Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Х вЂ”. чг 2~лс ' (5.77) *)-Квантовая природа «спинового» кинетического момента злектроиа проявляется в том, что формула (5.76) для него неверна, а верна аналогичная ормула, в которой вместо коэффициента е12тс стоит коэффициент е1л«С, Это — обычная форма записи магнитного момента плоского витка. Вернвмся теперь к формуле (5.74). Вместо плотности тока у в ней можно подставить произведение плотности заряда на вектор его скорости.
Но плотность аарядз равна в свою очередь произведению его массовой пяотности р на отношение е)т. Поэтому будем иметь: РРлвнег!ия движения твеРдого те.чл (гл. 5! !1о это уравнение в точности совпадает с уравнением, описывающим изменение вектора постоянной длины при его вращении вокруг вектора В с угловой скоростью РВ ьэ( .в — —. Ђ 2т' (5.78) Злдхчи 1. Исследовагь изменение тензора ииерц(щ при смещении точки, относительно которой он рассматривается, па величину, определяемую вектором гэ. 11оказать, что если эта точка является центром масс, а гэ направлено вдоль одной из главных осей, то направление главных осей при таком смещении не изменяется.
Как изменяются при таком смещении моме(пы инерции? 2. Однородная пластина имеет форму равнобедренного прямоуголы<ого треугольника. Вычислить моменты инерции этой пластины относительно главных осей, проходящих через еа центр масс. Как направлены эти оси? 3. Три частицы равной массы расподожены в точках с координатами (а, О, О), (О, а, 2а) и (О, 2а, а).
Найти моменты инерц(и относительно главных осей, проходящих через начало координат. Как направлены эти оси? 4. Физический маятник представляет собой тонкую пластину, качающуюся в вертикальной плоскости вокруг оси, ве проходящей через еб центр тял(ести. Вычислить период малых колебаний этой пластины, выразив его через радиус инерции относительно центра тяжести и расстояние от центра э) Заметим, что рассмотренная здесь прецессия относится к вектору кинетического момента, а не к оси тела, Движение последней можно рассмотреть тем же методом, какой применялся в случае тяжело~о волчка.
Нутацня оси тела здесь также будет иметь место, но в отличие от случаи гравитацнонного полн она не будет изменять кинетической энергии тела, так как однородное магнитное поле ие может совершить работу нал системой (см. задачу 1б) Отсюда слелует, что однородное магнитное поле заставляет равномерно лрецесгароэащь вектор кинетического момента заряженного тела. Эта прецессия совершается с угловой скоростью (5.78), известной как часщота Лармора (1 агшог).
)(ля электронов величина е отрицателг,на, и, следовательно, прецессня вокруг вектора В происхопит против часовой стрелки. Равномерная прецессия заряженного тела, находящегося в магнитном поле, постоянно встречается в атомной физике. Обычно она известна как прецессии Ларжора. Следует заметить, что мы не требовали, чтобы рассматриваемое тело было твЕрдым, так как уравнение (1.24) справелливо для тела любой природы, а интеграл (5.75) является кинетическим моментом относительно какой-либо точки произвольной системы, центр масс которой находится в покое. Поэтому вектор кинетического момента любой системы заряженных частиц, находящихся в однородном магнитном поле, будет прецессировать согласно формуле (5.78). Единственным суц(ественным требованием здесь является то, что все эти частнць( лолжны иметь олинаковое отношение заряда к массе в).
ЗАДАЧИ 199 тнжестн до оси вращения. Показать, что если для двух осей вращения, отстоящих на разных расстояниях от центра тяжести, период колебаний будет одинаковым, то сумма этих расстояний будет равна длине математического маятника, имеющего тот же период колебаний. б. Однородный стержень массы М и длины 2( шарнирна прикреплен одним из своих концов к пружине, жесткость которой равна к. Стержень имеет возможность качаться только в вертикальной плоскости, а пружина может двигаться только в вертикальном направлении.
Составить уравнения Лаграшка для этой системы. 6. Однородный стержень скользит концами по гладкой вертикальной окружности. Показать, что если дуга, стягнваемая этим стерзкнем, раааа 120', то длина эквивалентного математического маятника будет равна радиусу этой окружности. 7. Автомобиль трогается с мес~а с открытой на 90' дверью кабины. Так как петли этой двери расположены н ее передней части, то, когда автомобиль начнет набирать скорость, она захлопнется.
Вывести формулу, апределяющую время, через которое дверь захлопнется, если ускорение автомобили постоянно и равно у, радиус инерции двери относительно ее оси вращения равен га, а центр масс двери отстоит от оси ея вращения на расстоянии а. Показать, что если у = 0,3 зг,'сека, а дверь представляет однородный четырйхугольник ширияой 1,2 м, то это время будет равно приблизительно 3 сек. 8. Колесо катится вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а. Получить решенке для случая двумерного движения этого колеса, пользуясь уравнением Лагранжа и методом неопределенных множителей.
