Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Может показаться, что в соответствии с приещипом Гамильтона первое слагаемое правой части эгого равенства должно обращаться в нуль. Это, однако, неверно, так как принцип Гамильтона требует, чтобы в конечных точках траектории обращались в нуль вариации од1, тогда как в данном случае в этих точках обращаются в нуль вариации Д17г Однако вычисление вариации этого интеграла можно провести без особого труда. Согласно определению 3-вариации имеем 252 (гл. 7 гглвпепия глмильтонл равенством (7.33), получим г, — ( — бой — —. ' (, -) Г '~ У! -=- д! дб дГ лдлг дд, Воспользовавшись теперь ~ !.г(! = ч причэм в конечных точках траектории все «п7; обращаются в нуль, а б!+ О, так как время цвплкения пс ячтяетсл постоянным.
Поэтому будем иметь е ~ !. г(! = — -- ~. рд7; у()' (7. 37) и Учитывая теперь равенства (7.36) и (7.37), получим полную вариацию действия ЬА =-( — «',Р67, +!. -- — Н' М ~,", г При этих условиях принцип наименьшего действия приобретает сле- дующий вид: (7.38) Пусть, далее, на эту систелзу не действуют активные силы, как, например, в случае свободного твердого тела.
Тогда Т булет оставаться постоянным, и принцип наименьшего лействия примет вид Л ((а — (з) = — О. (7.39) Согласно равенству (7.39) траектория системы в пространстве конфигураций такова, что, лвигаясь по этой траектории с заданной энергией, система проходит путь межлу двумя еЕ точками в кратчай- «) Принцип наименьшего действия обычно связывают с именем Мопертзои. Однако высказанный им в 1747 г.
принцип имел туманную теологическузо форму и вряд ля может в настоящее время рассматриваться как принцип механики. Строгой формулировкой и локззательством этого принципа мы обязаны Эйлеру и 71агранжу. что согласно определению Н равно нулю. Таким образом, принцип наименьшего действия доказан '). Принципу наименьшего действия можно придать различные формы. Рассмотрим, например, случай, когда уравнения (1.36) не содержат врелзя явным образом. Тогда согласно равенству (2.56) будем иметь (в нерелятивистской лзеханике): ъм л !ля; =2!.
пгиппип наименьшего действия шее время (точнее, время этого движения является экстремальным). В данном случае принцип наименьшего действия напоминает известный принцип Ферма в геометрической оптике. Согласно этому принципу световой луч всегда выбирает тот путь, при котором время движения от данной точки А к данной точке В является наименьшим.
Нам еще представится случай вернуться к этим соображениям в главе 9, где будет рассматриваться связь л~ежду методом Гамильтона и геометрической оптикой. Если система состоит из .одной точки, то ее кинетическая энергия равна 1 я 1 1дгй Т== —,;шов =-- — и ~ — ~, 2 1Ж' откуда Это равенство выражает Н ~срез !лину элемента траектории точки. В рассматриваемом случае принцип наименьшего действия в форме (7.38) можно записать в виде Ь ~ 2Тг7~=:й ~ ~' огл7г(я=..Ь ~ 'и'2т(Н- — !')г(а=0, (7.40) где вместо у'1гй 13 мы пишем гЬ. Принцип наименьшего действия в форме (7.40) можно распространить н на систему, состоящую более чем из одной точки, обобщая понятие длины дуги.
Пусть такаЯ система описываетси обобпгйнными кооРдинатами до пРичем согласно поставленному условию уравнения, описывающие зависимость г от гуп пе содеР~кат вРемени. Тогда кинетическаЯ энеРгиЯ системы будет однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей !см. уравнение (!.62)!, п моя<но будет написать Т = -,„'-,',.„.д,д,, ;ььа или т= —, 7м 1 ът лч А'~д гл 'л)*„ (7. 41) ьл (мы пишем тш вместо 2ап).
Если ввести теперь дифференциал г!р с помощью равенства (ьр) = л, шя г(Ч$ дЧл' (7.42) то кинетическая энергия Т примет вид (7.43) откуда г(! =.= ЗГ2 Т (гл. 7 254 УРАВНЕНИЯ ГАМНЛЬ!ОНА Если воспользоваться этим выражением для йг, то принцип наименьшего действия можно будет записать в виде 7й(=й( 177йр= — б, или окончательно (7.44) Полученное равенство имеет такую же форму, как равенство (7.40), относящееся к одной материальной точке. Принцип, выражаемый уравнением (7.44), час~о называют принципом наилгеньаего действия в форме Яьоби. Введенный нами дифференциал йр имеет формальный характер, однако он приводит к весьма изящной интерпретации, которую мы сейчас рассмотрим. В дифференциальной геометрии равенство типа (7.42) является наиболее общим равенством, определяюгцим элемент длины кривой в л-мерном пространстве с координатами ры ..., он.
