Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Тогда будем иметь: х'=Вх и Р' = О,РО~1. Пусть теперь совершается второе ортогональное преобразование, преобразующее х' в х" с помощью матрицы А: х" ==- Ах' Три вещественных числа х, у, мы будем интерпретировать как координаты некоторой точки в трЕхмерном пространстве. Пусть посредством матрицы О рассматриваемая матрица Р преобразуется следующим образом: 125 э 4.51 илга!!а! Рь! кэйгп! — клейна Тогда для соответствующей матрицы О, будем иметь: Рассмотрим теперь непосредственное преобразование к в к". Оно производится матрицей С, равной С= — АВ, а соответствующее преобразование Р в Р" осуществляется посредством подобного преобразования с некоторой матрицей С!в, которая должна соответствовать матрице С.
Однако преобразование Р в Р" описывается равенством Р" = а,а,РС,'а,', причем легко показать, что с), а,' =- <а.о,)'. Тогда на основании того, что произведение двух унитарных матриц есть опять унитарная матрица, можно сделать вывод, что Оз = ОеО!.
Таким образом, соответствие между комплексными унитарными матрицами второго порядка и вещественными матрицами третьего порядка таково, что каждое соотношение между матрицами одной системы будет справедливым и для соответствующих матриц другой системы.
Две такие системы матриц называются изоморфиы.ии. Элементы ортогональной матрицы А можно выразить черев элементы изоморфной матрицы Сь Из (4.54) и (4.55) следует, что матрица, эрмитовски сопряженная с Сг, равна Поэтому, введя для упрощения выкладок обозначения х+ — — х+ су, х =х — гу, мы сможем записать матрицу Р в виде или, после выполнения умножения: ' (ай+ рТ) г — а,х -', Зех „— 2айз+ а'х — ~'х+ 2ТВл — Т'х -!-ьех е — (иВ+рТ) г+ пух — р Вхе ~' 13О 1гл. 4 кинематика движлння тнгй лого ттлл Приравнивая теперь соответствующие элементы написанных матриц, мы получаем ураннения перехода от неподвижной координатной системы к подвижной; х' = 2)ол — -"вх +йэх, ) х' == 2а3л +а'х — — 3тх,, > (4.62) г = — (во+ гу) л — — айх +,30х .
! Наконец, желая выразить матричные элементы а; через а, 3, т и о, мы можем сравнить уравнения (4.62) с общими уравнениями преобразования (4.14). Так, например, последнее из уравнений (4.62) можно написать в виде г' = (3о — а1) х + т (а", -~ ро) у + (но+ 3 () л. Отсюда непосредственно следует, что аш = — (,А — ау), а„= т(а;+ 3о), а,в =во+ 4(. Таким путем легко найти матрицу полного преобразования, которая будет иметь вид ~ — (ат — )т+ оэ — — Рт) —,, ( -' — аз+бе — Рт) 36 — а3 — (хт + ут - — 3т -- от) —,, (от+,т+Вт+тэ) -- т (аЗ+(о) ~с( ' ;"о — ху '( й+рб) г; + т"1 Эта матрица определяет ориентацию твердого тела, причем она выражена только через величины а, р, „ о.
Следовательно, подобно углам Эйлера, эти четыре величины могут служить в качестве параметров, определяющих ориентацию твердого тела; они иавестны как парамвтрвт Кайла — Клейна в). Вентественность элементов матрицы (4.63) следует из того, что матрица Р является эрмитовской, ио она может быть доказана и непосредственно, путам вычисления элементов этой матрицы с помощью соотношений (4.54), (4,55). Параметры Кэйли — Клейна можно выразить через углы Эйлера с помощью непосредственного сравнения элементов (4.63) с элементами, выраженными через ф, 0 и ф. Однако проще и более поучи~елька образовать сначала матрицы С(„, С(э и С(4, соответствующие последовательным вращениям, определяющим углы Эйлера, после чего их можно будет объединить в одну полную матрицу.
