Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Важным примером 4-вектора является вектор, определяющий положение точки в пространстве Минковского. Составляющие этого вектора равны х,, х,, хз х,, и во избежание путаницы с обычными векторами мы для обозначения 4-вектора будем пользоваться только одной из его составляющих; поэтому символ х, будет означать у нас вектор, составляющие которого равны х,, х,, хз х,. Кроме того, мы часто будем пользоваться следующим условным способом для обозначения суммирования: если в каком-нибудь члене будут нстречаться одинаково обозначенные индексы, то это будет означать, что указанный член суммируется по всем значениям этого индекса (даже если знак суммы отсутствует). Например, символ х х„ мы будем употреблять для суммы У хг. , =1 Когда материальная точка движется в обычном трйхмерном пространстве, то соответствующая ей точка в пространстве Минковского описывает траекторию, известную под названием мировой ф 6.3) 2! 7 козлгилптная ФОРМА ктлзпении линии.
4-вектор дхе, очевидно, есть вектор бесконечно малого перемещения втоль этой линии. Умно>низ вектор Нхк скалярно на самого себя и разделив полученное число на — с', мы можем образовать мировой скаляр (и, следовательно, инвариант .'1оренца). Обозначив его через Ите, будем иметь (г)т)е = — — —; У (г1х )'. г'-' к (6.21) Физический смысл величины бт станет ясным, если вычислить сумму (6.21) в системе, относительно которой рассматриваемая точка в данный момент неподвижна. В этой системе мы будем иметь деле с преобразованным вектором г(х', составляющие которого равнь> (О, О, О, (сг(г'). Следовательно, инвариант е(те равен (бт)е = --.— ~~ (г)х') =-(г>'г')е.
з И )е =- — — Нбх)е+ (МЯ+ Иг)е — с' ЫМ '="к" — И( — ":)'+(-.")'+('-")Ч или что эквивалентно равенству = гй. 1/'1 Зк (6. 22)> Равенство (6,22) вытекает также и из формулы (6.19), если интерпретировать как интервал времени, измеряемый по часам, связанным с точкой, а г)г' — как соответствующий интервал, измеряемый наблюдателем, движущимся относительно этой точки.
Так как одна из составляющих 4-вектора является мнимой, то квадрат его не обязательно будет числом положительным. Те 4-векторы, квадраты которых неотрицательны, называются пространственно-подобны ни, а те, квадраты которых имеют отрицательную величину, называются временно-подобными векторами. Заметим, что принадлежность вектора к тому или иному из этих классов сохраняется при любом преобразовании Лоренца, так как величина '.) Пол ек мы понимаем положительный корень из правей части (6Л!) Таким образом, Ит есть интервал времени, изл>еренный по часам, движущимся вместе с рассматриваемой точкой *); поэтому его можно назвать собственным временем этой материальной точки. Связь между бт и интервалом времени в данной системе Лоренца можно получит~, раскрывая равенство (6.21). Проделав это, будем иметь 218 СПЕЦИЛЛЬНЛЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [г.т.
6 вектора является мировым скаляром. Названия пространственно-подобный и временно-подобный связаны с тем, что квадрат обычного вектора трехмерного пространства является величиной положительной. Кроме того, пространственно-подобный 4-вектор всегда можно так преобразовать, чтобы его четвертая составляющая обратилась в нуль. Разность векторов, определяющих две точки пространства Минковского, может быть либо пространственно-подобной, либо временно-подобнои. Обозначая эту разность через Хго будем иметь: Х,=.
тде индексы 1 и 2 обозначают первую и вторую из рассматриваемых точек. Но величина вектора Х„равна Х„Х,, = ~ г, — гя 1' — сг (~, — Тг)з. Следовательно, вектор Х будет пространственно-подобным, если ) ег — хг !' )~ с' ((, — (г)', и временно-подобньщ, если (г, — гя1' < с (~, — гг)'. Отсюда видно, что если вектор Х является временно-подобным, то рассматриваемые точки пространства Минковского можно соединить световым сигналом; если же он является пространственно-подобным вектором, то их нельзя связать волной, распространяющейся со скоростью с. Выберем оси х,х,ха таким образом, чтобы разность Р, — г была направлена вдоль оси ха.
Тогда 1г, — гг( будет равно г,— геп Рассмотрим теперь преобразование Лоренца, соответствующее скорости О, направленной вдоль оси г. Четвертая составляющая вектора Х будет при этом преобразовываться согласно равенству с (г, — га) — — (», — гя) с (Т1 — Тг) = Тем. последнее уравнение (6.17)1. Отсюда видно, что если вектор Ха ввляется1пространственно-подобным и, следовательно, с (г, — гг) ( г, — га, г г ц г то можно найти такую скорость О ч с, что (с((,— 1а)— = Х, будет равно нулю (как указывалось выше). Этот результат можно интер- .претировать следующим образом.
