Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Выбор величин п; в качестве новых импульсов является в некоторой степени произвольным, так как вместо них можно было бы выбрать любые п независимых функций от аг Тогда вместо постоянных а; мы имели бы постоянные тч = Т'(а1 а.) (9.9) и главную функцию Гамильтона можно было бы записать как функцию дт, Ть и ~, не изменяя ничего в остальных рассуждениях. Выбор в качестве новых импульсов той или иной системы Тт часто оказывается более удобным, чем выбор постоянных, появляющихся при интегрировании уравнения Гамильтона †Яко.
Физический смысл функции Ю обнаруживается при вычислении ей полной производной по времени, которая равна и5 д5 д5 ственно пз того, по постоянные «1,..., «н являются незавнсимыин, нбо отсюда нытекьет, 11о якобпап (д« ' ''' дч„) ! д«5 дбут, „д ) =!д«,доу~ отличен от нуля.
Но твк как порядок дифференцирования 5 по «н но о не существенен, то якобиан также должен бы1ь отлпзен от нуля, что доказывает иезззнснмощь трзннений (9.6). [гл. 9 мвтод гамильтона в якови (11.16) откуда Ь'= [ !.Ф+сопз1. (!)Л 1) Принцип Гамильтона представляет собой известное утверждение относительно определенного интеграла ~ !.г!1, позволяющее получить решение задачи с помощью уравнений Лагранжа. Здесь же мы имеем аналогичный интеграл ~ !.г!Г, но неопределенный.
Следует, однако, заметить, что в практических расчйтах интеграл (9.11) не может оказаться полезным, так как интеграл ~ !. г!! может быть взят только тогда, когда да и р; известны как функции времени, т. е. когда получено решение рассматриваемой задачи *). ф 9.2. Задача о гармоническом осцилляторе. В качестве примера применения метода Гамильтона †Яко мы подробно рассмотрим задачу о гармоническом осцилляторе с одной степенью свободы. Гамильтонизн такой системы равен рз /~дт и= — '+- — '--, 2гв 2 дб где !г — коэффициент жйсткости.
Заменяя здесь р на — н приравдч нивая нулю новый гамильтониан этой системы, мы получаем следующее уравнение Гамильтона — Якоби (1). 12) Так как ! содержится здесь в явном виде только в последнем щене, то можно положить: (9.16) 5(д, и, 1) =%'(д, я) — яг, ") Тот факт, что интеграл ) ЕЖ совпадает с олной из функций 3, удовлетворяющих уравнению (9.3), был установлен Гамильтоном до того, как стало ясяо, что уравнение Гамильтона — Якоби даат возможность получить полное решение данной механической задачи, что было сделано Якоби, который установил, что канонические преобразования позволяют использовать любой полный интеграл уравнения Гачпльтона — Якоби для решения задачи о движения системы. (так как импульсы Рг не изменяются с изменением !). Но согласно равенствам (9.6) и (9.3) эту производную можно записать в виде 9 21 801 зада'ы о глгмоническом ос!гилля!Ога где а †постоянн (которая позже будет принята за преобрззованный импульс системы).
При таком выборе решения мы исключаем из (9.12) г и получаем Интегрируя (9.14), будем иметь !У'== Ъ. Д ~ г(О~„—" — 7-', У У (9.14) и следовательно, Я; = ф' игй ~ г(гу н — — ~7 — я(. 2 л (9.15) Полученный интеграл яв.чается довольно простым, однако вычислять его нецелесообразно, так как нам в дальнейшем потребуется не, функция о, а лишь ей частные производные. Для определения д мы согласно (9.7) будем иметь что можно легко проинтегрироватьс Ш / л / 4 —,9 =: .— ггг — агссоз4 Р' а 2ч' (9. 16) н, разрешив (9.!6) относительно д, найдем г/ = з/ — соз м (1+ 8), а =- гг / 2а /" а У л ьт (9.17) 1~) =--р,=-О=-г2 )/ откуда ачО лга я~ 2 (9.18) Следовательно, а является начальной полной энергией системы, а так как рассматриваемая система является консервативной, то энергия где а и 3 — постоянные интегрирования, Полученное равенство совпадает с обычной формулой для гармонического колебания.
Лля окончательного решения остаатся связать а и,у с начальными условиями. Предположим, что при 1=0 скорость рассматриваемой материальной точки равна нулю. Тогда в начальный момент времени будем иметь: д == и,, р =- р„=- О. Положив теперь в (9.15) г=--О, получим метод ЕАмильтонА — нкови ее должна вой время быть равна а. В сущности, это можно было бы установить и непосредственно, исходя из формулы (9.18) и равенства — +Н=-О, д5 дт которое с учетом (9.13) дайт Г!одставив теперь (9.!8) в (9.17), окончательно получим е) = до соя а (Е -+ ~9), откуда видно, что прн заданных начальных условиях ~~ дол>хне быть равно нулю, Следовательно, рассматриваемая функция о осуществляет переход к новому каноническому импульсу, совпадающему с полной энергией, и к координате, тождественно равной нулю (в силу принятых начальных условий).
С помощью равенства (9.18) главную функцию Гамильтона можно записать в виде жа д~т 5= — та Яеу~ — еузей7— что с учетом (9.17) даат*) о = лза ф з)пз аŠ— — еЕЕ. е ~( — 2! Вычисляя теперь функцию 7.(Е), будем иметь В2дз ВЗЕРВ2 В2азве 11 — — = — (з!пз аŠ— соа' аЕ) = тазе)'1 з)пз аŠ— — ), откуда видно, что 3(Е) совпадает с неопределйнным интегралом ~ 7.2ЕЕ, как и должно быть на основании общего соотношения (9.11). (Убедиться в этом тождестве можно лишь после того, как будет получено окончательное решение задачи.) $9.3.