Так, ") Матрица (4.бЗ) не совладает с соответствующей нвтрицей, указанной, например, в книге Унттекера, стр. 12. В сущности это произошло вследствие различного выбора начальной матрицы Р. Ясно, что имеется много способов образования матрицы, детернянвнт которой равен — гэ, и поэтому специальный выбор твной матрицы является делом удобства. Матрица (4.58), которой мы здесь пользуемся, соответщвует той форме, которую обычно применяют в квантовой механике, 0 4.5! ПАРАМЕТРЫ Кэнди — КЛГЙНА например, при повороте на угол е вокруг оси з мы для величин х„, х и з будем иметь следующие формулы преобразования: х', .=.- е -втх „, х' = е-1тх Заметим, что элементы этой матрицы автоматически удовлетворяют условиям (4.54), (4.55), (4,57).
Следующий поворот совершается вокруг новой оси х на угол 0 против хода часовой стрелки. Определение соответствующик элементов матрицы производится здесь аналогичным образом, но выкладки становятся при этом более утомительными. Поэтому мы просто выпишем эту матрицу, которая получается равной 0 СО5 —, 2 Ов=( 1'5(ив 2 15(П-; (! (4.65) Для проверки этого достаточно убедиться в справедливости равен- ства 0 .. 0 Х !! СО5 —, — 1 51П вЂ”, : х — е ! — гз!п —, 2 СО5— 2 0 1 5!П— 2 0 СО5— 2 0 СО5— 2 0 ! З1П— 2 *.„о — р ~.! — Со .в-,-*н,е~! !1 Х+г(УСО50+55!п0) ясо50+уз!п0 правая часть которого описывает искомое преобразование х'= — х, )1 =- )1 С05 0 + з 51П 0, ' =- — у 5!п 0+ г соз 0. Последний из поворотов, определяющий угол ф, совершается опять вокруг оси г, и поэтому епцз О ОФ= 0,-14,. (4.66) Сравнивая эти формулы с формулами (4.62), мы видим, что этот поворот характеризуется следующими элементами матрицы О: 7=3=0, аз=е1", 0е= — е-гт, откуда (4.64) )Зй кинематикл движения гзвгдого талл [гл.
4 О, . 0 е'Ф' О и соз — Г з1п — ~~ 2 " 2 О=-ООООС(т=- . о 0 ~ О е — 'Ф1а ~( 2гйп — соз —, е~тж О О е- т1е или е'<О ю есоз— О 2 0 Еег Ф-чца згп —,- 2 е ' ~Фигне соз /! 0 2 (4. 67) (е-' ~Ф-Фи' з1п —, 0 2 Следовательно, параметры Кэйли — Клейна выражаются через углы Эйлера следующим обрааом: и =- ьн~Фыйг соз —, О 2" 6 = Ге~ (Ф вЂ” Юй гйп —, 0 2' о = е ' ~Ф'ьчнз соз —, 0 2' (4. 68) Т =- ге-' <О юи гйп —, 0 2 Заметим, что матрицу Р можно представить в виде суммы Р =хи +уи„+ли„ где и,, ив, и,— так называемые сииновые катрины Паули: (4.69) (4.70) Эти матрицы вместе с единичной матрицей образуют систему четырйх независимых матриц.
Поэтому любая квадратная матрица второго порядка, содержащая четыре произвольные величины, может быть представлена в виде их линейной комбинации. Матрицы С1, соответствующие вращениям вокруг координатных осей, выражаются через эти матрицы особенно просто. Например, матрицу СЬ соответствующую повороту вокруг оси х (формула (4.66)1, можно записать в виде 0 С(, = 1 соз — + си,з1п —. (4.71) В й 4.4 мы получили ортогональную матрицу полного преобразования в виде произведения матриц, соответствующих каждому из трах этих поворотов.
