Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Глава 7 этой книги посвящена главным образом специальной теории относительности. В ней, в частности, рассматриваются некоторые вопросы, подготавливающие создание этой теории, а также физические интерпретации некоторых ее следствий. Четырехмерная концепция развита здесь не очень полно. А)Ь е гг Е)п зге1п, Тйе Меап)пп о1 йе1аг)т)!ув) Книга не является популярной. Специальной теории относительности здесь посвящено немного более одной трети всего объема, тем ие менее по этой теме здесь содержится очень много различных сиедений. Для чтения этой книги нужна хорошая подготовка по основам электродинамики.
к. В е с 1с е г, Тйеог)е бег Е)е1сггглйаг, т. Н. Многие немецкие работы по электродинампке содер;кат подробное изло- жение специальной теории относительности. Наилучшая из них, по-видимому, содержится в этом томе Абрагама и Беккера. Книга написана хорошим сти- лем и легко читается. Хотя главное внимание в этой книге уделяется во- просам злектромагнетизма, однако Релятивистская механика изложена здесь тоже довольно полно. Специальной теории относительности в этой книге посвящается более ста страниц, на которых полностью изложена физическая и математическая сторона предмета, э) Имеется русский перевотт А.
Э й н ш т е й н, Сущность теории относительности, ИЛ, 1966. ГЛАВА 7 УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА В первых двух главах этой книги мы всесторонне рассмотрели уравнения Лагранжа, а позднее- — ряд приложений этих уравнений. В этой главе мы продолжим рззвитие формальных методов механики и получим уравнения движения, известные под названием уравнений Гамильтона. Правда, к физической стороне вопроса ничего не прибавится, однако мы получим новый (более сильный) метод исследования механических систем.
В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваемые системы являются голономными, а действуюшие на них силы обладают потенциалами, зависяшими от положения или от скорости (см. З 1.5). ф 7.1. Преобразования Лежандра и уравнения Гамильтона. Система с и степенями свободы описывается посредством следуюшнх и уравнений Лагранжа: (7. 1) Так как они являются уравнениями второго порядка, то для однозначного определения движения системы необходимо задать начальные значения всех и координат ал и всех и производных ип В этом смысле координаты а, и скорости д; образуют полную систему 2п независимых переменных, необходимых для описания движения системы.
Поэтому метод Лагранжа (в нерелятивистской механике) может рассматриваться как метод описания системы посредством обобщенных координат и скоростей. В методе, к которому л~ы сейчас переходим, независимыми переложенными будут обобщеннлле координаты а; и обобщенные импульсы рг, определяемые равенствами д7. (ан а,, г) Р = (7.2) (см. равенства (2.41)Ь Наилучший способ перехода от переменных (и, д, 1) к переменным (и, р, () состоит в применении математической процедуры, известной под названием преобразования Лежандра 3 70) пгвовглзовлния лвжлндгл и звлвнвння гамильтона 237 (которое применяется как раз для таких случаев изменения переменных). Рассмотрим какую-либо функцию 7(х, у).
Дифференциал ей имеет вид д7 = — и дх -+ о ду, (7,3) где д~ д1 дх' ду (7.4) (7.6) Тогда дифференциал ее будет равен дд= ду — и дх — х ди или согласно (7.3) дд = о г7у — х г(и, где величины х и о являются теперь функциями переменных и и у. Они определяются равенствами х= — — ", (7.6) дч ' дд ду которые подобны по форме равенствам (7.4). Преобразование Лежандра, построенное указанным способом, часто применяется в термодинамике.
Например, энтальпия Л' есть функция энтропии 5 и давления Р, причйм дХ дХ д5 ' дР—,= Т, — =-К, и поэтому г(Х= Тг75 +-Чг7Р, где Т вЂ” температура, а ьг — объвм. Понятие энтальпии оказывается удобным при рассмотрении изэнтропических и изобарических процессов. В этом случае целесообразно пользоваться термодинамической функцией независимых переменных Т и Р, Если с этой целью воспользоватьса преобразованием Лежандра, то такая функция будет иметь вид 0 = Х вЂ” Т5 а дифференциал ее будет равен а'0 = — 5 г7Т+ )гг7Р. (7.7) Функция 0 известна под названием функции Гиббса.
ПерейдЕм теперь переменным и, у к дифференциалам равенством от независимых переменных х,у к независимым и, следовательно, от дифференциалов пх, г(у г(и, ау. Пусть функция я от и н у определяется 238 [гл. Т УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА с(о= ~ 1г!с!р!+ ~~) рег7г7! — ~ —. А!7! — ~ — !7!7! — — а!1, (ТЛ0) -в дГ. ° -в дг. дй причт члены этого равенства, содержащие Щ, взаимно сократятся, так как согласно определению обобщЕнных импульсов имеем Кроме того, согласно уравнениям Лагранжа дг. д дч, и поэтому уравнение (7.10) принимает вид = ~1' [! !'! байр! Ч! де" (7.! 1) Сравнивая теперь (7.9) с (7.11), мы получаем следующие 2в+-1 равенств, аналогичных равенствам (7.6): (7.12) дб дН д! де ' Уравнения (7.12) называются каноническими уравнениями Гамильтона; они представляют систему 2в уравнений первого порядка, эквивалентную уравнениям Лагранжа.
