Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Пусть, например, мы имеем гармонический осциллятор с тремя степенями свободы. Если у него будут два одинаковых коэффициента восстанавливающей силы, то соответствующие частоты также будут одинаковыми, и эта система будет иметь одну степень вырождения. В случае колебания в изотропной упругой среде коэффициенты восстанавливающей силы одинаковы по всем направлениям, и поэтому будут равны все частоты колебания. Такая система является полностью вырождающейся. В случае, когда имеется вырождение, частоты колебаний не являются независимыми, и движение системы можно описать числом частот, меньшим, чем и. Если, например, имеется ги условий вырождения, то их можно использовать и понизить число частот до и — т; в этом случае мы будем иметь и — т периодов движения.
Изящный способ уменьшения числа частот даат точечное преобразование переменных действие †уг. Пусть т условий вырождения имеют вид $ 9.71 злзлча кеплвгх в пьгвменных действие — хгол 321 В ряде Фурье нулевым частотам соответствуют постоянные множители. Они имеются, конечно, и в первоначальном ряде Фурье, т.
е. в ряде (9.49), где они получаются при значениях Уп удовлетворяющих условиям вырождения. Так как дН д./; 9 9.?. Задача Кеплера в переменных действие — угол. Лля общности будем пользоваться пространственнымн координатами, т. е. не будем априори считать рассматриваемое движение плоским. В сферических координатах кинетическая энергия равна Т= — (»'+»'И+»а ьйпа йе'), 2 (9. 58) а канонические импульсы имеют вид: р = глг, рз — — тгаа р = тгагйпайм. Поэтому гамильтониан этой системы равен Коэффициент м будем считать положительным, так как при я <0 орбита планеты не является ограниченной и, следовательно, движение не может быть периодическим.
Из равенства (9.60) видно, что характеристическая функция К» определяется здесь уравнением где а, — постоянная, равная полной энергии. Переменные уравнения (9.61) можно разделить, полагая н» %» (г) + (у»О (В) + Ж т (т)' (9.62) (9. 59) (9. 60) то гамильтониан не должен зависеть от переменных ун для которых соответствующие частоты равны нул1о. Поэтому в полностью вырождзющейся системе гамильтониан можно сделать зависящим лишь от одной переменной ./е Многие факты, связанные с вырождением, хорошо иллюстрируются на примере движения под действием центральной силы Р =-- — й/»'. Это движение интересно также и в том отношении, что оно позволяет показать, как переменные у и тв применяются к исследованию некоторых систем.
Кроме того, при этом обнару~кивается связь с квантовой механикой Бора. Поэтому следующий параграф мы посвящаем подробному рассмотрению задачи Кеплера в переменных А тв. 322 (гл. 9 метод гамильтона — якови Подставим это выражение в (9.61). Тогда, учитывая, что е появится при этом лишь в члене гаи1 гззн1за (дт / ' мы видим, что равенство (9.61) будет справедливо для всех у лишь при условии д В'т (9.63а) где а — постоянная. Поэтому уравнение (9.61) можно записать в виде ( дВ'а " а'"„ „)+„„,", =;- (9.63Ь) где а~ — ещв одна постоянная. Таким образом, уравнение (9.61) при- нимает вид (9.
6 3 с) Каждое из равенств (9.63) выражает некоторую теорему о сохранении. Рассмотрим, например, первое из них. Оно показывает, что величина р, является постоянной. Следовательно, это равенство выражает закон о сохранении кинетического момента относительно оси г. Рассмотрим теперь равенство (9.63Ь), записав его в виде Р'а Р" ,+;;-;„',; = ~~' Заметим, что в плоских полярпыь координатах гамильтониан равен где р †величи полного кинетического момента. Сравнение этого выражения с гамильтонианом (9.60) показывает, что па следует считать равным р.
Поэтому равенство (9.63Ь) выражает закон о сохранении полного кинетического момента. Что касается равенства (9.63с), то оно выражает закон о сохранении энергии. Уравнения (9.63) можно проинтегрировать и получить производящую функцию. Однако мы не будем этого делать, так как нас интересуют главным образом переменные действие — угол (Л тв).
Но так как выражение в квадратных скобках содержит только Ь, то 9 9,7) злдлчл квплегл в пегвменных действие — вгол 323 В данном случае имеется три переменных ./, определяемых равенствами: дйг, =~р,/~=~ — ' Ь,, = ~р„г/г = — ~ г г/г. (9.64а) (9.64Ь) /а= 4 ./з = /„ (9. 64 с) С помощью соотношений (9.63) их можно записать в виде; е,' — ~ гр/, 2та чч 2тЕ+ — —;й. (9.65а) (9. 65Ь) (9. 65с) Первый из этих интегралов является тривиальным; так как за один оборот е изменяется на 2п, то у„= 2яа = — 2хр, (9.66) Этот результат можно было предвидеть заранее, так как 3~ является циклической координатой гамильтониана Н. Поэтому равенство (9.66) является частным случаем равенства (9,34'), справедливого для любой циклической координаты.
Интеграл (9.65Ь) также можно вычислить без особого труда, что проще всего сделать с помощью процедуры, которую предложил ван флек (3. Н. Чап 1/1еск). Вспомним, что если равенства, связывающие декартовы координаты с обобщенными, не содержат времени, то 2 7' =-,~Р~ рг/г (см. 6 2.6). Выражая кинетическую энергию в сферических и в пло- ских полярных координатах, будем иметь /е =2к(р — р ) = 2в(вз — и ). (9.
