Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 37
Текст из файла (страница 37)
1, *) Этот результат можно получить также следующим способом. Пусть Я означает вектор, идущий ндоль оси л и имеющий величину, определяемую равенством (5.40). Тогда уравнения (5.38) будут по существу эквивалентны одному векторному уравнению и =- и ',4 Я. Отсюда сразу видно, что вектор и прецессируег вокруг оси л с угловоп скоростью Р. й 6.7) тяжвлый симмвтеичный волчок с нвподвнжной точкой 183 Следовательно,.величина угловой скорости прецессии Земли равна 300 ' Но так как с>с практически имеет ту же величину, что и м, то полученный результат показывает, что период прецессии Земли составляет 300 дней илн 10 месяцев.
Поэтому наблюдатель, находящийся на Земле, должен обнаружить, что ось еб вращения описывает окружность вокруг Северного полюса, совершая один оборот за !О месяцев. Нечто похожее на это явление удается наблюдать в действительности, но амплитуда прецессии оказывается при этом настолько малой, что ось вращения никогда не удаляется от Северного полюса более чем на б метров. Следует, однако, заметить, что орбита этого движения оказывается довольно нестабильной„ а наблюдаемый период составляет приблизительно 427 дней, а не 300, как это получается по расчбту.
Флюктуации этого движения приписывают небольшим изменениям в распределении масс Земли, например вызываемым движением еЕ атмосферы, а расхождение в периоде, видимо, возникает в результате того, что Земля не представляет собой тнбрдого тела, а является телом упругим Я). ф 3.7. Тяжелый симметричный волчок с одной неподвижной точкой. В качестве следующего, более сложного примера мы рассмотрим движение тяжблого симметричного тела, имеющего неподвижную точку на оси симметрии. К задаче о тяжелом симметричном волчке приводит исследование ряда физических систем, начиная от простого детского волчка н кончая сложными гнроскопическими навигационными приборами. Поэтому как в отношении практических применений, так и для иллюстрации развитых нами методов движение тяжелого симметричного волчка заслуживает подробного рассмотрения.
Ось симметрии является, конечно, одной из главных осей волчка; мы еб примем за ось г системы, связанной с движущимся телом. Так как одна точка волчка является неподвижной, то его положение вполне определяется тремя углами Эйлера: угол 0 определяет отклонение оси г от вертикали, угол сс определяет азимут волчка, а угол ф характеризует поворот волчка вокруг его собственной оси (рис. 56). Расстояние от центра тяжести волчка, расположенного с) Прецессию земной осн прп свободном движения не следует путать с медленной прецессией вокруг нормали к эклиптике.
Последняя представляет собон астрономическое явление, известное под названием предварения равноденствий, и вызывается гравитационными моментамн Солнца и Луны, которыми мы пренебрегали. То, что такое пренебрежение допустимо, видно, например, нз того, что период предварения равноденствий велик (26 000 лет) по сравнению с периодом свободной прецессии, равным, грубо говоря, одному году.
Астроночическся прецесспя рассматривается дальше в й 5.7 и в задачах, 184 РРАВнения движения ТВОРдого телА 1гл. 5 на его оси симметрии, до неподвижной точки мы обозначим через 1. Для решения задачи о движении волчка мы используем не уравнения Эйлера, а уравнения Лагранжа. Так как рассматриваемое тело является симметричным, то его кинетическая энергия может быть записана в виде Т= — Т ~м'+в')+ — /в' 1 .. ! 2 г и л~ 2 нли с учетом (4.103) в виде Т= — — '(Ое+ гйэз1пеО)+ —," (о+тсозО), (5.43) Полученная формула выражает Т через углы Эйлера. Потенциальная энергия волчка равна, очевидно, О'= — М81соз11, (5,44) и поэтому лагранжиан его имеет вид Ь= —," ~О'+ уез1пеО)+ — '(О+усозО)' — МфсозО.
(5.45) Заметим, что углы т и ф не входят явным обравом в лагранжиан. Следовательно, они являются циклическими координатами, указывающими на неизменность соответлчльлииаль ствующих обобщйнных импульсов. Но мы ж 1 знаем, что обобщенный импульс, соответствующий какому-либо углу поворота, представляет собой составляющую полного кинетического момента относительно соответствующей оси вращения, какой /яж'ье7ю ° И для угла т является вертикальная ось, "т ж ',ф~ а для угла у — ось л, связанная с телом.
::МЯ Р,'ф' ;",ф Поэтому составляющие кинетического момента относительно этих осей должны оставаться постоянными. В сущности то, что эти составляющие кинетического момента должны быть постоянными, можно показать, исходя из элементарных принЛьь Рл аь ЦИПОВ. ДЕйетвительнО, мамент СИЛЫ тяРнс. 56, Углы Эйлера для жести симметричного волчка направлен симметричного волчка.
вдоль линии узлов. Следовательно, ки- нетические моменты волчка относительно вертикали и относительно его собственной оси должны быть равны нулю, так как согласно определению этих осей оии перпендикулярны к линии узлов. Поэтому мы иожем сразу написать два первых интеграла движения; р., = —. = уз (О+ ? соз Г!) =. /,ыя = ?,а дЕ дэ (5.46) р,. == —. =(у, з1пз 0+/, созе 0) ~+?,ф! сов 0 =-. ?,Ь. дЬ дч (5.47) (Константы, которые нужно было написать в правых частях этих равенств, мы записали в виде У,а и УгЬ, где а и Ь вЂ” некоторые постоянные.) Так как рассматриваемая система консервативна, то можно написать еща один первый интеграл, имеющий вид Е.— — Т+1' = — '(0е+- -'- з!пз 9)+ —" ые+ Мд1 соя 0, (5.48) где Š†постоянн, равная полной энергии этой системы.