При такой интерпретации коэффициенты тгв будут коэффициентами так называемой фундамента~гьной лгеглричесиой форлгы. Если, например, ры будут декартовыми координатами обьшного пространства, то эта форма будет очень простой и коэффициенты ее будут равны тгл = дии что ясно из сравнения формулы (йв)г =- (йх)г+ (йу)г+ (йе)а с равенством (7.42). Вообще для любых криволинейных ортогональных координат матрица коэффициентов тгь будет диагональной (но диагональные элементы ей не обязательно будут равны, как в случае декартовых координат). В случае, например, цилиндрических координат элемент длины будет равен (дв)г= (дг) +гэ(а0)г м(йв)г, так что отличными от нуля коэффициентами здесь будут лишь т,т, ты и тл„равные т — 1 тм гг гн 1 Если же криволинейные координаты не являются ортогональными, то матрица коэффициентов тса не будет диагональной.
Таким образом, дифференциал др можно интерпретировать как длину элемента траектории в пространстве конфигураций с коор- э 7.51 пРинцип нАименьшеГО действия динатами д„..., >7„. В обн>ем случае они не являются декартовыми, а представляют координаты пространства, метрика которого определяется коэффициентами ты из равенства (7.41).
Тогда у~2Т будет равняться скорости, с которой изображающая точка движется вдоль своей траектории в пространстве конфигураций. Если на систему не действуют силы, и поэтому Т постоянно, то будет постоянной н скорость движения этой точки, нз чего можно сделать вывод, что она будет двигаться вдоль кривой наименьшей длины, т. е, вдоль одной из геодезических линий пространства конфигураций. Следует подчеркнуть, по в принципе наименьшего действия в форме Якоби рассматривается траектория изобра>кающей точки, а не закон ей движения по этой траектории.
Это видно из того, что уравнение (7.44) содержит элемент траектории др и не содеРжит вРемени >, так как Н = сопзц а У зависит только от >)н Поэтому из принципа наименьшего действия в форме Якоби можно получить дифференциальные уравнения траектории изображающей точки. Это лучше всего сделать посретством введения какого-либо параметра, например расстояния вдоль траектории. Тогда уравнение (7.44) можно будет записать в виде 0', СА (7.45) где Π— указанный параметр (его не следует смешивать со временем 1; он должен быть геометрической характеристикой, определяющей положение точки на траектории). Если выбрать его так, чтобы он не изменялся при смещениях точек траектории во время б-вариации, то по отношению к нему б-вариация будет подобна О-вариации, Тогда из уравнения (7.45) можно будет получить дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа, определяю.цие траекторию изображающей точки, Если производные — обозначить через >7., то >Г>7> Р ла 4' этн уравнения будут иметь вид >Г Ю ДГ.
— — — — =О, Лб (г>д'/ дЧ> (7. 46) где Г(дн >)н О, О) — функция, стоящая под знаком интеграла (7.45). Если рассматриваемая система состоит всего из одной точки, положение которой определяется координатами (>о то уравнения (7.46) будут определять ее траекторию в собственном смысле этого слова (а не траекторию изображающей точки в пространстве конфигураций).
Координать> д; могут быть при этом и не декартовыми, а движение точки может быть ограничено связями, заставляющими ев 1гл. 7) РРАвнения РАмильтонА двигаться не в трЕх измерениях, а в двух, т. е. по некоторой поверхности. Тогда еЕ положение на этой поверхности будет определяться координатами >7> и !7Я, а йр будет, очевидно, пропорционально элементу длины еЕ траектории. Уравнения (7.46) будут тогда определять траенторию этой точки на поверхности, по которой она движется. В том частном случае, когда на точку не действуют никакие активные силы, еЕ траекторией будет одна из геодезических линий этой поверхности (как и в случае траектории в пространстве конфигураций). Если такой поверхностью будет, например, сфера, то точка будет двигаться по большому кругу, так как он является геодезической линией сферы.
Число подобных вариационных принципов классической механики весьма велико. Так, например, из принципа наименьшего действия непосредственно вытекает принцип Герца наименьшей кривизны, Согласно этому принципу точка, на которую не действуют активные силы, движется вдоль траектории наименьшей кривизны, что можно получить непосредственно из принципа Якоби, так как согласно этому принципу траекторией такой точки должна быть геодезическая линия, являя>щаяся, как известно, линией наименьшей кривизны.
Мы уи<е говорили, что варнационные принципы не вносят в механику нового физического содержания и редко упрощают практическое решение той или иной механической задачи. Их главное достоинство состоит в том, что они служат отправными точками новых теоретических концепций в классической механике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
