Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Таким образом, и объвм Л' и число содержащихся в нвм точек остаются постоянными. Следовательно, интересуюшая нас плотность ллг О=— ,Л1 зхдхш! Если ансамбль систем находится в состоянии статистического равновесия, то число систем, находящихся в данном состоянии, не должно изменяться со временем, и, следовательно, плотность В в данной точке фазового пространства должна быть постоянной. Изменение В в данной точке пространства определяется частной дВ производной — . Поэтому условием статистического равновесия дг является равенстно дВ дг что согласно (8.84) эквивалентно равенству (В, Н) =О.
Следовательно, выбирая плотность В как функцию одного из интегралов движения, мы можем гарантировать статистическое равновесие, так как скобка Пуассона (В, П) будет тогда обращаться в нуль. Поэтому для консервативных систем плотность В может быть любой функцией энергии, так как при этом обязательно будет выполняться условие равновесия. Выбор этой функции определяет характеристики рассматриваемого ансамбля систем.
В случае. например, известного жикрокаконического ансамбля плотность В постоянна для всех систем, имеющих заданную энергию, и равна нулю для других систем. Высказанные выше соображения иллюстрируют эффективность применения скобок Пуассона в статистической механике. Дальнейшее изучение этого вопроса, однако, увело бы нас слишком далеко от основной темы, и поэтому мы ограничимся тем, что было здесь изложено. Задачи 1. Покажите непосредственно, что преобразование () =!ой( — э!яр), Р=г)с!яр, г! является каноническим, 2. При выводе уравнений преобразования, осуществляемого производя- щими функциями Рэ, гз или Рп мы пользовалнсь преобразованием Лежандра лишь для установления связи между производящими функциями. Показать, что описанное в главе 7 преобразование Лежандра позволяет получить уравнения (8.11), (8.14) и (8.17) непосредственно из уравнений (8.9).
3. Уравнения преобразования имеют внд: 1 !') = !ой(1+ уз соэ и), 1 ( 1 Р = 2 (1.(- у'з совр/дз з!яр. а) Исходя непосредственно из этих уравнений, покаэките, что если в и р являются каноническими переменными, го переменные Ц и Р также будут каноническими. Ы92 [гл. 8[ капоничпские ИРеовгазовхния (з) Покажите, что пронзвод~ицей функцией этого преобразования является функция Рз — — (ей — !)' !8Р.
4. При каких значениях а и 8 уравнения !',) = 9 соз 8р, Р=-4" з!пйр ннляются уравнениями канонического преобразования? Какова в этом случае производящая функция Рз? 5. Точка массы т движется в поле, потенциал которого зависит только от х и от г = угла+ уз. Найдите производящую функцию, осуществляющую переход к системе координат, равномерно вращающейся вокруг оси л со скоростью и.
Каков физический смысл нового гамнльтониана? Сравните полученный результат с результатом задачи 4 главы 7. Выведите новые канонические уравнения днпження и объясните физический смысл каждого члена этих уравнений. 6. Показать, что если ! рассматривать как каноническую переменную, то в случае, когда преобразование не влияет на масштаб времени, уравнения преобразования сводятся к обычным уравнениям (8.11). 7.
Показать, что если канонические переменные пе являются независпчымн, а гвязаны дополннтельнымн условиямп л (йп рп () = О, то капошшеские уравнения движения могут быть записаны в виде дН Ъ т . д?тт ° дН Ъч. дфл + э Дт,— ''4 да + э?,~, ' — Рт дРт .в' ( дРт — " ст4г ' в'Я' дрг в л где ),х — неопределйнные множители Лагранжа. Как раз такой случай имеет место, когда г' рассматриваетсн как каноническая переменная в соответствующих уравнениях Гамильтона, так как между раь! и другими каноническими переменными в эточ слтчае существует соотношение Н(йп..., ов и Рп ..., ря) -,'-р„.„= О. Модифицированный таким путем принцип Гамильтона показывает, что эгамильтонианэ рассматриваемых 2п + 2 переменных всегда равен нулю (см.
задачу 6 гл. 7). Показать, что получающиеся 2п + 2 уравнений Гамильтона можно свести прн этом к 2п обычным уравнениям Гамильтона плюс уравнение (7.19) и уравнение (Заметикк что хотя здесь имеется сходство с ковзряантяой релятивистской ~еорией уравнений Гамильтона, этя результаты получены нами, не выходя за пределы нерелятивнстской механики.) 8. Показать с помощью непосредственной подстановки в уравнение (8.8), что функция ~~ дДт осуществляет преобразование, меняющее местами координаты и импульсы.
Показать, что функция Ра = ~ р,Р, также осущестт вляет подобное преобразование, а преобразование, осуществляемое функцией Рз =' — ~з ()пвп является тождественным. В ЗАДАЧИ 293 9. Показать, что элементы функционального детерминанта д ((;)а, Ра) д(до рт) можно преобразовать так, что элементами детерминанта 7)э бчдут фундаментальные скобки Лагранжа. Доказать таким путйм, по Оз= [. (Из йнтегральиого инварианта l можно видеть, что О всегда равно +1.) 1О, Пользуясь равенствами (8.9), (8.11), (8.14), (8.17), докажите, что имеют место слелующие соотношения; ддг дРа ддт д(',)а дрг дРа дрг д(;)а дОа дР» ' дрл дР» ' д1')а д»~ ' дра ддг Покажите, что [Чг' Ру[ = (»у Рг) (Это можно использовать для независимого доказательства инвариантности фундаментальных скобок Пуассона.) Показать также, что детерминант обрат- ного преобразования (1), Р)-ь(д, р) равен 1), т.