67) р,г+ ргб+р м = р„г+ рО, где ф — полярный угол точки в плоскосги ее траектории. Поэтому рзг/3 в интеграле (9.64Ь) можно заменить разностью рг/ф — ртг/т. В результате получим ,/, = ~ р дф — г~рт пью. 1(огда 0 совершает полный цикл либрации, е и ф изменяются на 2п и, следовзтельно, 324 )гл. 9 мзтод Глмилътонл — якопи Интеграл l„ можно записать теперь в виде ,1, = !~~l 2тЕ+ — —,,~ йг. 2тФ (/в+ У, )з (9.68) После выполнения интегрирования это равенство можно разрешить относительно энергии Е = Н, что даст нам Н как функцию переменных lч, оь, 1„. Следует заметить, что переменные У„ и /~ войдут при этом в Е в виде суммы Ув+1м что указывает на равенство частот ! н ,, т. е.
на вырождение. Заметим, что, делая это утверждение, мы не пользуемся тем фактом, что сила изменяется обоатно пропорционально квадрату расстояния. Следовательно, движение Рис, 65. Комплексная плоскость г и кривые интегрирования для вычисления интеграла l,. под действием центральной силы всегда имеет, но крайней мере, одну степень вырождения. Интеграл (9.68) может быть вычислен элементарными методамн, однако особенно быстро и изящно это можно сделать с помощью теории вычетов, что было впервые проделано Зоммерфельдом.
Рассмотрим в общих чертах этот способ. Прежде всего заметим, что Е следует считать отрицательным, так как только тогда движение рассматриваемой точки будет ограниченным (см, 9 3.3). Далее, так как интегрируемая функция равна здесь р,= тг, то пределы изменения г определяются корнями выражения, стоящего под знаком радикала. Пусть г, — л!еньший из этих корней, а г, †больш (см.
рис. 24). Тогда полный цикл изменения г будет состоять из двух частей: сначала г будет увеличиваться от значения г, до значения г„ а затем будет вновь уменьшаться до первоначального значения гаы В первой фазе этого изменения р, будет положительным, и радикал (9.68) нужно будет брать со знаком плюс, а во второй фазе, когда р„ отрицательно, его нужно будет брать со знаком минус. Следовательно, нам нужно будет произвести интегрирование двузначной функции, двигаясь на участке от г, до ге по одной ветви, а на участке от гз до г, — по другой. Так как точками разветвления этой функции являются точки г, и гз, то комплексную плоскость этой функции можно рассматривать как один из листов римановой поверхности, разрезанной вдоль вещественной оси на участке от г, до гз, как показано на рис. 66.
Так как путь интегрирования охватывает здесь линию между точками разветвления, то непосредственное применение теории вы- $9.7) злдлчл кеплвгл в пввкмвнных действии — этол 325 четов оказывается невозможным. Однако его можно рассматривать как путь, окружающий точку со, и в соответствии с этим нужно будет изменить направление интегрирования на противоположное (т. е.
по холу часовой стрелки) "). Интегрируемая функция будет тогла однозначной функцией, заданной в области вне контура, охватыва>о>цего точки г, и г,, и мы сможем применить теорию вычетов. В этой области будут лишь две особые точки: начало коорлинат и бесконечность, и поэтому путь интегрирования нужно будет заменить на две окружности, по которым эти точки обходятся в направлении движения часовой стрелки. При вещественных г, меньших, чем г„ знак корня (9.68) должен быть отрицательным, в ч6м можно убедиться, исследуя повеление рассматриваемой функции вблизи г,.
Поэтому, записывая интегрируемую функцию в виде Г 2В С получим где  — вычет этой функции относительно начала координат. При вещественном г, большем, чем г,, знак рассматриваемого корня должен быть положительным, и поэтому вычет интегрируемой функции относительно точки со можно получить с помощью обычного приама замены переменной. Полагая л = г ', будем иметь — ~ —,, 'угЛ-+2Вл — Слет~а и, разлагая этот радикал в рял около точки л =- О, получаем В В ) А Интересующий нас интеграл равен сумме вычетов, умноженной на — 2яй следовательно, ./г =- 2ти(фг — С + В т Подставляя сюда значения коэффициентов Л, В, С, получаем (9.б9) .У„= — (.Уь + э' ) + км ф/ э) Для того чтобы представить себе зто яснее, можно воспользоваться стереографнческой проекцией н перейти от комплексной плоскости к сфере Римана.
Тогда началу координат плоскости г булет соответствовать южный полюс этой сферы, а точке сс> — ее северный полюс. (Вещественной осн будет соответствовать один нз меридианов.) Любал замкнутая кривая С делит поверхность этой сферы на две части, н поэтому кривую С можно рассматривать как охватывающую любую яз этих частей в зависимости от напра. аления движения вдоль С, )гут. 9 326 МЕТОД ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ Равенство (9.69) поаволяет найти Н как функцию переменных У, так как, разрешая его относительно Е, будем иметь 2,2луа2 (,у'у+.у'2+ У,у)2 (9. 70) Подставляя сюда сумму /„+.7, + У, нз равенства (9.70) и вычисляя затем период "., получаем: (9.71) что совпадает с третьим законом Кеплера, выражаемым равенством (3.54) (если учесть, что а = — Ф/2Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