Точку пространства Минковского можно рассматривать как определяюьцую некоторое событие, про- исходящее в данный момент Т в данной точке г. Короче можно ска- зать, что точка пространства Минковского описывает событие. По- .этому полученный результат можно сформулировать следуюьцим 219 9 6.3~ КОВАРИАНТИАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ образом: если расстояние между двумя событиями является пространственно-подобным, то можно найти такую оистему Лоренца, в которой эти события происходят одновременно.
Одним из примеров 4-вектора может служить так называемый вектор 4-скорости. Он по определению равен дх, и., = — ', ле (6.23) где х., — 4-вектор данной материальной точки, а . — ее собственное время. Пространственная и временная составляюгдие вектора и., равны: (6.24) )Г1 Яг ~'1 — '; ' Величина 4-скорости является постоянной, так как сумма а„и„равна ог сг ага, = = — с. г яг 1 „г (6.25) Отсюда видно, что вектор и„ также является временно-подобным. В качестве иллюстрации ковариантной четырехмерной формулировки физического закона рассмотрим волновое уравнение 1 дгд ргф — —,— '=О, сг дгг (6.26) где ф — некоторый скаляр. Введйм теперь по аналогии с трехкомпонентным оператором 7 четырехкомпонентныд дифференциальный оператор (), понимая под ним векторный оператор, составляюцгие которого равны д д д д дхг' дхг' дхг' дхг' Легко показать, что вектор (1 преобразуется по правилам преобразования 4-векторов, Действительно, согласно правилам дифференцирования частная производная по преобразованной координате х' равна д %чдх., д дх'„ дх дх, (6.27) Следовательно, дх,, дх' Но на основании формул обратного преобразования (от х', к х„) имеем 220 специальная теОРия относительности !гл, 6 и поэтому формула (6.27) принимает вид д ъз д д ' зЬЯ '"'дх, ' х, чго совпадает с формулой для преобразования составляющих 4-вектора.
Скалярное произведение вектора Д на самого себя мы будем обозначать через Д'. Это есть так называемый оператор Даламбери. Из предыдущего следует, что он является инвариантным скалярным оператором. В развернутой форме он имеет вид ъ ~ дз дз дз дз ! дз Сравнивая теперь полученное выражение с левой частью уравнения (6.26), мы видим, что это уравнение можно записать в виде Дзф = О. (6.28) Отсюда следует, что если ф есть истинный скаляр пространства Минковского, то волновое уравнение (6.26) будет инвариантно относительно преобразований Лоренца. $ 6.4.
Уравнение движения и уравнение энергии в релятивистской механике. Мы видели, что уравнения движения Ньютона являются инвариантными относительно преобразования Галилея, но не являются инвариантными относительно преобразований Лоренца. Поэтому их нужно соответствующим образом обобщить и получить закон, удовлетворяющий принципу эквивалентности. Конечно, это обобщение должно быть таким, чтобы прн скоростях, малых по сравнению с с, новые уравнения переходили в обычные уравнения Ньютона (6.29) — Гто,) = Гр а'г Пространственные составляющие 4-вектора образуют некоторый вектор трехмерного пространства, так как преобразование Лоренца с коэффициентами аеа —— — аы —— О, а, =- ! есть обычный пространственный поворот, влияющий только на пространственные составляющие 4-вектора.
Обратное утверждение будет, однако, неверным: составляющие вектора трехмерного пространства не обязательно преобразуются как пространственные составляющие 4-вектора. Составляющие обычного вектора мозкно умножить на любую функцию з, не изменяя характера их преобразования при пространственном повороте. Но при этом существенно меняется характер того преобразования, которому подвергаются эти составляющие при преобразовании Лоренца.
Так, например, пространственные составляющие 4-скорости и, образуют вектор еф'! — р', однако сам век- 9 6.4) УРАВНение дВижения и уРАВнение энеРГии 221 тор и не является частью 4-вектора, так как для этого его нужно разделить на у' !†рз. Уравнение (6.29) не является инвариантным относительно преобразований Лоренца. Однако можно ожидать, что его релятивистским обобщением будет такое 4-векторное уравнение, пространственная часть которого сведйтся к (6.29) при 6 -+ О. Мы сейчас увидим, что 4-векторное обобщение левой части этого уравнения получить нетрудно.
Единственным 4-вектором, пространственная часть которого сводится при 3 -+ О к сч является вектор 4-скорости и,. Кроме того, массу и можно считать некоторой инварнантной величиной, характеризующей данную материальную точку, а время 1 хотя и не является инвариантом Лоренца, однако его можно, очевидно, заменить на собственное время "., которое стремится к 1 при 8 — +О. Поэтому искомое обобщение уравнения Ньютона должно иметь вид и — (ти„) = К,, (6.30) где К, †некотор 4-вектор, известный как сила Минковского.
11е следует думать, что пространственные составляющие 4-вектора К, можно отождествить с составляющими обычной силы. Единственное, что здесь требуется уравнением (6.29), — это то, чтобы при 9-РО составляющие К, стремились к составляющим ЕР Так, например, К, может равняться произведению 1'г на некоторую функцию от ш сгреяящуюся к единице при,"~ †« О. Точные соотношения здесь, конечно, зависят от характера преобразования Лоренца для составлюощих сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
