Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Во-вторых, нужно проверить, будут ли законы физики инвариантными относительно найденного преобразования. Те законы„ которые не будут обладать такой инвариантностью, нужно будет так обобщить, чтобы они удовлетворяли постулату эквивалентности. К настоящему времени теория относительности получила достаточную опытную проверку, благодаря чему ез фундаментальные положения следует считать обоснованными. 208 спвциллънля тьогия относительности [гл.
6 ф 6.2. Преобразование Лоренца. Рассмотрим две системы, равномерно движущиеся одна относительно другой. Пусть при 1=0 начала этих систем совпадают и пусть источник света, находящийся в начале системы хуз, посылает в этот момент импульс света. Наблюдатель, находящийся в этой системе, обнаружит при этом, конечно, сферическую волну света, распространяющуюся со скоростью с. Уравнение фронта этой волны имеет вид х'+уз+ гз = — гзг!. (6.5) Но опыт показывает, что скорость света одинакова во всех системах. Следовательно, наблюдатель, находящийся в системе, движущейся относительно источника света, также будет видеть сферическую световую волну, распространяющуюся из начала системы х'у'з'; уравнение фронта этой волны будет иметь вид "+ У'+"' =- "г" (6.6) где !" — время в системе х'у'з'. Таким образом, мы допускаем возможность изменения масштаба времени при переходе от одной системы к другой.
Более подробно это можно высказать следующим образом: преобразование, посредством которого уравнение (6.6) получается из уравнения (6.5), может быть таким, что интервал времени между двумя событиями будет зависеть от системы отсчета, в которой находится наблюдатель. Из уравнений (6.5) и (6.6) следует, что искомое преобразование должно удовлетворять условию ха+ уз+ за — с!И = х' + у' + з' — сз!' . з з .„хз — саге — ~! х',.Я вЂ” сз7'~. з=-! $=! (6.
7') Сравнение равенств (6.7') и (4.13) указывает на целесообразность формального введения четвертой координаты х„равной мнимой величине Гс7. Тогда мы получим ешли большее сходство с пространственным ортогональным преобразованием, так как равенство (6.7') примет вид Ф ~~~ хя = .~~ х' . е=! е =- ! (6.8) Это равенство показывает, что искомое преобразование можно мыслить как вращение в четырехмерном пространстве. три измерения которого являются измерениями обычного пространства, а четзвртое является мнимым и пропорционально времени ~.
Это пространство Это равенство напоминает условие ортогональности преобразования [см. формулу (4.13)], и для того, чтобы подчеркнуть это сходство, мы будем писать не хуз, а х,х,х.. Тогда равенство (6.7) примет следующий вид: 2ОВ % 6.2! пгковгазовлнив логвнцл известно как аросгпралстзо Чииковского. Следовательно, преобразование Лоренца является ортогональным преобразованием пространства Минковского. Поэтому весь математический аппарат главы 4, относящийся к ортогональным преобразованиям пространства, можно применить и к преобразованию г!оренца. Допустим, что мы переходим от одной системы координат к другой, покоящейся относительно первой, но повврнутой относительно нее. Ясно, что преобразование, описывающее этот переход, также является преобразованием Лоренца. Чисто лоренцовым мы будем называть такое преобразование Лоренца, которое не содержит пространственного вращения, а связывает две равномерно движущиеся друг относительно друга системы, оси которых параллельны.
Ясно без специального доказательства ь), что любое преобразование Лоренца есть произведение пространственного вращения на чисто лоренцово преобразование. Поэтому достаточно рассмотреть только чисто лоренцово преобразование, причйм относительную скорость рассматриваемых систем можно, не уменьшая общности, считать направленной вдоль оси хз (так как этого всегда можно добиться с помощью соответствующего поворота координатных осей). рассмотрим матрицу этого преобразования и обозначим ей элементы через а„,,вь). Тогда будем иметь: (6.9) Элементы а „должны, конечно, удовлетворять таким же условиям ортогональности, какие мы имели для пространственных поворотов (см.
уравнение (4.37)!. Поэтому можно написать: ),а„.,а, = й,,ы (6. 1О) Однако в отличие от обычного ортогонального преобразования пространства теперь не все эти элеменгы являются вещественными. Действительно, так как координзты х',х,'х,' должны быть вещественными, то элементы аы (1= 1, 2, 3) должны, очевидно, быть мни- ~ ыми.
Кроме того, так как х', должно быть мнимым, то ясно, что элементы атм должны также иметь мнимые значения, тогда как элемент а,, очевидно, должен быль вещественным. В направлениях, перпендикулярных к движению, преобразование, очевидно, ничего не меняет, и поэтому можно написатгп х =х„х =х. г г :) Си. й. Ве ей ее, Тйеог!е вег Е!ех!г!хйа!, т. В, 6-е изд., Лейпциг, !933, стр.