й. (а) Показать, что если на симметричный волчок не действуют внешние силы, то в системе координат, связанной с этим волчком, вектор его кинетического момента вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью Еч Показать также, что в неподвижном пространстве ось симметрии волчка вращается вокруг неподвижного вектора кинетического момента с угловой скоростью уэ = — м, а где у — угол Эйлера, определяющий положение линии узлов в системе, в которой кинетический момевг направлен по неподвижной осн л. (Ь) Пользуясь результатамн задачи 5 из главы 4, показать, что вектор м вращаетсн вокруг нейодвижного вектора кинетического момента с той же скоростью у, а тгол 0' между м и ь определяется из равенства э1пб = — —,э1п0 'т где 0" — угол между вектором м и осью симметрии. Пользуясь числовыми значениями, данными в э 5.6, показать, что ось врап1еяия Земли и ось ее кинетического момента никогда не удаляются друг от друга более чем на 15 жм (считая по поверхности Земли).
(с) Пусть на симметричный нолчок не действуют внешние силы. Поль- зуясь задачами (а) и (Ь), показать, что его движение молсно воспроизвести с помощью конуса, связанного с волчком и имеющего ось, совпадающую с осью симметрии волчка, если заставить этот конус катиться по неподвиж- ному конусу, ось которого направлена вдоль вектора кинетического момента. Вектор угловой скорости будет прн этом направлен вдоль общей образую- щей этих конусов.
Показать, что такое представление непосредственно сле- дует из интерпретации Пуансо. 10, Если свободное твйрдое тело не является симметричным, то аналн- Тическое решение уравнений Эйлера не может быть получено с помощып [гл. 5[ 200 УРАВНКНИЯ ДВНЖЕИИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА элементарных функций. Показать, что, используя теоремы о сохранении энергии и кинетического момента, можно выразить составляющие вектора ю по подвижным осям через эллиптические интегралы. 11. Получить из уравнений движения Эйлера условие (5.70) для симметричного волчка в поле силы тяжести, накладывая требование, чтобы двнн ение волчка представляло собой равномерную прецессюо без нутации.
12. Показать, по величину кинетического момента тяжелого симметричного волчка можно представить как функцию одного только 0 н постоянных движения. Локазать, что вектор кинетического момента прецесснрует равномерно только иногда, когда имеет место равномерная прецессия оси симметрии. 13. В этой главе указывалось, что предварение равноденствий вызываетсн моментами, действующими нз Земной шар со стороны Солнца и Луны, причем эти моменты появляются вследствие некоторой приплюснутости Земного шара. (Гравнтациониые силы, действующие на идеальную сферу, не могут создать момента.) Поэтому землю можно прнбли»кенна рассматривать как идеальный шар, на который по экватору наложено »кольцо».
Массу этого кольца и момент инерции шара нужно выбрать так, чтобы их комбинация имела такие же главные моменты инерции, какие фактически имеет Земля. Момент гравитационных сил, действукнцвх на Землю, будет тогда создаваться только ее экваториальным кольцом. Но твк как период прецессии Земли весьма велик по сравнению с периодом обрагцення Луны вокруг Земли и Земли вокруг Солнца, то можно сделать еще одно приближение, заменив Сочнце и Луну массамн, распределеинымн по оьружностнм, центры которых совпадают с центром Земли. Кроме того, можно считать, что орбиты Солнца и Луны лежат в одной плоскости (так называемая плоскость эклиптики).
Вычислите гравитациовный потенциал Вяееьше между экваториальным кольцом Земли и мессой Солнца, распределенной по окружности. Воспользуйтесь для этого разложением расстояния г по а степеням †, где а — радиуг. экваториального кольца Земли, а Я вЂ” среднее йе е расстояние от Земли до Солнца. (Зля удобства примите плоскость эклиптики за плоскость ху и воспользуйтесь сферическими полярными коо[здинатеми.) Вычислив аналогичным путем потенциал между Землей и Лунои, найлите полный потенциал гравитационных сил как функцию угла 6 между земной осью и плоскостью эклиптики. Дифференцируя этот потенциал по 0, найдите момент сиз, действующих на Землю со стороны Солнца и Луны. Покажите, что периый отличный от нуля член в выражении этого молеентв равен 7»' = — 6 (Ез — 7,) з1п 2» ~ —, -[- — ~, 3 Гт т»1 4 где П вЂ” гравитационная постоянная, а индексы з и ( относятся к Солнцу и Луне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