Для того чтобы решить задачу, нам теперь потребуются только три квадратуры, которые легко получить из этих трйх первых интегралов без непосредственного применения уравнений Лагранжа. Выражая согласно уравнению (5.46) у( через е, получаем УД =- ?,а — ?,э соз 0. (5.49) Подставляя теперь это выражение в (5.4?) н исключая таким спосо- бом ф, находим: У,е сйп'0+ ?,а соя 0 = У,Ь, или Ь вЂ” асов 0 Б!вз 0 (5.50) Таким образом, если мы будем знать 0 как функцию времени, то, интегрируя уравнение (5.50), сумеем найти зависимость э от Подставив теперь (5.50) в (5.49), мы получим следующую зависи- мость ф от 0: ф = — — со50 Ла Ь вЂ” л соз 0 гз з!па з (5.
51) Это уравнение позволяет найти ф(1), если известно 0(1). Наконец, с помощью уравнений (5.50) и (5.51) можно исключить э и ф из уравнения энергии и получить таким путЕм уравнение, содержащее ?г только О. Заметим. что согласно равенству (5.46) в = сопз1= — 'а. ?з Поэтому Š— — ? м является постоянной движения; мы обозначим г 2 ев через Е'. Тогда уравнение энергии можно будет записать в виде Е' = ~' (9е -( — -з з1пе г!)-(- Ь4д~? соз 0!.
2 (5.52) $5.71 тяжелый симмвтгнчный волчок с нвподзижной точкой 185 [гл. 5 186 гнлвнвния движвния тзвгдого талл После подстановки сюда равенства (5.50) и некоторых преобразова- ний это уравнение примет вид сйпв ййв = гйпв 6 (а — 8 соз 6) — (Ь вЂ” а соз 9)в, (5,53) где а и 3 — постоянные, равные: 2Е' 2МеС (5. 54) Вводя теперь в (о.53) переменную и ===сов!), получаем и' = — (1 — и') (а — 8и) — (Ь -- пи)в (5.55) и приходим к квадратуре (5.56) ') Сьь, например, книги Ф. Клейна н Л. Зоммерфельда, Унттекера нлн весьма подробную книгу: Ма с гп!11а и, Рупаш)св о! 8)й)д Воб)ев. Имеется русский яереяо,с М в к-М н л.т а н В. Л., Лянамнка твбрдого тела, Идй 1951.
«н) С =- У (! — ая) (а — гяа) — (Ь вЂ” аа)в я() С помощью этого равенства и уравнений (5.50) и (5.51) функции о(С) и ф(С) также можно получить посредством квадратур. Однако полинам, стоящий под корнем интеграла (5.56), является кубическим, и, следовательно, этот интеграл может быть выражен только через эллиптические функции.
Подробное исследование получающихся таким путйм решений можно найти в ряде книг *), однако, как и в случае свободного движения твердого тела, здесь физическая сторона явления часто в значительной степени затемняется вследствие большого количества математики. К счастью, общий характериз учаемого движения можно исследовать, не прибегая к интегрированию. Обозначим правую часть уравнения (5.55) через С(и). Корни этого кубического полинома определяют углы, при которых 9 изменяет свой знак.
При больших значениях !и~ доминирующим членом полннома у'(и) является член,'!из. Но так как р всегда больше нуля (см. уравнение (5.54)), то при больших положительных и функция у'(и) будет положительной, а при больших отрицательных и— отрицательной. В точках и= — -1 функция С(и) равна — (Ь~а)т и, следовательно, всегда отрицательна, за исключением особого случая, когда значение и =- - 1 является корнем полинома у(и) (т. е.
когда волчок находится в вертикальном положении). Следовательно, по крайней мере один корень этого полинома должен лежать в области и ) 1, т. е. в области, которой не соответствуют вещественные углы. Но так как величина и' положительна и, кроме того, — 1 (и (1, т. е. — и (6 (и, то мы должны заключить, что для любого «вещестзенного» волчка функция С(и) имеет два й 5.7) тяигвлый сиэгметвичный волчок с неподвижной точкой 187 и = —. л' (5.57) Рис. 57. Расположение кор веи функции у(и) для тя Пусть, например, начальные условия та- желого симметричного козы, что и' больше чем иа Тогда со- волчка. гласно (5.50) производная гэ будет при всех О, лежащих между крайними значениями О, н О,, иметь один и тот же знак.
Следовательно, траектория алекса будет в этом случае касаться граничных окружностей таким образом, что Е будет одинаково направлено как прн О,, так и при Оа (рис. 58, а). Угол ф изменяется в этом случае монотонно, и поэтому можно сказать, что ось волчка гтрецессируелг около вертикальной оси. Однако это движение не является регулярной прецессией, встречавшейся нам в случае свободного движения твердого тела, так как в данном случае ось волчка не только вращается вокруг вертикали, но и колеблется вверх и вниз между граничными углами О, и О,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
