Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 32
Текст из файла (страница 32)
я. уе1(ге уз, Мерпобз о1 Ма!пеша!1са! Рпуз)сз. В этой книге охватывается в основном тот же материал, что и в книге 5!аргенау н Мэрфи, однако здесь делается большее ударение на физических приложениях, В главах 3 и 4 этой книги можно найти многие вопросы, рассмотренные нами в настоящей главе, включая спиновые матрицы Паули н их связь с трехмерными матрицами вращения. Раздел, посвященный углам Эйлера, изложен в этой книге непонятно, главным образом вследствие плохих рисунков. М. В 6 с Ь е г, 1пггодпсцоп !о Н)яйег А!яеЬга. Эта книга является одним из старых стандартных учебников, и она особенно полезна при изучении теории детерминантов, условий независимости систем уравнений и метода решения линейных независимых уравнений, )1.
Сон тап! и О. Н!!Ьегс, Ме!Ьобеп бег Ма!пеша!Вспеп Рйузрл ч), т. 1. Эта книга в (течение долгого времени являлась классическим введением в математические методы теоретической физики. В главе 1, озаглавленной чАлгебра линейных преобразований и квадратичных форма очень хорошо и ясно изложен вопрос о собственных значениях матрицы линейных преобразований, а также многие другие относящиеся сюда вопросы, В Приложении к главе 1 кратко рассмотрены бесконечно малые преобразования.
Н. О. )4 еж Ь оп!1, Лпа!у!ка( Ме!Ьоб (п ()упаш!сз. Применение алгебры матриц для систематического изучения пространственных вращений редко встречаетсн в учебниках по классической механике (хотя оно стало обычным в квантовой механике). Однако в главе П втой небольшой книги кинематика твйрдого тела изучается с помощью матриц. В частности, матрица вращения выражается здесь через углы Эйлера с помощью умножения матриц трех элементарных поворотов. В главе ГИ кратко излонген вопрос о движении относительно подвижных осей. Ь.
В г !11он(п, ).еэ Тепзепгз еп Месвп)с!пе е! еп Е1аз!!с1!ец Эта прекрасно написанная книга содержит много различных сведений по целому ряду вопросов. начиная с лифференциальной геометрии и кончая квантовой механикой твердых тел. Она является практически единственным пособием по вопросу о псевдовеличинах, т. е, о таких величинах, которые изменяются при отражении. Глава !П этой книги полностью посвящена этому вопросу. Е.
Т, (Ч Ь ! ! !а 1с ег Лпа!упса( Оупаш!сз. Глава ! этой книги содержит материал, связанный с вопросами, рассмотренными нами в настоящей главе. Раздел об углах Эйлера воспринимается с трудом нз-за низкого качества всех рисунков. (Здесь следует сослаться на сделанное нами в 6 4,4 примечание относительно сравнения формул этого а) Имеется русский перевод: Курант Р. и Гид ьберт В., Методы математической физики, М. — Л., Гостехиздат, 1945. !Ьы книвьштнка двнжяння тнвидого таль )гл. 4) автора с нашими.) В ф 12 втой книги рассматривается связь между параметрами Кейли — Клейна и так называемым сгомографическимэ 1преобразованием. %. Р. О эйно б, Месйап1св. В главе 1Х этой книги кратко рассматривается движение относительно подвижной системы координат и изучаются эффекты, вызываемые центробежной и кориолисовой силами.
О. Нега Ьегя, !п1гагеб апб Вешав Яресгга. В втой книге, в особенности в главе 1Ч, Я 1 и 2, подробно рассмотрен вопрос о влиянии сил Кориолиса на спектры многоатомных молекул; однако следует заметить, что для полного понимания этих вопросов необходимо знать основы теории малых колебаний (сч. нашу книгу. главу 10), а также основы квантовой механики. ГЛАВА б УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ. ТВЕРДОГО ТЕЛА Г:щва 4 предоставила нам необходимый кинематический аппарат для исследования движения твердого тела, Углы Эйлера дают нам систему трах координат, которые, хотя и не вполне симметричны, однако удобны для использования их в качестве обобщенных координат, описывающих ориентацию твердого тела.
Кроме того, метод ортогональных преобразований и связанная с ним матричная алгебрз дают мощный и язящный аппарат для исследования характеристик движения твврдого тела. Мы однажды уже применили этот аппарат при выводе уравнения (4.100), связывающего скорости изменения вектора в неподвижной системе координат и в системе, связанной с телом.
