Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Подобные расчйты можно найти в элементарных учебниках, обычно в виде задач об упругих ударах бильярдных шаров. Но этн элементарные законы и делают эти расчеты справедливыми. Дело в том, что если количество движения рассматриваемых частиц сохраняется 1а это остаЕтся верным и в квантовой механике) и соударение является упругим, то детали происходящего здесь процесса становятся несущественными. В сущности, мы их не знаем и имеем здесь «закрытый ларец», относительнэ которого известно лишь, чтб туда входит и что выходит.
Не имеет значения и то, относятся ли происходящие здесь явления к «классическим» или «квантовым». Поэтому мы можем пользоваться формулами данного раздела, не ожидая экспериментального анализа этого явления, в особенности в случае, когда оно имеет квантовый характер 1как, например, в системе иейтрои †прот). 105 задачи Зддлчи 1. Две частицы движутся друг относительно друга по круговым орбитам под действием гравитационных сил; период этого движения равен т. Б некоторый момент времеви их движение внезапно прекращается, после чего они начинают двигаться друг к другу. Доказать, что промежуток времени, по истечении которого они столкнутся, равен т)4У2.
2. Частица движется в поле центральной силы, потенциал которой равен Е-аг У= — ив где я н а — положительные постоянные. Провести качественное исследование этого движения, пользувсь методом эквивалшпного одномерного потенциала. 3. Рассмотрите систему, в которой силы Рп действующие иа ей точки, l состоят из консервативных сил ттз н сил трения уп пропорциональных скоростям соответствующих точек.
Покажите, что теорема о вириале будет для такой системы выражаться равенством '=-~Х":" (прн условии, что движение является установившимся и пе прекрашаетси в результате действия снл трения). 4. Показать, что если частица движется по дуге круга под действием центральной силы притязкения, направленной к точке той же окружности, то эта сила изменяется обратно пропорционально пятой степени расстояния. 5. Пусть точка движется в поле центральной силы, представляющей степенную функцию от расстояния г, Показать, что задача о движении этой точки может быть решена в эллиппшескнх функциях гри следующих значениях показателя степени: 3 1 " У и 2' 2' 3' 3' 3' 6. Бычислите приближенное отношение масс Солнца и Земли, пользуясь только продолжительностью года и лунного месяца (27,3 суток), а также средними радиусами орбит Земли (1,49 10в кж) н Луны (3,8 1О км).
7. Рассмотрите движение точки в поле центральной силы, равной л с гз ' гз' Покажите, по уравнение ес орбиты может быть представлено в виде а (1 — сз) г = ! + е соэ вз Прн а = 1 написанное уравнение изображает эллипс, а прн а+1 — прецессирующий эллипс. Прецесснонное движение этого эллипса можно харантеризавать скоростью прецессии езо перизелия (или афелия).
Получите приближенное выражение для скорости этой прецессии при а ж 1, выразив ей через безразмерную величину [гл. 3! 106 пговлвмл дзкк тьл Отнощеиие П слУжиг меРой возмУитениа, вносимого членом Сига в ньютоновскую силу — а,'гз. Согласно наблюдениям перигелий Меркурия прецессирует со скоростью 40а за столетие. Покажите, что эта прецессия могла бы быть объяснена с позиций классической механики, если бы т, было малой величиной, равной 1,42 10 т.
(Эксцеитриситет орбиты Меркурия равен 0,206, а период его обращения равен 0,24 года.) 8. Какие изменения (если они будут) появятся в рассеинии, иследованпом Резерфордом, если сила Кулона будет ие отталкивающей, а пр>ттягивающей? 9. Исследуйте рассеяние в поле центральной отталкивающей силы, изменяющейся по закону у ='аг — э. Покажите, что диффереи тиальное поперечное сечение опрелеляется в этом случае равенством й (1 — х) ах 2Е хз (2 — х)з з (п тх ' где через х обозначено отношение 0;к. а через Š— энергия. 1О. В ядерной физике часто встречаются центральные силы, потенциал которых определяется равенствами К = 0 при г) а при гс а 1» = — )га (так называемая эпрямоугольиая потенциальная ямаэ).
