Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Однако в дальнейшем мы всюду будем предполагать, что время является инвариантом, не под- вергающимся преобразованию. э) Это немного папомииаег релятивистское равенство 778 — — !Н!с, где РА — ОбОбЩВНЯЫй ИМПУЛЬС, СООтВЕтСтВуЮщий коорпннате ЛА= Гсб Однако это сходство является чисто формальным и не указывает па какую-лнбо физи- ческую связь со спецнальпой теорией относнтельности, 266 1гл. 8 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОЕРАЗОВАНИЯ ф 8.2. Примеры канонических преобразований.
Рассмотрим теперь несколько простых, но важных примеров канонических преобразований, осуществляемых различными производящими функциями. Пусть производящая функция типа Р' имеет вид ~2 ~чг 2' (8.18) В этом случае мы нз уравнений (8.11) будем иметь: р; = — = Ро дР2 диг дР2 1ч'2 = дрг К =- Н. Следовательно, новые координаты будут в этом случае совпадать со старыми, т. е.
рассматриваемое преобразование будет тозкдественным. Более общим является преобразование, осуществляемое производящей функцией РЕ=ХЯЧ бв ')Рэ (8.19) где уз †произвольн функции указанных аргументов. В этом случае мы с помо:чью уравнений (8.11Ь) получим следующие выражения для новых координат ф: 4йг = д~' =Л(ч, с) (8 20) Следовательно, при таком виде производящей функции новые коор- динаты будут зависеть только от старых координат и от времени, но не от старых импульсов. Поэтому такое преобразование принад- лежит к числу точечных преобразований, определяемых уравн.- ниями (8.3). Но так как функции уг в равенстве (8.19) являю ся совершенно произвольными, то можно заключить, что все точеч сне ьреобразоеинил лвллютсл каноническими. Уравнение (8.11с) выра- жает новый гамильтониан таких преобразований через старый и через дрг производные — '. дг Ортогональные преобразование, подробно рассмотренные нами в главах 4 и 6, являются частными случаями точечных преобразо- ваний.
функции ~; выражаются в этом случае равенствами У, =Ог= ~„агаев, и поэтому ироизводящзя функция Рз имеет внд Ра = ~~~~ агвг(ЕР,. Г,А пгимзгы клноничвских пгвовглзовлний 267 Новые импульсы находятся в этом случае нз уравнений (8Д!а), которые будут иметь вид Рл = — =,7а аьтР; др, ч дда л' я (8.2!) Для того чтобы разрешить эти уравнения относительно Р,, достаточно умножить их на ад„ и просуммировать по Й: ~ а~лРл — — ~ УадьаезР; = ) йтдР; л гя 3 ( так как из условий ортогональностн следует, что .~~а~лаы=-8~~) ° л Таким образом, окончательно будем иметь Рз = ~~', агарь. в (8.22) Р,=Х дьФ,. Ф Согласно (8.9а) и (8,9Ь) уравнения преобразования бядут тогда иметь вид: дР„ ддз др) Р = — — =.— д, д9~ т. е. это преобразование меняет местами координаты и импульсы (новые координаты совпадают здесь со старыми импульсами, а новые импульсы не отличаются по существу от старых координат).
Этот простой пример может служить иллюстрацией равноправного положения обобщенных координат и обобщенных импульсов, в равной степени описывающих движение системы в уравнениях Гамильтона. Различие между ними практически состоит лишь в названии, так как мы видим, что, поменяв эти названия, мы получили всего лишь изменение знака. Поэтому мы можем отбросить наши первоначальные представления о д как о пространственной координате и о р как о произведении массы на скорость. В данном случае из уравнений дН дН 4= —, Рз= —— дРя ' дф~ непосредственно видно, что это преобразование является канониче- ским. Бели подставить адесь ()~ вместо Р, и — Р; вместо ф, то этн уравнения сохранят каноническую форму. Отсюда видно, что импульсы здесь подвергаются тому же ортогональному преобразованию, что и координаты (как и следовало ожидать заранее).
Интересное преобразование получается при производящей функции Р,(д, ф Р), равной (гл. 8 268 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В качестве последнего примера рассмотрим производящую д',, кцию Л1 Р = — ек)ас(РЯ, 1— (8,23) где т и ы — постоянные, смысл которых будет выяснен позже. При такой производящей функции уравнения (8.9а) принимают вид: и = — = вген7С18.Я, дР1 дд дР1 пгвдз Р =- — — = д1,) 21!а1 1',> ' (8.24) (8.26) Эти уравнения можно было бы решить относительно 1," и Р, выразив эти величины через д и р, но для наших целей более удобно посту- пить наоборот: выразить старые переменные через новые. Из урав- нения (8.25) имеем Г2Р 17 =- ~~ — згпЯ.
