Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 70
Текст из файла (страница 70)
(Замепш, что рассматриваемое преобразование переменных (у, ш) як является ортогоналшгыч.) В. Вьпшслпте элемептарнымп методамп интеграл (9.бб) из задачи Кеплера, 9. Интегрируя каждое пз уравнений Гамильтона — Якоби в задаче Кеплера, погбчпгг !Г и япле с) чмы трех интегралов. Из соотношений д !)" дl; полушпе затем интегральные выражения лля трех у~левых перемен~гых / т Покаткнте, что с точностью до аддитивной постоянной углы ш и ша имеют смысл азимута лпшш узлов и угла ме;кду линией узлов и радиусом-вектором перпгелня.
Прп шггерпретироваппп получаю цпхся интегралов удобно отно- /, шение У,,'У заменить па сов., где я — угол между плоскостью орбиты и полярной осью -. 19. Уравнение орбиты в задаче Кеплера моткно получить с помощью равенства (9.29Ь), выражая а =- Е и ач = — ) через У и Уз. (Обратите внимание па изменение смысла уг:щ 'З) Выполните необходимое интегрирование и получите уравнение орбиты, а также покажите, гто я= 1 — —, 4тдт/г (т? /з где а — главная полуось орбиты, а е — ее эксцентрисптет. 11. Рассмотритс релятивистскую задачу Кеплера, пользуясь переменными действие — угол п гампльтопиаиом (?.20). Покажите, в частности, что полная энергия линас?щейся точки (включая энергию покоя) определяется равенстпом Р, 1 шгс = ',г ада 1-- т ((У вЂ” Х,) с — , '~' Х са — 4пзйз)а (Заметиаг, по вырождение здесь частично тменьшается, так как орбита перестает быть замкнутой, хотя остаегся еще плоской.) Покажите, что при с- со мы приходим к равенству (9./5), Ретсомеидуемяя литература М.
Воти, ТЬе атее!тап)сз о! гйе Л!ош. По сравнению с боя~ щей частью книг, на которые мы ссылались в про. дыдущей главе, книга Бориа выделяется обилием материала по применению метода Гамитштона — Якоби и переменных действие — угол. Много-периодические двилсепия и теория возмуптйнного движения изложены здесгь несомненно, полнее, чем в других книгах на эту тему, написанных на английском языке. А.
Б о ш н е г ! е ! б, Лгопйс Бггис!иге апб Брес!га! (янез. Метод Гамильтона — Якоби и перемешгые действие — угол изложены в втой книге зпачительг~о менее подробно, чем в книге Бориа. (Вероятно, е«коментуемля литкгагугл поэтому рассмшриваемые вопросы часто оказываются более лбгкими для чтения.) Особо следует отме~ить изложение вопроса о связи вырождающихся движений с разделением переменных. В приложении к втой книге производится вычисление интегралов из задачи Кеплера с помощью теории вычетов (что, впрочем, делается и в книге Бориа). Н.
тг а п Н(ес К, ОаапШш Рг!пс1р!ез а!тб 1Лпе Брег!га. В главе яМа!Ьешайса( Тесйп1йиею автор этой книги коротко рассматривает метод Гамильтона — Якоби и переменные действие — угол, а также основы теории возмущений. Бол~шая часть материала остальной части книги шпереспа лишь в историческом отношении. В.
Г ц ез, Бгбгипйыес!тпипй, т. Н. НапбЬнск бег Рйуэйь Г!редшествующая статья этого тома, написанная,'!. Нордхеймом и Б, Фюзоч и озаглавленная тНаш!Воп — ЛасоЬысйе Тйеомеэ, касается теории Гамильтона — Якоби, в сущности, лишь н последних разделах. Помимо некоторых общих положений этого метода, здесь коротко рассматривается вопрос о возэшашостп разделевия пеуечеиных. Статья Фгоза является н этом ою!ошении более полной. В неи подробно рассматривается многопериоднческое движение и вводятся переменные действие — угол.
Кроме того, в ней подробно рассмотрена задача Кеплера (исключая комплексное нптегрврованне). Больше половины этой статьи посвящено теории возму. щеннй, при изложении которой ясно раскрывается вся сложность этой теории по сравнению с теорией квантовых возмущений. Р. Ртап(с, Вце О!1(егеп!1а( О!е!сйопяеп а!!Бенге!пег Ыесйап!зсйег Буз!егпе, т. 2 книги Ргап1с ппб топ М(зез, П(е О!1(егеп!!а1- нпб 1п!еяга1- я1(есйапяеп бег Мес1тапгй нпд Рйуый а).
Эта глава представляет компактное изложение всей механики па весььщ высоком уровне. В опюшенни вопросов, нзложепвых нами в настоящей главе, известный интерес представляют здесь Я 4 — 7. Особевно ценным является весьма общее излоткение вопроса о системах с разделяющимися переменными, которое проводится в й 5 и основывается на работе Штеккелгт (5!аесйе1). Имеется некоторый материал по вопросу о связи теории Галтильтоиа — Якоби с геометрической оптикой. Предыдущая глава книги содерлтит подробное изложение геометрической оптики на основе уравнения Гамильтона — Якоби для одной точки.
С. С а га ! бе о богу, Нагп!!опзгес!тоний. В втой книге рассматривается связь между теорией Гамильтона и общей !еорией уравнений первого порядка в частных производных. Иэ изложения этого вопроса видно, что уравнение Гамильтона — Якоби играет в этой свнзи существенную роль. Подуобное рассмотрение этих вопросов дастся здесь в связи с так иазываемои теорией яхарактеристик» С. 1.. С Ь аг((ег, О(е Месйапгй без Нппше1з, В этой книге рассматривается применение»стола Гамильтона — Якоби в небесной механике. В главе 2 рассматривается много-периодическое дви.