Для того чтобы составить эти уравнения для заданной механической системы, нужно образо- Переход от переменных (!7, !7, г) к переменным (!7, р, 1) отличается от преобразования (7.3) — (7.5) лишь тем, что на этот раз преобразуется не одна переменная, а несколько. Вместо лагранжиана 7.
мы теперь будем иметь дело с функцией 77(р 7 Г)=Хг7ер! — 7-Ч !7 4) (7.8) построенной по аналогии с функцией (7.5), умноженной на — 1. Функцию П называют гамильтонианом. Это — та же самая функция Н, которая фигурировала в правой части равенства (2.50). Считая ей функцией переменных р, д и 1, будем иметь (7. 9) Но согласно (7.8) можно написать й 7.21 ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ И МЕТОД РАУСА 239 вать лагранжиан 7.=7.(д, д, 1) и, вычислив с ломаные (7.2) обобщенные импульсы, составить гамильтониан (7.8) как функцию ры дм г.
Подставив затем найденное Н в (7,!2), мы получим уравнения движения данной системы. ф 7.2. Циклические координаты и метод Рауса. Уравнения Гамильтона особенно удобны при исследовании систем, содержащих циклические координаты. Согласно определению, данному в й 2.6, циклической координатой ду называется координата, которая не входит в лагранм<иан, и отсюда, как мы знаем, следует (на основании уравнений Лагранжа), что обобщенный импульс р, соответствующий этой координате, является постоянным.
Но если р будет дН равно нулю, то согласно уравнениям (7.12) производная — также дл. будет равна нулю. Следовательно, циклическая координата будет отсутствовать не только в лагранжиане, но и в гамильтониане*). Пусть теперь, наоборот, будет известно, что некоторая координата ду не входит в Н. Тогда из (7.12) можно будет сделать вывод, что соответствующий обобщенный импульс р~ будет оставаться постоянным. Таким образом, между гамильтонианом Н и лагранжианом 7.
здесь имеется полное сходство. Однако между ними имеется и существенная разница. Если какая-нибудь координата, например д„, является циклической, то лагранжиан имеет вид 7-=7.(Ч ° ° Ч - Ч ° ° Ч г) т. е. содержит все обобщенные скорости. Поэтому, несмотря на наличие циклической координаты, нам всй же приходится решать задачу с и степенями свободы. В противоположность этому при описании системы с помощью гамильтониана циклическая координата 7„действительно может быть названа еигнорируемой», так как при этом импульс р„будет равен некоторой постоянной а, и поэтому Н будет иметь вид Н=Н() ° . 7, ры р. * Г) Таким образом, гамильтониан будет в этол» случае содержать только и — 1 координат, и их можно будет определить, полностью игнорируя циклическую координату.
(Эта координата проявляет себя лишь в виде постоянной интегрирования а, которая определяется начальными условиями.) После того как это будет сделано, можно ь) Этот вывод следует также и вз уравнения (7.8), согласно которому Н отличается от — Л только на сумму ж Р,д,, не содержащую л; явным образом. 240 (гл. 7 УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА будет найти и циклическую координату Ч„ как функцию времени, для чего достаточно будет проинтегрировать уравнение дН Чв д Возможен еще один метод исключения циклических координат из уравнений Лагранжа — это так называемый метод Рауса. В сущности это такой же метод перехода от переменных Ч, Ч к переменным Ч, р, но выполняемый лишь для тех координат, которые являются циклическими.
При этом получаются уравнения движения, которые для циклических координат подобны уравнениям Гамильтона, а для остальных †уравнени Лагранжа. Обозначим циклические кооРдинаты чеРез Ч„ ..., Чв и введем функцию Й, определяемую равенством А((Ч„..., Ч„, Р,, ..., Рв, !ув.1, ..., Чв О= — ~~Р!Ч! — (, (7.14) Эта функция называется функцией Рауса *).
Дифференциал еб равен в и )т „у дб „уды „дЕ ! 1 в=в.! в=! и отсюда можно сделать вывод, что имеют место следующие равен- ства: д — — — Ч,, д— — — — Р! (! = 1, ..., У) (7.16) дрв! бр! дР; " д!Н дР др. дР дб — — — — — — (1 = з + 1, ..., а). (7.16) дЧ, — дЧ, Уравнения (7.!5) относятся к координатам Ч„..., Ч, и имеют вид уравнений Гамильтона, в которых функция )с играет роль гамильтониана. В то же время уравнения (7.16) показывают, что координаты Ч, „..., Ч„удовлетворяют уравнениям —,1 —.1 — — =-0 (! =а+ 1, ..., а), !т (дпв! дтт дт ' дЧв дЧ! имеющим вид уравнений Лагранжа, в которых Й играет роль лагранжиана.
Воспользуемся теперь циклическим характером координат Ч„ ..., Чв. Так как ни одна из этих кооРдинат не входит в функцию С, то они, очевидно, не войдут и в функцию Я. Кроме в) Функция (7Д4) отличается от обычно определяемой функции Рауса. Это сделано для того, чтобы функция Рауса была подобна функции (7.8), определяющей Н. $ 7.3] теОРемы О сохРАнении и Физический смысл гАмильтониАнА 2ч1 того, обобц!Енные импульсы р„ ..., р, будут постоянны (как соответствующие циклическим координатам). Поэтому их можно заменить постоянными ао ., Н„определяемыми из начальных условий, и тогда функция Рауса будет иметь вид тг (Чзз-з ° г7з Чззз Чз "г "з г)* ф 7.3. Теоремы о сохранении и физический смысл гамильтониана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
