Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Таким образом, рассматриваемый волчок нутируелт во время прецессии. в) Сутцествует очевндное сходство между этим мегодом рассмотрения движения волчка и методом «эквивалентного потенциала», применявшимся в главе 3 для центральных сил. Действительно, модифицированное уравнение энергии (5.52) можно рассматривать как уравнение одномерного движения точки, масса которой равна ут, а потенциальная энергия равна уэ (Ь вЂ” асоэ 0)э МЛ(гоэ О+— 2 мп'а корня и, н и, лежащих между — 1 и + 1 (рис. 57). Следовательно, волчок будет двигаться так, что значение соаО будет всЕ время заключено между и, н иа. Положение этих корней на оси и и характер функций гэ(созй) и ф(созО) для значений О, заключйнных между и, н ие дают нам много качественных сведений о движении волчка в).
Обычно движение вотчка изображают посредством кривой, которую описывает так называемый алекс, под которым понимают конец единичного вектора, отложенного от начала координат в положительном направлении подвижной оси г. Траектория апекса является сферической кривой, и полярные координаты ее точек совпадают с углами Эйлера О и ф.
Из предыдущего параграфа видно, что траектория апекса лежит между окружностями О, = агссоз и„и Оэ — агссоэ иэ, причйм О обращается на этих окружностях в пуль. Форма кривой, описываемой апексом, в большой степени определяется корнем двучлена () †; обозначив этот корень через и', будем иметь 188 ггхвнвния движвния твйгдого талл [гл. 5 Если же и' будет лежать между и, и и„то направления прецессии на граничных окружностях булут различными, и траектория апекса будет иметь петлеобразный вид, как показано на рис. 58,Ь. Среднее значение 1в, однако, не будет при этом равно нулю и, следовательно, булет иметься прецессия в том или ином направлении.
Может также случиться, что и' будет совпадать с одним из корней функции у(и). Тогда на соответствующих граничных окружностях обратятся в нуль и 0 и р, что привел6т к появлению точек заострения в этих местах траектории апекса, как показано на рис. 58, с. Следует заметить, что этот случай не является исключительным, как это может показаться на первый взгляд, так как он соответствует тем естественным начальным условиям, которые обычно Рнс. 50. Возможные формы кривых, описываемых апе- ксом иа сфере единичного радиуса. рассматриваются в элементарной теории волчка.
Оии состоят в следующем: симметричный волчок получает начальную угловую скорость вокруг собственной неподвижной оси, которая аатем освобождается, и волчок начинает свой движение. Эти начальные условия имеют вид: [О[,, =. 0в, [0[, „= [е[,, =- О, и отсюда следует, что соз 0в должен быть одним из корней функции /(и). Покажем теперь, что он соответствует верхней граничной окружности.
Для этого заметим, что в рассматриваемом случае величина Е' будет в начальный момент равна Мфсозэ„, причвм члены формулы (5.52), солержацгие 0 и ю, всегда положительны. Следовательно, когда 0 и ~ начинают изменяться от нуля, то энергия Е' может остаться неизменной только в случае уменьшения потенциальной энергии, т. е. в случае увеличения угла 0. Поэтому 0в будет равно 0„т. е. будет равно минимальному аначению угла 0. Отсюда видно, что рассматриваемый волчок в начале своего движения всегда опускается и прололжает опускаться до тех пор, пока не будет постигнут лругой граничный угол — угол 0; при этом волчок все. 0 5.7'1 тяжвлый шщчетги пш>й вол >ок >; неподвижной точкой 189 время прецессирует. Когда ось волчка достигает угла О,, она опять начинает подниматься, и 0 вновь становится равным О, и т.
д. (см. рис. 58, с). При указанных начальных условиях (0о=->о =О) и при достаточно быстром вращении волчка его движение можно исследовать элементарными методами и в количественном отношении. Это удавтся сделать только в том случае, когда начальная кинетическая энергия волчка велика по сравнению с возможным изменением его потенциальной энергии, т. е. когда выполняется неравенство — >оо>' )) 2>И81. (5.58) Эффекты, .вызванные моментом силы тяжести, т. е. прецессия и нутация, будут тогда играть роль малых возмущений, накладываемых на вращение волчка вокруг своей оси.
В этом случае (в случае обыстрого волчка») можно вычислить величину и период нутации, а также среднюю угловую скорость прецессии. Так как согласно заданным начальным условиям О, равно 0„ то можно написать и, = ио. Поэтому амплитуда нутации будет зависеть от значения другого вещественного корня функции >(а). Заметим, что так как при и = а скорость о обращается в нуль, то ь= Кроме того, так как Ято) =-О, то из (5.55) заключаем, что а = >5ао. (Это равенство выражает тот факт, что Е'= М85соз0о.) С помощью этих соотношений функция >'(и) может быть записана в виде >'(и) =(ио — и) (З(1 — ао) — а'(ио — и)).
(5.59) Отсюда следует, что корняии функции >(и), отличными от ио, являются корни квадратного полинома, стоящего в фигурных скобках. Таким образом, искомый корень и, удовлетворяет уравнению ао (1 — и',) — — (и — и,) = О. (5,60) Разность и — и мы будем обозначать через х, а разность ао — и, через х,. Поэтому уравнение (5.60) можно записать в виде х', + рх, — >> = О, (5.61) где ао р = — — 2 соз 0о >у = з1п' 0о Но членом 2 соз 0о в выражении для р можно пренебречь, так как отношение ао/3 можно записать в виде >'елвнвнин авив ения '>ве>с>>чч> т!'.>ь 1гл. (> !!и> и поскольку рассматриваемый волчок является «быстрыл!» (см.