Характеристическая функция Гамильтона. В случае простого гармонического колебания мы смогли найти полный интеграл уравнения Гамильтона †Яко. В основном это удалось сделать *) Квадратный корень нз о — е нужно брать здесь со знаком минус, 2 2 тзк кзк Г Ч з 2 Р Ч о тш а что согласно (9.17) равно — де 21п аЕ.
9 9.61 ХАРАКТВРИСТИЧВСКАЯ ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА 30'3 потому, что 5 можно было разбить на две части, одна из которых содержала только д, а другая — только Г. Мы сейчас увидим, что если старый гамилыпониан не содержит явно Г, то такое разделение всегда возможно. Если Н не является явной функцией с, то уравнение Гамильтона — Якоби принимает вид — д5+Н!'Г)р д5) =0. Первый член этого равенства содержит производную 5 по г, а вто- рой — производную 5 по о. Поэтому полный интеграл этого урав- нения можно искать в аиде 5(Г)п ио Г) = (Р(до а;) — и,б (9. 19) Подставляя это выражение в предыдугдее уравнение, получаем д ) (9.20) дй' дй' дй' дчГ ' Т дрГ дч;' (9.21) Хотя эти уравнения имеют сходство с уравнениями (9.6) и (9.7), однако для функции 5 мы имеем теперь условие, которое состоит в том, что Н должно равняться новому импульсу а,: Н(с1о ре) = и,.
Согласно (9.21) это условие приводит к следующему уравнению в частных производных относительно ЙУ: Н(цо ~~) =,. что представляет собой дифференциальное уравнение, уже не содержащее времени. Таким образом, одна из констант, входящих в 5, именно а„ равна постоянному значению гамитьтониана Н. (Н обычно является энергией, однако следует помнить, что это не всегда так; см. задачу 4 гл. 7.) Функция Ту', не зависящая от времени, введена нами просто как часть производящей функции 5 в случае, когда Н не содержит явно г. Мы сейчас увидим, что еа можно рассматривать как производящую функцию некоторого канонического преобразования, свойства которого отличны от свойств преобразования, осуществляемого функцией 5.
Рассмотрим каноническое преобразование, при котором новые импульсы являются константами движения аа причем а, равно Н. Если производящую функцию этого преобразования обозначить через В'(д, Р), то уравнения преобразования будут иметь вид: [гл. 9 304 метод гхлпшьтопх — якови Как можно видеть, оно не отличается от уравнения (9.20). Так как %' не содержит времени, то новый и старый гамильтонианы равны и, следовательно, К.= а,.
Функция [е' известна как характеристическая функция Гамильтона. Мы видим, что она осуществляет каноническое преобразование, в котором все новые координаты являются циклическими. В предыдущей главе мы говорили, что в случае постоянного Н такое преобразование, в сущности, целиком решает задачу, так как интегрирование новых уравнений движения становится при этом тривиальным. Канонические уравнения для Р, фактически снова подтверждают, что импульсы, соответствующие циклическим координатач, являются постоянными: Р ==. -- — =- О, Р. ==- а . дК д!',Лл (9.22з) Так как новый гамильтониан зависит только от одного из импульсов ап то УРавнениЯ движениЯ длЯ 1;л; пРимУт вид: длГ (1 при 1= 1 4= — = [0 при гчч1 откуда дВ' дл. (9.22Ь) Единственной координатой, которая отлична от постоянной, является здесь координата Я,.
Зависимость функции 1[г от старых координат дл определяется уравнением (9.20), которое является дифференциальным уравнением в частных производных н подобно уравнению Гамильтона — Якоби (9.3). Полный интеграл его опять будет содержать и независимых постоянных, одна иа которых опять будет аддитивной. Остальные постоянные и,, ..., а„могут вместе с и, быть приняты за новые постоянные импульсы. Полагая в первой половине уравнений (9.21) 1 = О, мы можем связать и постоянных а; с начальными значениями д; и рп Наконец, разрешая равенства (9.22Ь) относительно дп мы можем получить их как функции ип,'; и г, чем и заканчивается решение задачи. Следует заметить, что при 1 =,'- 1 уравнения (9.22Ь) не содержат времени. Поэтому оии позволяют выразить все координаты дг через какую-либо одну из них, для чего достаточно считать ее известной и разрешить эти уравнения (при л + 1) относительно остальных координат. Таким путем мы получим уравнения траектории движения (в пространстве конфигураций).
В случае, например, центральной силы мы получим г как функцию 0, не отыскивая г и 0 как функции времени. й 9.3) КАРАктьРистнчвскля Функция ГАмильтонА 305 В качестве новых постоянных импульсов можно брать не а, и константы полного интеграла для )ГУ, а какие-либо и независимых функций от аг Обозначая эти постоянные через То можно выразить 1Р'через дя и Тп В общем случае гамильтоннан будет зависеть более чем от одной из величин То и уравнения для ф будут иметь вид дН гт. = - — дт, где Уя — функции ТР В этом случае все новые координаты будут линейными функциями времени: (9.22') Физический смысл характеристической функции Ю подобен физическому смыслу функции 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