287. '":') Греческие буквы и, ю Х и т.;. мы будем применять для обозначения ннлексое, пробегавших значения от 1 до 4, а латинские буквы б Л л и т. д, — для индексов, изменяю.цихся от ! до 3. Такие обозначения стали сейчас обшепризятымн. 210 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 1гл. 6 Вследствие этого при рассматриваемом преобразовании будут изменяться только координаты хз и хз.
Кроме того, ясно, что ни координата х',, ни координата х,' не будут зависеть от координат х, и хз в чем можно убедиться с помощью следующих общих соображений. Ни одна из точек плоскости х,хз не является привилегированной, и поэтому нет физических соображений, заставлязощих какую-либо одну из них обязательно считать началом координат.
Поэтому начало координат можно перенести в любую точку плоскости х,х,, нс изменяя при этом величин х,' и х„'. Но так как такой перенос из.пенгзлз значения величин х, и хз, то эти координаты не могут входить в уравнения, определяющие х,, 'и х'. На основании всего сказанного мы приходим к выводу, что матрицу чисто лоренцова преобразования можно записать в виде 1 0 0 0 1О1О О ' 0 0 азз аз4 ~0 0 аз аз Поэтому мы будем иметь следующие три условия ортогональности, связывающих четыре элемента матрицы: азз+ азз а'„,+ а„', = 1, (6.1 1) а,а„+ аз,а„= О. 1 Для того чтобы однозначно определить эти элементы, необходимо иметь четвертое условие.
Оно может быть получено из того факта, что начало координат системы х,'х',х, '1х'=0) движется вдоль осн хз таким образом, что в момент 1 его координата хз равна хз = ~1 = — ф~, где О ~3 =— с (6.12) Отсюда получаем аз, = 13азз, и поэтому первое из условий ортогональности (6.11) можно будет записать в виде з (1 Дз)=1. Учитывая это, мы можем написать следующее равенство, определяющее начало системы х',х',х',: хз х4(азз ггазз) О. э 6.2! 211 ПРРОВРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА Следовательно, 1 1'1 — 'гэ (6. 13) и поэтому (6.14) Заметим, что число аз. является вещественным, а число пв.— мнимым, что согласуется с требованием вещественности преобразованных пространственных координат. Два остальных элемента матрицы могут быть найдены посредством решения второго и третьего уравнений (6.11) относительно ал.
и а,. Последнее из этих уравнений даат аэ4 аюд — — — а „вЂ”" = — !Ра44. вээ Подставив этот результат во второе уравнение (6.! 1), найдйм 1 У'1 Яэ ' и следовательно, — ф П43 преобразования Лоренца имеет вид в) Таким образом, матраца ! ,'О О 1 (6.!б) О Заметим, что в еб составе содержится матрица, имеющая вид соз о 51п ф ! — 5ГП ф С05 г!г т. е. явдяюшаяся матрицей поворота в плоскости х,х . Однако угол этого поворота является мнимым, так как здесь 1 .У" 1 йэ (6.16) в) Радикал, фигурирующий в коэффициентах а44 и ам, мы берем со знаком плюс.
Это сделано для того, чтобы при Р'- О матрица (6.15) переходила в елиннчную матрицу. Нас интересует только получение собственных преобразований Лоренца с детерминантом + 1. О О О )Г 1 — аэ О )у) зэ и, следовательно, больше единицы. О О гз 'тг1 — йэ 1 .У1 гэ 212 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТГЛЬНОСТИ !гт. 6 Формулы преобразования Лоренца можно записать также в виде: х =х, (6. 17) Что касается обратного преобразования, т. е, перехода от х' к х, то оно может быть получено посредством простого транспонирования матрицы (6.15).
Из нида этой матрицы следует, что формулы обратного преобразования будут отличзться от формулы (6.17) только знаком скорости О. Этот результат следовало ожидать, исходя из чисто физических соображений, ибо скорость, с которой система хлхехл движется относительно системы х'х'х', равна — и. 1 2 3' Если исходить из обычных представлений, то наиболее парадоксальной должна казаться та формула (6.17), которая описывает связь между 1 и т'. действительно, согласно этой формуле два события, происшедшие одновременно в двух раз.личных точках пространства, в системе хлхзхз будут казаться наблюдателю, находящемуся в системе х,'х'х' неодновременными, что объясняется присутствием члена пе/са в последней формуле (6.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
