Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Приплюснутость земного шара лишь увеличивает этот эффект. Центробежной силой, вызванной движением Земли вокруг Солнца, мы здесь пренебрегаем, так как она мала по сравнению с центробежной силой, вызванной собственным вращением Земли. Действительно, угловая скорость вращения Зеыли вокруг Солнца в 365 раз меньше скорости ее суточного вращения, т, е. отношение этих скоростей равно 2,7 ° 10 а. С другой стороны, отношение радиуса земной орбиты к радиусу Земли приблизительно равно 11,5 ° 10т км):16 ° !О" мм) = '/, 10"". Следовательно, центробежная сила, вызванная врагцением Земли вокруг Солнца, будет меньше центробежной силы, вызванной ей суточным вращением, и отношение этих сил будет приблизительно равно 10' ° (2,7 10 ), 0,2, 155 СИЛА КОРИОЛИСА будет по истечении времени г равно шпгз, этого снаряда будет равно его линейному на пройденный им путь.
Следовательно, оно 11="ог'= С, пг угловое же отклонение отклонению, делЕнному равно (4.108) знее не елен Рис. 50. Отклонение воздушного потока от направления градиента давления вследствие сплы Корно- лиса (для Северного полушария). т. е. имеет такую же величину, как угол поворота земного шара за время г. физический смысл этого становится ясным, если учесть, что снаряд, выстреливаемый с Северного полюса, не имеет начального вращательного движения и, следовательно, в инерциальной системе отсчвта он должен двигаться по прямолинейной траекторин.
Поэтому должно наблюдаться кажущееся отклонение боры 5е снаряда вследствие вращения Зем- Изп ли. Количественную оценку рассмотренного эффекта можно получить, если задаться определЕн- дазд~ ным временем полЕта, например 100 сек, что для крупных снарядов можно считать нормальным временем. Подставив в (4.108) с= 100 сек, мы для углового отклонения 0 получим величину порядка 7 ° 10 ' 0,4', что уже нельзя считать пренебрежимо малым. Ясно, что для управляемых снарядов, таких, например, как Фау-2, этот эффект будет ещЕ более заметным, так как время их полета значительно больше. Ещв большее значение получает сила Кориолиса в метеорологической задаче о циркуляции воздуха, так как впродолжительность полетав (уравнение (4.108)) будет в этом случае намного больше, чем при движении снаряда.
Ветер представляет собой движение воздушных масс, и если бы силы Кориолиса отсутствовали, то это движение совершалось бы вдоль градиента давления, т. е. от большего давления к меньшему. Следовательно, оно было бы перпендикулярно к изобарам. Однако в Северном полушарии силы Кориолиса отклоняют воздушные массы от этого направления вправо, как показано на рис. 50. При установившемся состоянии движения скорости частиц воздуха не возрастают и не убывают, и силы, действующие на воздушные массы, обращаются в нуль. В этом случае сила Кориолиса должна быть равна и противоположна силе, вызванной градиентом давления, а это возможно только тогда, когда направление ветра параллельно изобарам.
Область низкого давления с приблизительно концентрическими изобарами называют циклоном. В результате действия сил Кориолиса воздушные массы циклонов Северного полушария вращаются вокруг центров этих циклонов против хода часо- кинвмлтикл движвння тайгдого талл [гл. 4! зой стрелки; в Южном полушарии это движение совершается по ходу часовой стрелки. В действительности, впрочем, кроме сил давления и сил Кориолнса имеются еше и силы вязкости, которые отклоняют ветер от направленпя изобар, В северных широтах это отклонение составляет приблизительно 20 — 30' (рис.
51). Другим классическим примером заметного проявления сил Кориолиса является отклонение свободно падающих тел от вертикали. Так как скорость падающего тела является почти вертикальной, а вектор ю лежит в северо-южной вертикальной плоскости, то отклоняюнхая сила 2т(п',х', вз) будет всегда иметь восточное или западное Ниетее йиеееиие Ни~и- хвеееиие и/ Рис. б!. Схема циклона в Северном полушарии: а) при отсутствии снл Корнолиса, й) с учатом снл !<ориолиса, направление. В Северном полушарии, например, свободно падающее тело отклоняется к востоку.
Вычисление этого отклонения сильно упрощается, если ось г системы, связанной с Землей, направить по вертикали. Центробежная сила играет в данном случае лишь роль незначительной поправки к вектору тат, и если в качестве плоскости ул выбрать северо-южную вертикальную плоскость, то уравнение движения в направлении оси х запишется в виде гл — „, =- — 2лг(со Х и), =- -- 2тшо,з!и !д (4.109) где 6 — широта, отсчитываемая от Северного полюса.
Если бы мы учли влияние силы Кориолиса на скорость о„ то это внесло бы некоторую, очень малую поправку в величину отклонения. Поэтому вертикальную скорость, входящую в уравнение (4.109), можно вычислять без учета сил Кориолиса. Следовательно, можно принять: ои = л2, а такм<е Тогда уравнение (4.109) легко проинтегрировать. Проделав это получим !в з,п г! мК 3 или м / !2з)х х =. — — 3à — 3!н 9. з 'г' ~литчи Порядок величины отклонения можно получить, положив, например, 0 = — (экватор) и в=50 м. Тогда будем иметь х 8 лгм.