Но мы знаем, что вещественные ортогональные матрицы третьего порядка нзоморфны с матрицами Сг. Следовательно, матрица Сг рассматриваемого полного преобразования будет равна произведению Сг С(ОС( . Таким образом, й 4.51 плРАметРы капли — клейнл Аналогично, для матрицы О, описывающей вращение вокруг оси г, будем иметь сов — +! 3!и —, 2 2 а,=~ О О 'т 2 ' ' 2' = 1 сов — л->э з!и —. (4.72) соя —, — ! з!и —, 2 2 Легко видеть, что для вращения вокруг осн у получается матрица такого же вида, как (4.72), но вместо и, здесь будет стоять а„. Таким образом, все матрицы элементарных вращений имеют аналогичные выражения, в которые входят только единичная матрица 1 и соответствующие матрицы а.
Поэтому каждая спииовая матрица Паули связана с вращением вокруг некоторой оси и может рассматриваться как оператор единичного поворота вокруг этой оси. Характерной чертой параметров Капли †Клей и содержащих их матриц является постоянное присутствие в них половинных углов, и с этим связаны некоторые специфические свойства пространства ио. Например, в обычном пространстве поворот вокруг оси г на угол 2я просто воспроизводит первоначальную координатную систему.
Если, например, в матрице 0 предыдущего параграфа положить е> †. — 2п, то будем иметь: соз!> = ), з!и й = О, и О перейдет в единичную матрицу 1, соответствующую тождественному преобразованию. С другой стороны, если ту же подстановку сделать в матрице О )формула (4.64)), то получим: (! е" О )) ~~! — ! О 2к (( О Р >-,„ что равно — 1, а не 1. Однако единичная матрица второго порядка (матрица 1) тоже должна соответствовать трехмерному тождественному преобразованию.
Следовательно, имеются две матрицы: 1 и — 1, соответствующие единичной квадратной матрице третьего порядка. Вообще, если матрица С! соответствует некоторой вещественной ортогональной матрице, то матрица — С! также будет ей соответствовать.
Таким образом, мы здесь имеем тот случай изоморфизма между двумя системами матриц, при котором существует взаимно однозначное соответствие между одной матрицей третьего порядка и ларой матриц (С), — О), а не одной матрицей О. В этом смысле можно сказать, что матрица С! есть двузначная функция соответствующей трехмерной ортогональной матрицы.
Эта странность не нарушает наших общих построений. Как видно из изложенного, пространство ио является чисто математической конструкцией, созданной только для того, чтобы установить соответствие между определзнныыи классами квадратных матриц третьего и второго порядка. Нельзя поэтому требовать или ожидать, чтобы такое пространство имело свойства, подобные свойствам, 134 кинвмлтикл движения твйвдого ткал (гл.
4 физического трехмерного пространства. Нужно заметить, что изучению свойств пространства ию математики уделяли значительное внимание; двумерный комлексный вектор, построенный в этом пространстве, называют спинором. Оказывается, что в квантовой механике спинорное пространство несколько больше соответствует физической действительности; поэтому, чтобы учесть влияние «спинаь электрона, нужно его волновую функцию или часть ее представить в виде спинора. Действительно, половинные углы и свойство двузначности внутренне связаны с тем фактом, что спин полуцелый ь).
Впрочем, дальнейшее изложение этого вопроса увело бы иас слишком далеко от классической механики. ф 4.6. Теорема Эйлера о движении твердого тела. Материал предыдущих параграфов дает нам необходимый математический аппарат для описания движения твердого тела. Мы знаем, что ориентация твердого тела в некоторый момент времени может быть задана посредством ортогонального преобразования, элементы которого можно выразить через подходящую систему параметров. С течением времени ориентация этого тела будет меняться и, следовательно, матрица преобразования будет функцией времени, что можно записать в виде равенства Д = А (г). если оси, связанные с телом, выбраны так, что при Г = — 0 они совпадают с неподвижными осями, то в этот момент преобразование будет тождественным, и мы будем иметь: В каждый следующий момент времени преобразование Д(4) будет, вообще говоря, нетождественным, и так как физически реальное двигкение должно быть непрерывным, то матрица А(г) будет непрерывной функцией времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