тм (8. 26) Подставив это выражение в равенство (8.24), получим р =''11' 2ттР соз Я. (8.27) Так как производящая функция (8.23) ие содержи г явным образом 1, то новый гамильтошгаи К равен старому гамильтопиану Н, и поэтому нам остаатся только выразить Н через Я и Р. Пусть константы пг и ы обозначают массу и собственную частоту линейного гармонического осциллятора. Потенциальная энергия его, как известно, равна ада 2 где д — коэффициент восстанавливающей силы.
Поэтому гамильтопнан этого осциллятора имеет вид Н = — + — =- — + —, 111ез лаа рз /гф 2 2 21и 2 или, заменяя д1и на гчз, получаем в в!юа Н = — + — 171. 2т 2 (8.28) Таким ооразом, этот гамильтопиан является циклическим относительно гз, и поэтому импульс Р должен быть величиной постоянной, Подставив сюда правые части уравнений (8.26) и (8.27), мы получим следующее выражение гамильтониана Н через новые переменные: Н = — тР созе 1)+ оР з1пв ь1=-. тР.
(8.29) 8.3! ннтю'глльныд пнвлгилнты пглнклге 289 Пз равенства (8.29) видно, что он равен полной (постоянной) энергии, деленной на ы: Р= —. Е Уравнение, определяющее с2, приннмаег теперь следующий про- стой вид: дН О === — =-: ы, дР Решая его, находим О.== ы! )-я, где и — постоянная интегрирования, определяемая начальными условпямн.
Из равенства (8.2б) получаем следуюп!ую зазнсимость д от!: 2Е д =: —. ~г — з!и (ыт + я), (8.30) Эта формула дает хорошо известное решение задачи о гармоническом осцилляторе. Может показаться, что применение канонического преобразования к задаче о гармоническом осцилляторе подобно «стрельбе из пушки по воробьям». Однако мы имеем здесь простой пример того, как посредством канонических преобразований можно сделать все координаты циклическими.
Рассмотрение общих схем решения механических задач с помошью этого метода мы отложим до следующей главы, а сейчас перейдем к изложению общих свойств канонических преобразований. у =ЦХ ()гпрг 3 (8.3!) ф 8.8. Интегральные инварианты Пуанкаре. Ианоническими преобразованиями мы называем такие преобразования, при которых уравнения Гамильтона сохраняют свою форму.
Однако при канонических преобразованиях существуют и другие инварианты, в частности интегральные иняарианты Пуанкаре. К рассмотрению их мы сейчас н перейдзм. Подобно тому как мы ввели пространство конфигураций, мы введйм сейчас так называемое фазовое пространство, под которым будем понимать 2л-мерное декартово пространство с координатами Ч~ ° Ч„ ры ., !т». Тогда каждому состоянию данной механической системы будет отвечать определйнная точка этого пространства. Эту точку можно рассматривать как изображение системы, отражающее не только конфигурацию этой системы, но и еб импульсы. Теперь мы можем перейти к формулировке теоремы Пуанкаре.
Эта теорема гласит, что [гл. М '270 Канонические пгвовглзовлння дзт д(ии рт) ди д(и, о) дог ! до двт ди дР; де и имеет внд йу. г(р; = — . (пи ~') гЕи гЕи. г)(и о) (8.33) Поэтому равенство О ~~„', г(р; Ирт =- Д ~ ~гй;) . дРл, ь выражающее утверждение, что интеграл .У, не изменяется при кано- нических преобразованиях, можно записать в виде ~' альта~ д(яо Рт) и. й ) ~ ~~ дЩл, Ра) 3 г я ь Но так как область интегрирования является здесь произвольной, то эти интегралы могут быть равны только в том случае, когда выполняется равенство у д(ио Рд у д(9в, Рл) ы' д (и, о) ~й д (и, о) (8.34) С.чедовательно, доказательство инвариантности интеграла У, сводится к доказательстну инварнантности суммы якобианов. Рассмотрим каноническое преобразование, получаемое с помощью производящей функции типа Р (и, Р, г) *). В этом случае из уравнений (8.11а) мы будем иметь *) Это требование не является обязательным, так как рассматриваемое доказательство можно провести н в случае производящей функции другого типа, в чбм читатель моькет легко убедиться самостоятельно.
является инвариантом любого канонического преобразования. Симнол 5 означает здесь произвольную двумерную поверхность в фазовом пространстве. Переходя к доказательству этой теоремы, прежде всего заметим, что положение точки на двумерной поверхности определяется двумя какими-либо параметрами. Пусть на поверхности Ю такими параметРами бУдУт и и о. Тогда бУдем иметь: дт = дт(и, о), Р; =Р,(и, о).
Как известно, связь между элементом плошади Ыбтдр; и элементом плогцааи Фиг(т~ определяется якобианом М 3) инте!'Рлльныв ннаагиантс! пуанкА!'е 2'с! Но производная — зависит от и только через аргументы с)а и Рл дна д4с и поэтому можно написать дРс а,а дара дРа + ~~ даРа дча ди ьаа дч; дРл ди Ьа) дсас дс)а ди а а а также аналогичное выражение для частной производной — '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