Показать, что рассеяние в поле такой силы подобно преломлени1о гветовыт лучей сферой радиуса а при покгюателе преломления, равном (Эта аналогия показывает, что преломление света манию было объяснить как с позиций волновой теории Гюйгенса, так и с позиций корпускулярной теории Ньютона.) Показать также. что дифференциальное поперечное сечение равно в этом случае и соз †, — 1( ~а — соз — 1 2 соз —, 1+ пт — 2п соэ — ~ 2 2/ Каково здесь полное поперечное сечение рассеяния? 11. Показать, что для любой центральной отталкивающей силы угол рассеяния 0 равен а да т 1 (а) з 1, 1 — - —,— -- злат Е где К вЂ” потенциальная энергия, и = 1,г, а иа соответствует той точке орбиты, где г имеет минимальное значение.
Каково соответствующее выражение для притягивающей сигму 12. (а) Покажите, что угол отражения рассеивающей частицы относительно начального направления отклоняемой частицы имеет следующее простое выражение: 0 = — (г. — 8). 1 2 !Ву гнкомвндзвмля лнткнлтхгл (б) Рассмотрите рассеяние в случае двух частиц равной массы.
Наблюдзние показывает, что распределение энергии отраженных частиц постоянно ло некоторого значения этой энергии и равно нулю выше него. Покажите, что относительно центра масс рассеяние дол,кно быть изотропным. Рекомендуемая литература Б. Т. )У Ь !1!а йег, Апа1П!са1 Оупавпсз, )движению под действием центральных сил уделяется знач!пельное внпманне почти в каждом учебнике по механике, однако лишь немногие нз них мы считаем возмозкным здесь рекомендовать.
Я 17 — 49 книги Уиттекера дают краткое введение в зтог вопрос, написанное па достаточно высоком уровне, 'йг. Р. М а с ш !1! а п, 51а!!сз апб гйе Оупаш!сз о! Рагнс1е. Глава ХН этой книги содергкнт подробное исследование движения под действием центральной силы. В пей проводится изучение орбит для некоторых законов изменения силы, отличных от обычного закона обратной пропорциональности квадрату расстояния. Изложение ведвтся достаточно элементарно, без использования уравнений У!агранлга.
,!. С. 3!а! ег и ЬЬ Н. Р гав К, Месйап1сз. Качественное изучение центрального движения с помощью эквивалентного потенциала н центробежного барьера является в современной физике обычным, но редко рассматривается в классической механике. Ванная книга составляет исключение, и ныатель найдет в главах ГН и !Ч много интересных приложений этого метода. А, Боши! ег1е1б, Чог(езнпяеп пЬег Тьеогепзсйе Рйуз!й, т. 1, МесЬапйь По вопросу о рассеянии трудно указать какую-.тибо достаточно полную книгу. Так, например, имеется много кинг по атомной или ядерной физике, в которых рассматривается рассеяние, исследованное Резерфордом, однако лишь немногие из них рассматривают рассеяние частиц равной массы. Кроме того, ряд материалов по этому вопросу разбросан по отдельным статьям, относящимся главным образом к ядерным исследованиям.
В третьем параграфе пятой час~и рекомендуемой книги проводится интересное исследование соударений, основанное только на теоремах о сохранения количества движения и энергии. Помимо этого, автор коротко останавливается на не- упругих ударах. Особенно ценны упражнения к этому параграфу, !1. В. 1.1п б за у, !и!годно!1оп !о Рйумса! я!а!!з!!сз. В главе Ч этой книги кратко излагается теорема о вириале, которая затем используется прн выводе уравнения состояния для идеальных и реальных газов. Можно также указать на обширное сочинение по стапгстпческой механике Флулера (К.
Н. Гозч!ег). ГЛАВА 4 КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Твйрдое тело было определено нами как система материальных точек с наложенными голономными связями, благодаря которым расстояние между любой парой точек остаатся постоянным в течение всего движения. Хотя это и является в некоторой степени идеализацией, однако такое представление весьма полезно, и поэтому механика твардого тела заслуживает подробного рассмотрения. В этой главе мы рассмотрим хикемати>гу твердого тела, т. е.
получим ряд характеристик его движения. При этом мы уделим некоторое внимание развитию специального математического аппарата, имеющего значительный самостоятельный интерес и полезного в приложениях к другим областям физики. После изучения кинематики твердого тела мы в следующей главе рассмотрим с помощью лагран>киана движение твврдого тела под действием приложенных сил и моментов. ф 4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