неравенство (5.58)1, то оно во много раз больше 2 (за исключением случая, когда отношение >з,>>! очень мало, что соответствует волчку необычной, сигарообразной формы). По той же причине р' во много раз больше 44, и поэтому первый корень уравнения (5.61) можно считать равным х 1 а второй— х Р соответствует значению и, большему еанинтересуюший нас корень равен 0 ь>пэ 0„1! 2Ме! о. = — — 5>в 0. ав уь Гз".
Второй нз этих корней ницы, н, следовательно, (5. 62) х 1 у(и) = х'=- х(0 з!и'0 — а'х). (5.63) Уравнение (5.63) представляет собой дифференциальное уравнение, определяющее изменение х со временем. Оно может быть без труда проинтегрировано. При начальном условии х! е = 0 решение его имеет вид х = — —, (1 — соз а1), 2 (5. 64) где х, — величина, определяемая равенством (5.62). Следовательно, угловая частота нутацин равна а=' ш„ (5.65) н, как показывает эта формула, она будет тегч болюие, чем больше начальная с>сорость собственного вращения волчка. Наядам теперь угловую скорость прецессии. Соглас>н> (5.50) она равна а (ио — и) ах з>п> 0 в!пз 0« или, учитывая (5.64) и (5.62), <р = — (1 — соз аг).
2а (5.66) Таким образом, амплитуда нутации, которую моин>о считать пропоРцнональной х, = ив — и„бУдет тем меньше, чем меньше 1>>«>э т. е. чем быстрее вращается волчок. В случае «быстрого волчка» можно легко найти и угловую частоту мутации. Так как амплитуда еа в этом случае мала, то член (1 — сгг) в уравнении (5.59) можно заменить его начальным значением, равным яп'0ю Тогда уравнение (5.59) примет вид 5.71 ~ яжвзый гн гяв и ичный вол ~ок ь няполвижпои точкой 191 Следовательно, скорость прецессии не постоянна, а изменяется по гармоническому закону с той же угловой частотой, что н мутация.
Средняя угловая частота прецессии получается равной млг 2а Уеы (5.67) Отсюда видно, что скорость прецессии будет тем меньше, чем больше начальная скорость вращения волчка. Таким образом, мы получили полную картину движения быстрого волчка, ось которого вначале неподвижна. Мы видим, что сразу после того, как ось его освобождается, он начинает опускаться пол действием силы тявкестн. Но, начиная опускаться, волчок приобретает прецессионную скоросп, прямо пропорциональную величине его опускания, что заставляет его ось двигаться не вниз, а вбок. При этом, кроме прецессии, появляется также нутация оси волчка, которая носит периодический характер.
С увеличением началь- е -«-л л иой скорости волчка амплитуда нутации быстро уменьшается, а частота ,'+ л /-=л нутации увеличивается. Прецессионное движение волчка вокруг вертикали становится при этом более медленным. глд~' Практически иутация достаточно быстрого волчка сильно демпфируется Рис. 59. График функции у (и) трением в опоре. Поэтому она становится в случае Ре"Ул"Рной прецессии. незаметной, и тогда кажется, что волчок равномерно прецессирует вокруг вертикальной оси. Так как такая прецессия является регулярной только приближйнно, то она получила название псеедорегулкрной прецессии (согласно Клейну и Зоммерфельду). В элементарной теории волчка нутацией в большинстве случаев пренебрегают, что приводит к парадоксальному выводу, будто, получив возможность двигаться, ось волчка сразу начинает равномерно прецессирозать, т.
е. начинает двигаться в направлении, перпендикулярном к силе тяжести, которая является причиной прецессии. Однако из предыдуших рассуждений ясно, что прецессня возникает не сразу, т. е. ось волчка начинает двигаться из состояния покоя без бесконечно больших ускорений. При этом начальная тенденция волчка состоит в том, чтобы двигаться в направлекип силы тяжести. Интересно определить, какие начальные условия обеспечивают регулярную прецессию. Так как в этом случае угол 0 должен быть постоянным, равным 0з, то это означает, что 0, = 0в = 0е, или, другими словами, что функция У(и) должна иметь двукратный корень и„ (рис.
59). Мы можем выскааать это и иначе, потребовав, ггавненни движения твкгдого тьма (гл. 5 чтобы при 0 =0е обращалось в нуль не только О, по и 0 е). Записывая уравнение энергии (уравнение (5.53)~ в виде Оз = (и — 3 соз О)— з!пз 0 (5. 68) и дифференцируя его по времени, будем иметь 203) = ~ 1п0>+2 . 0(а — 0)з0' 2а(а — а О) „. зп1з 0 з1п 0 Так как в обе части этого равенства входит множитель О, то условие 0 =--0 (при 0 ==-Ое) можно с помощью уравнения (5.50) ааписать в виде 2 -'- = а з - — оэ сов О. (5. 69) Подставляя сюда 3 из (5.54), а а из (5.46), получаем МФ= 9 (узΠ— (У вЂ” У ) Рсоа 01 (5.70) ограничивающее область допустимых начальных значений О и ф. Вследствие того, что уравнение (5.70) является квадратным, оно опреде- ч) Требование, чтобы 0 образ~елось в нуль, вполне эквивалентно требованию, чтобы из = соз Оз было двукратным корнем функции у(н), ибо последнее можно записать в виде равенства — =0=20 — = 24 и'0 и'О 30 ОЪ так как — = — з .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