Теперь мы применим этот аппарат для получения динамических уравнений движения твердого тела в их наиболее удобной форме. Получив эти уравнения, мы сможем рассмотреть несколько простых, но важных случаев движения твердого тела. В б.1. Кинетический момент и кинетическая энергия тела, имеющего неподвижную точку. Согласно теореме Шаля произвольное перемещение твердого тела можно разбить на поступательное и вращательное. Таким образом, эта теорема указывает на возл>ожность разделения задачи о движении твердого тела на две отдельные части, одна из которых касается только поступательного движения, а другая †толь вращательного. В том случае, когда одна точка тела неподвижна, такое разделение является очевидным, так как в этом случае имеется только одно вращательное движение вокруг неподвижной точки, а поступательное движение отсутствует.
Однако и в более общих случаях движения такое разделение часто оказывается возможным. Шесть координат, описывающих движение тела в соответствии с таким разделением, уже были нами рассмотрены. Это — три декартовы координаты некоторой фиксированной точки твврдого тела (они описывают поступательное движение) и, например, три угла Эйлера, служащие для описания движения тела вокруг этой точки. Если начало подвижной системы выбрать в центре масс тела, то согласно уравнению (1.26) полный кинетический момент его распадается на две части: одну часть, соответствующую 1гл. 5 152 . глвнення движения гвйедого гала движению центра масс, и другую, соответствующую вращению вокруг центра масс.
Первая из них будет содержать только декартовы координаты центра масс, а вторая †толь угловые координаты. Согласно уравнению (1.29) аналогичное разложение можно выполнить и для кинетической энергии, которую можно записать в виде Т = — —, Мпз + Т' (и, О, 6), 2 ь = Х л> > (~; Х яй) з (5.1) где г; и яз†радиус-вектор и скорость 1-й частицы относительно этой точки.
Так как в системе координат, связанной с телом, составляющие вектора г, постоянны, то скорость пз есть абсолютная скорость, возникающая только вследствие вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Поэтому из уравнения (4.100) будем иметь (5.2) и;=ю Хгп *) В однородном гравитацяоином поле центр тяжести, конечно, совпадает с центром масс. т. е. как сумму кинетической энергии центра масс в предположении, что в нам сконцентрирована вся масса тела, н кинетической энергии двим~ения вокруг центра масс.
Потенциальную энергию тоже часто удаатся разделить на две подобные части, из которых одна содержит только координаты, соответствующие поступательному движению, а другая — только угловые координаты. Так, например, гравитационная потенциальная энергия зависит только от вертикальной декартовой координаты центра тяжести *). Аналогично, если сила вызывается однородным полем В, действующим на диполь с магнитным моментом М, то потенциал пропорционален произведению М ° В, зависящему только от ориентации тела. Вообще почти все практически встречающиеся задачи допускают такое разложение.
В этом случае рассматриваемая задача распадается на две, так как лагранжиан 1 = Т вЂ )г разбивается при этом на две части, одна из которых содержит только поступательные координаты, а другая — только угловые. Зти две группы координат будут тогда полностью разделены, и задачи о поступательном и о вращательном движении можно решать независимо друг от друга. Поэтому важно получить выражения для кинетического момента и кинетической энергии тела, имеющего неподвижную точку. Кинетический момент тела относительно неподвижной точки равен й' 5.1) кипяти ~икяй мочепг и кинечнческля энеегпя 111:1 и, следовательно, уравнение (5.1) запишется в пиле ~==-Хт;( еХ( Х.ч)), или, раскрывая двойное векторное произведение: !.
==- ~~ пЧ(со»1= »;(»; ю)). ч (5,3) Отсюда для составляющей кинетического момента по оси х получим у 2 г~ 7, =.= меам т;(»ч — х";) )— мв ~ т;х;у; — м.~ гпчх;ге (5.4) ч Составляющие вектора А по двум другим осям будут иметь аналогичный вид. Таким образом, каждая из составляющих кинетического момента является линейной функцией составляющих угловой скорости. Следовательно, векпгор кинетического момента получается из угловой скорости посредсгпво.ч линейного преобразования. Чтобы подчеркнуть аналогию между равенством (5.4) и уравнениями линейного преобразования (4.12), мы запишем 7„в виде !., =- ! „ы + 7,выв + 7е ы, н аналогично для Ее и Ле: Девять коэффициентов 7„, ! „ и т.
д. являются элементами матрицы преобразования. Диагональные элементы ей известны под названием осевых моментов инерции; они имеют вид ! „= ~гт,(»; — х;). (5.6) (5 5) Остальные элементы этой матрицы называются ценпгробеокными .иоментами инерции; они выражаются равенствами вида 7ее == »г т ьтгуо и (5.7) До сих пор мы не указывали, какая координатная система применялась нами при вычислении составляющих вектора Е. Теперь В формулах (5.6) и (5.7) элементы матрицы записаны так, будто твердое тело является совокупностью дискретных частиц. Для непрерывных тел это суммирование заменяется объамным интегрированием, и вместо массы частицы нужно писать плотность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