е что Р т=Р. (Этот результат представляет новое доказательства равенства Рэ = 1,) 11. Говорят, что класс некоторых операций является группой, если выполняются следующие условия: 1) он содержит тождественный оператор; 2) наряду с каждым оператором в него входит и оператор, обратный дан- ному, и 3) произведение двух любых операторов из этого класса также входит в этот класс. Показать, что канонические преобразования системы с и степенями свободы образуют группу, 12. В втой главе было показано, что инварнаитпость фундаментальных скобок Пуассона представляет необходимое условие того, что преобразова- ние является каноническим. Можно, однако, показаты что это условие является и достаточным, Рассыотрите простейший случай, когда уравнения преобразования не содержат явно й и показ»иге, что если выполнено зто условие и если пере- менные д и р являются каноническими, то переменные 1',) и Р также будут удовлетворять некоторым уравнениям канонического типа.
Кроме того, покажите, что при этом Иг (Ц»,г =8=[ Рй», г [(')о Рз[»,г = гй) (Наиболее простой способ доказательства состоит в том, чтобы вырази1ь— д( дР и — через с~врыв каиояические переменные.) дт 13. Покажите, что если два первых витеграла уравнений движения содержат явно й то составленная из пнх скобка Пуассойа все равна является первым интегралом этих уравнений.
!4. а) Покажите, что если гачильтониаи )т' и функция Р являются дР первымн интегралами уравнений двпигепия, то — также будет первым дг интегралом. Ь) В качестве примера рассмотрите равномерное движение свободной точки массы т. Гамильтониан втой системы является, конечно, первым инте- гралом; кроме того, здесь имеется интеграл рг р=л — —. т дР Покажите путем непосредственно|о вы июления. что интеграл — совпадает д( здесь с [Н, р[. 294 КАНОНЕ'!ЕСКИЕ Г!РЕОЕРАЗОВАНИЯ (гл.
8) !5. Рассмотрите задачу о сферическом маятнике, пользуясь уравнениями Гамильтона и выбирая в качестве переменных дГ сферические полярные координаты. С помощью непосредственного вычисления найдиге в этих канонических переменных скобки Пуассона (ух ьк) НЛ йл) (йг ьх) и пока!ките, что онн имеют значения, опредечяемые равенством (8,80), Ответьте на вопрос, почему ра и рч можно принять здесь за канонические импульсы, несмотря на то, что они являются взаимно перпендикулярными составляющими кинетического момента.
Рекомендуемая литература Ногбйе!гп ппб Б. Р вез, Р!е Нашй!оп — ЛасоЫзсйе Тйеог!е бег Юупашйе т. Ч НапбйпсИ бег Рйузй, Эта статья имеет самое близкое отношение к вопросам, рассмотренным в настоящей главе, так как она посвящена главным образом каноническим преобразованиям и скобкам Пуассона. Она, несомненно, может служить одним из лучших пособий по этим вопросам. Несмотря на свой название, она, в сущности, содерегит теорию Гамильтона — Якоби (см. гл. 9 нашей книги) лишь в последних параграфах.
В. Т. )(Г й ! Г! а!с ег, Апа!уйса( Оупаш!сз. В главах !Х и Х этой книги содержится многое из того, что имеется у Нордхейма и Фюза, Эти вопросы рассматриваются Уиттекером главным образом с математической точки зрения. (Интересно провести сравнение этих двух способов изложения,) В книге рассматриваются только такие преобразования, для которых производящая функция не содержит явно времени.
М. В огп, Тйе Месйап!сз о! !Ве А!о!и. Канонические преобразования классической лГеханики играли всегда важную роль также и в квантовой механике. Это относится и к более старой квантовой теории, принадлежащей Борну, и к современной квантовой механике. Поэтому работы, посвяетбнные той илн другой форме квантовой механики, часто содержат подробное изложение нужных разделов классической механики. Одной из лучших книг такого рода является рекомендуемая книга Бориа (1924), написанная им до появления волновой механики.
В первой главе этой книги дается сжатое изложение теории канонических преобразований и приводится много иятересных физических примеров. Скобки Пуассона в этой книге не рассматриваются, так как в современной физике интерес к ним появился только с возникновением в квантовой механике теории Гейзенберга и Лирака. М. Вогп ипб Р. Юогб а и, В!егпепГаге ОвапГепшеснапбо В предисловии к своей книге, выпущенной в 1924 г., Борн указываа па недостатки существовавшей тогда квантовой теоряи и отмечал, что имеющиеся трудности, возможно, будут преодолены только после радикальной ревизии основных принципов квантовой механики. (Положение, подобное тому, которое сейчас имеется в теории ядерных сил.) Предсказание Бориа вскоре сбылось, и в 1929 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