жение, а в главах б и 7 — теория возмущений и применение ее к проблеме трех тел. Более полное в математическом отношении исследование этпт вопросов можно найти в книге Н. Р о(ос а ге, Еез Ме!Ьобет Хопяейся бе Месапщне Се1еже. 1.. В г111о в ! п, Еез Тепьевгз еп Месйап(г(пе е! еп Б!азбсйс. В главе тгП1 этой книги подробно рассмотрено движение поверхностей Б-сопя! в пространстве конфигураций. В главе !Х рассмотрена связь мшкду классической механикой, геометрической оптикой и волновой механикой, :) Имеется русский перевод; Ф ранк П. и Мизес Р., дифференциальные п интегральные уравнения математической физики, ОЙТИ, г!.— М„1937. ГЛАВА 1О МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ В предыдущей главе мы рассматривали системы, движение которых можно описать с помощью ряда Фурье, содержащего основные частоты чз и все линейные комбинации этих частот.
Важным частным случаем такого движения являются колебания столь малой амплитуды, что при этом возбуждаются только основные частоты, а более высокие гармоники практически не проявляются. Переменные действие — угол оказываются в этом случае не вполне подходящими, и поэтому здесь применяются специальные методы, являющиеся более элементарными. Теория малых колебаний находит широкое применение в акустике и теории молекулярных спектров, а также при изучении взаимодействующих электрических контуров.
Кроме того, она подготавливает путь для перехода к механике непрерывных систем и полей, которые мы рассмотрим в следуюгцей главе. Мы будем рассматривать те колебания, которые возникают при небольших отклонениях системы от состояния устойчивого равновесия (хотя вообще можно рассматривать и такие колебания, которые возникают при небольших отклонениях от режима устойчивого движения). ф !0.1.
Постановка задачи. Рассмотрим системы, потенциал которых является функцией только координат их точек. Уравнения, связывающие обобщенные координаты д„..., д„с декартовыми, будем считать не содержащими времени, т. е. исключим из рассмотрения связи. зависящие от времени. Мы будем говорить, что система находится в равновесии, если действующие на ней обобшйнные силы равны нулю, т. е. если (10.1) Следовательно, при равновесии потенциальная энергия системы имеет зкстремум. Если начальная конфигурация системы является равновесной и ей начальные скорости равны нулю, то она и дальше будет оставаться в равновесии.
Примером механической системы, находящейся в равновесии, может служить висящий маятник, лежащее на столе яйцо, или баллистический гальванометр в нуле- 341 % 1О.1~ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ вом положении. Можно было бы привести и много других примеров. Равновесие называют услчойчивыж, если движение, получающееся в результате небольшого возмущения, не выходит из небольшой окрестности первоначальной конфигурации системы. Если же при бесконечно малом возмущении система начинает неограниченно удаляться от первоначальной конфигурации, то равновесие называют неустойчивым. Покоящийся маятник может служить примером системы, находящейся в устойчивом равновесии, а яйцо, поставленное на один из своих концов, — примером системы, находящейся Е' са'Ео Ес Есвйс с ас' ЗГвусвсой вйвое раввсеессе а/ Угтсйсоесе раввовессс Рнс, 67. Кривые потенциальной энергии вблизи положения рав- новесия.
в неустойчивом равновесии. Легко видеть, что если экстремум функции 1г будет минимумом, то равновесие будет устойчивым. Для доказательства предположим, что система отклоняется от положения равновесия и энергия ее увеличивается при этом на г7Е. Но так как в положении равновесия 1г имеет минимум, то любое отклонение от этого положения вызывает увеличение ь'. Поэтому на основании закона о сохранении энергии можно сделать вывод, что если бы эта система продолжала отклоняться от равновесия, то скорости ев уменшпались бы и в конце концов обратились бы в нуль. Это указывает на ограниченность движения такой системы. Если же некоторые отклонения от равновесия приводят к уменьшению 1l, то они будут вызывать увеличение кинетической энергии системы и, следовательно, скоростей ев точек. Этот случай соответствует неустойчивому движению.
О характере равновесия системы можно судить па основании графика кривой потенциальной энергии (рис. б7). Более строгое математическое доказательство минимальности Ъ' з случае устойчивого равновесия бчцет дано в ходе последующих рассуждений. 342 [гл. 10 мАлые колезлния Нас будет интересовать движение системы непосредственно вблизи положения устойчивого равновесия, Поэтому отклонения от этого положения мы будем считать малыми и, раскладывая различные функции в ряд Тейлора около этого положения, будем оставлять лишь члены низшего порядка.
Положим (10.2) Ч,=Ч.;+ ги Ч„„)+ У ("),н+ 1 (Ч,,..., Ч„) =. 1> (Чгн где согласно (10.1) члены, пропорциональные ти, обращаются в нуль. Что касаетсЯ члена 1:(Ча>, ..., Чел), то, отсчитываЯ потенциальнУ>о энергию системы от еа положения равновесия, его тоже можно сделать равным нулю. Тогда в качестве первого приближения для Г получим '=-'~(,',";,). ' =~ Х' ' су ЧЧ с> д'->г где через >>> обозначены производные —, зависящие только от дЧ;дЧ Равновесных значений Чг Отсюда счедУет, что 1>О=)>~н Аналогичным образом можно разложить в ряди кинетическую энер>.ню. Так как связь между обобщенными и декартовыми координатами не содержит в данном случае г, то кинетическая энергия системы будет олнородной квадратичной функцией скоростей Ч> 1см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