Прове- рить этот результат экспериментально, однако, довольно трудно, так как вследствие малости этого отклонения оно может оказаться поглощенным возмущающим влиянием воздушных потоков, вязкостью или другими случайными факторами. Более удобен для наблюдения известный эксперимент с маятником Фуко.
Если поместить маятник на Северном полюсе и дать ему качаться в некоторой плоскости неподвижного пространства, то проекция его количества движения на перпендикуляр к этой плоскости будет равна нулю, и он будет продолжать качаться в этой неизменной плоскости, хотя Земля будет под ним поворачиваться. Поэтому наблюдателю, находящемуся на Земле, плоскость его колебания будет казаться поворачивающейся со скоростью одного оборота в сутки. На других широтах это явление будет протекать более сложно, однако качественная картина останется такой же.
Более подробное исследование этого явлении мы предоставляем читателям в качестве упражнения. Сила Кориолнса сказывается н на некоторых явлениях атомной физики, Так, например, в многоатомной молекуле может одновременно иметь место движение двух типов: вращение молекулы как неизменяемой системы и колебание ей атомов около своих положений равновесия.
Таким образом, здесь возникает движение атомов относительно вращающейся системы координат, связанной с молекулой. При этом возникают силы Кориолиса, заставляющие атомы двигаться в направлениях, перпендикулярных к их колебаниям. Возмущения, вызываемые в молекулярных спектрах этими силами, носят характер взаимодействия вращательных и вибрациошпях уровней молекулы. Злдлчи 1. Локазать, что умножение матриц ассоциативно. Показать, что произ. ведение двух ортогональных матриц есть таяние ортогональная матрица. 2, Доказать слелу|ощне свойства траиспоннрованной и зрмнтовскн сопря.
женкой матриц: АВ= ВА, (АВ)т = Втдт. 3. Показать, что след матрицы инвариантен относительно любого по. лобного преобразования. Показать также, что антнсимметричиая матрица остаатся антнсимметричной прн любом ортогональном подобном преобразовании, а матрица Эрмита — при любом унитарном подобном преобразовании. 4. Выразить элементы матрицы вращения А через углы Эйлера [формула (4.46)], выполнив для этого умио.;.ение матриц последовательных поворотов. Убедиться с помощью непосредственной проверки, что элементы матрицы удовлетворяют условиям ортогональностн.
1ЗЗ ьппвмлтикл движения тввпдого тилх (гл. 41 5. Показать, что составляющие угловой скорости по осям неподвижной системы коорлпнат вырансаются через углы Эйлера следующим образом: ы, = 0 соз р+ ф з!п 0 з!и В мя —— 0 3!п р — ф 3!п 0 соз э, , = Ф соз 0+ э, 6. Шар имеет возможность двигаться по плоскости без скольжения. Выразите условия, накладываемые этой связью, через углы Эйлера. Покажите, что зтп условия неинтегрируемы и, следовательно, связь неголономна. 7. Покажите, жо комплексные собственные значения ортогональной матрицы, описывающей собственное вращение, равны е, где Ф вЂ” угол э И поворота.
8. Докажите, что угол поворота Ф выражается через углы Эйлера следующим образол!: Ф 9+ф 0 соз — = соэ ' соз — , 2 2 2' 9. Пока~к!!те, что три спиновые матрицы Паули антпкоммутативны друг относительно друга, т, е. что имеют место равенства етэу = еуе! (! ти l).
Покюките, кроме того, что атз! — еуз! — — 2!зв (т, /, й — в циклическом порядке) и что э, = 1 прн всех !. 2 10. Покажите, что Оэ можно символически записать в следующем виде: э Оэ =с где правая часть написанного равенства рассматривается как степенной ряд, первый член которого равен единичной матрице 1. 11. Снаряд вылетает в горизонтальном направлении и летит вдоль поверхности Земли. Покажите, что в результате действия силы Кориолиса вектор его скорости будет отклоняться от первоначального направления, причем угол этого отклонения будет в первом приближении пропорционален времени.
Лока;ките, что коэффициент этой пропорциональности равен мсоз0, где в — утловая скорость вращения Земли, а 0 — широ~а, отсчитываемая от полюса. (В Северном полушарии рассматриваемое отклонение направлено вправо.) 12. В опьпе Фуко маятник подвешивается на длинной нити и колебания его происходят около точки, связанной с поверхностью вращающейся Земли. Вектор его начального количества движения лежит в вертикальной плоскости, проходящей через нить маятника. Показать, что его движение можно представить как колебання в плоскости, равномерно вращающейся со ско- Г стью 2я сов 0 радиан в сутки, где 0 — широта, отсчитываемая от полюса.
аково направление этого вращения? (Если нужно, то можно колебания этого маятника приближенно считать малыми.) ! ш<оминдугы|ля лигкглгзил Рекомендуемая литература Н. Маг де пан и О. М. М игр Ьу, ТЬе Маплешапсз о1 Рйуз)сз апб СЬеш1з!гу. По теории матриц имеется много подробных и полных книг, однако для наших целей достаточна глава 1О указываемой книги, математическая часть которой вполне соответствует вопросам, которые здесь были рассмотрены. В Я 15.5 и 15.6 этой книги рассматриваются параметры Кэйлн — Клейна и спиновые матрицы Паули (хотя с применением сложных обозначений). Н. 3 е11те уз н В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
