворяют как уравнению (10.10), так и уравнению (10.20а).
Условие (10.2!) можно записать в форме матричного равенства (10.21') АТА= 1 Л!ы видим, что оно несколько напоминает условие ортогональности (10.22) АА=1 [см. равенство (4.36)[, хотя и отличается от него присутствием матрицы Т. Мы сейчас покажем, что равенство (!0.21') тоже выражает условие ортогональности, но только не в декартовой системе координат.
Обычные условия ортогональности требуют, чтобы 1) каждый из векторов ал был единичным: а„. а„=~~ а.,=1: 2 72 2) два любых вектора аг и ан были взаимно перпендикулярны: а, сг,='~а,гау„=о ([~й). Рассмотрим теперь некоторую косоугольную систему координат, и пусть метрический тензор определяемого им пространства будет равен Т. Элементы этого тензора будут величинами постоянными, и поэтому длина какого-либо вектора ав будет в этом рространстве равна а„. а„= ~~, "7[уагвагя [см. уравнение (7.42)1. Аналогично, скалярное произведение векторов аг и ал будет злесь равно а, ан= ',~ 7'цаг!ар Сравнивая теперь эти равенства с равенствами (10.20), видим, что каждый вектор ав является единичным [равенство (10.20Ь)[ и что при ! Фй векторы а, н Сга взаимно перпендикулярны [равенство (10 20а)[. Следовательно, условие (10.21') является условиеж ортогональности матрицы А в пространстве конфигураций с гзетрически.я тензоролг Т.
В декартовом пространстве таким метрическим тепзором является единичный тензор 1, и поэтому условие (10.21') сводится здесь к обычным условиям ортогональности. 10.2! сои.шюиве:щл ошш н нш оьтлзоьлшп: ~ алены . юья н10 В главе 4 мы рассматривали подобное преобразование матр|щы С с помощью матрицы В, определяя его равенством С'=ВСВ ' [см. равенство (4.41)).
Теперь мы введем понятие конгрузнтного преобразования матрицы, понимая под ним преобразование С' == АСА (10.23) где С вЂ” преобразуемая матрица, а А — преооразующая. (Если матрица А ортогональна, то А = — А т, и между этими преобразованиями пет разницы, что становится ясным, если обозначить А г через В.) Поэтому равенство (10.21') можно рассматривать как выражение того факта, ло конгруэнтное преобразование матрицы Т с помощью матрицы А превращает ее в единичную матрицу. Если ввести диагональную матрицу Л с элементами Лп,—— )льш, то уравнения (10.15) моькно будет записать в виде .~~ К агь — — 1 Тг ар)гл, что эквивалентно матричному уравнению ЧА = ТАЛ.
(10. 24) Умножая его слева на А, получаем: АЧА = АТАЛ или, учитывая (10.21'): АЧА =Л. (10.25) Полученное равенство показывает, что конгруэнтное преобразование матрицы Ч с помощью матрицы А превращает ев в диагональную матрицу Л, элементами которой являются собственные значения )ь. Таким образом, матрица А диагонализирует и Т и Ч.
Возвращаясь теперь к интерпретации Т как метрического тензора пространства конфигураций, мы можем дать следующее истолкование процессу диагонализации: 1) Матрица А есть матрица линейного преобразования, осуществляющего переход от косоугольной системы координат к прямоугольной.
(Это видно из того факта, что матрица преобразованного метрического тензора равна 1.) 2) Оси новой системы координат являются главными осями Ч, т. е. матрица Ч является в них диагональной. Следовательно, процесс получения основных частот малых колебаний сводится к некоторому преобразованию главных осей, подобному тому, которое рассматривалось в главе 5. Остайтся рассмотреть случай кратных корней векового уравнения, что интересно не столько в практическом отношении, гй н (гл. 10 члаыв ко|галина сколько в математическом.
Легко видеть, что уравнения (10,!5) не определят тогда даже отношения составляющих ауь. Пусть, например, собственное значение )ь является двукратным, Тогда две любые составляющие алл можно выбрать совершенно произвольно, а остальные определятся уравнениями (10,15). В качестве иллюстрации рассмотрим систему с двумя степенями свободы. Вековое уравнение ее оудет иметь внд ~ Чы — !.Ты Угз--',Тш ~ =О, \',,— ЬТв Уээ--)Тз или (Г, — лТг)з.— (Ъ'н — -),Т„)(Ъ'а,— лТ,) = — О.
Пре;шоложнч теперь, что матрицы Т н Ч таковы, по ы н т,, тц т„ (! 0.26) Тогда это уравнение можно будет записать в виде (Т1а — ТыТж)(>з — 1) =0 показывающем, что ле является его двукратным корнем. Уравнения (!О.!0) будут здесь иметь внл: (Ъ'ы — коТ„) а, + (Ъ'„— — >.„7',з) аз -— .. О, (Р ш — 7пты) и, + (агав --) о Тая) аз = О, У / а, = с,аь+ с,аг (10. 27) и согласно (!0.26) все нх коэффициенты равны нулю. Следовательно, любые числа а, н ав будут удовлетворять этим уравнениям.
Поэтому даже при нормнрующем требовании (10.20Ь) здесь все же будет бесконечно много собственных векторов. Вообще ясно, что при двукратном корне ). число этих векторов будет ~равно сю, при трехкратном будет равно соз и т. д. В случае кратных корней произвольно выбранная пара собственных векторов не будет, конечно, ортогональной. Тем не менее, пару таких векторов всегда можно образовать, и ее всегда можно использовать для получения ортогональной матрицы А, Рассмотрим для простоты процедуру, которой нужно здесь следовать в случае двукратного корня ь. Пусть, например, а' и а,' два произвольных собственных вектора, соответствующих двукратному корню причем а,', удовлетворяет условию (10.20Ь). Очевидно, любая линейная комбинация этих векторов также будет собственным вектором, соответствующим корню !.
Поэтому мы образуем вектор 10,' 1 соьстввнныв значения и пееогглзовхния Главны! осей 10! и постараемся так выбрать коэффициенты с, и с, чтобы а~ было ортогонально а'. Переходя для этого от векторов к их составляющим, запишем (10.27) в виде (10.27') Р ап — — саг +сап, Умножая теперь (10.27') иа Т, и'л и производя суммирование по 1 и У, получаем: Но, чтобы удовлетворить условию ортогональности (10,20а), левая часть этого равенства должна быть равна нулю. Поэтому коэффициенты с, и са должны удовлетворять условию — — Т а(а'. ы пзь' су Другое уравнение, связывающее коэффициенты с, и с„получается из условия, что а, должно удовлетворять нормирующему условию (10.20Ь). Таким путам мы получим два уравнения, определяющих коэффициенты с, и с, а следовательно, и вектор аи Что касается собственных векторов, соответствующих другии >„ то как ап так н гх †=' будут, конечно, им ортогональны, так как теперь будет справедлива аргументация, которой мы пользовались в равенстве (10.17'), Следовательно, таким способом можно получить п собственных векторов гхь составлаошне которых будут образовывать матрицу А, удовлетворяющую условию (10.21').
Аналогичную процедуру можно применить и в случае корня более высокой кратности. Пусть, например, х будет лг-кратным корнем векового уравнения. В этом случае нам нужно будет получить ш ортогональных и нормированных собственных векторов аы ...,а,„. Для этого достаточно взять лг любых собственных векторов а',,..., ам и образовать из них соответствующие линейные комбинации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
