Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Выразив с помощьн! (3.67) параметр а через В и го!, получям: 22свз и = — „сгя —, 2Е и тогда с помощью (3.62) найден! или а (г)) — — ( — ) — . (3. о 8) 1 !сЛ'ег гг 1 4(, 2е ) гг 2 Этот результат совпадает с тем, который был в свое время получен Резерфордом для рассеяния к-частиц атомным ядром. Квантовая механика (без учбта релятивистских эффектов) приводит к тому же результату. В атомной физике играет важную роль так называемое по.гное поперечное гечение рассеяния, равное ~ а(О) сгс? = 2г: ~ а(9) зги Р) гуВ. ! ° о Одкако если мы попытаемся вычислить его, подставляя в этот интеграл значения а(В) из выражения (3.68), то получим бесконечность.
Физическую причину этого нетрудно установить. Согласно определению полного поперечного сечения рассеяния оно равно числу частиц потока единичной плотности, рассеиваемых по всем направлениям в' единицу времеки. Но электростатические силы являются силами дальнодействия, и поэтому область, в которой они себя !а 2 Рис. 33. Траектория частицы при рассеянии под действием отталкивающей силы Кулона.
Из рисунка видна связь угла рассеяния с углом между асимптотами. (гл, В пговлемл дв. х тел проявляют, простирается до бесконечности, Вследствие этого очень малые значения Й будут лишь у тех частиц, у которых очень велико з. Следовательно, все частицы потока, имеюшего бесконечно большое поперечное сечение, будут в той илн иной степени рассеиваться кулоновской силой.
Именно поэтому полное поперечное сечение рассеяния получается в этом случае бесконечным. Из сказанного следует, что бесконечное значение аг свойственно не только полю сил Кулона, так как при классическом методе исследования этот результат будет иметь место всегда, когда рассеиваюшее поле отлично от нуля на всех конечных расстояниях (как бы велики они нн были) *). Поэтому только в случае поля ограниченной протяженности, т. е. такого, в котором, начиная с некоторого расстояния, силы становятся равными нулю, полное поперечное сечение рассеяния будет конечным.
Практически это имеет место в электростатическом поле атомного ядра и окру>каюших его электронов, которые «экранируют» ядро и эффективно компенсируют его заряд на больших расстояниях. В 3.8. Приведение задачи о рассеянии к лабораторной системе координат. В предыдушем параграфе мы рассматривали рассеяние частиц в поле неподвижного заряда, т. е. изучали движение одной точки. На практике, однако, в этом процессе всегда участвуют два взаимодействуюших тела, например в опыте Резерфорда мы имеем и-частицу и атомное ядро. При этом вторая частица не является неподвижной, а перемешается в результате взаимодействия с первой.
Но мы знаем, что задачу о движении двух тел, находяшихся под действием центральной силы взаимного притяжения или отталкивания, можно свести к задаче о движения одного тела. Поэтому может показаться, что единственная поправка, которую нам надлежит сделать, состоит в замене массы т на приведенную массу р. Однако в действительности вопрос этот не так прост. Дело в том, что измеряемый в лабораторных условиях угол рассеяния (мы обозначим его через й) есть угол между конечным и начальным направлениями движения частицы*").
В то же время угол (У, вычисляемый по формулам соответствующей задачи для одного тела, есть угол между конечным и начальным направлением вектора, соединяюшего две взаимодействующие частицы, Эти два угла будут одинаковыми только в том случае, когда в течение всего времени рассеяния вто- е) Величина ю получается бесконечной в в случае применения к рассматриваемому полю методов квантовой механики, так как формула (3.63) остаатся здесь справедливой. Однако кулововское поле, созданное неподвижным зарядом, является в агом отношении несколько аномальным. Оказывается, что все силы, убывающие с расстоянием быстрее, чем сила Кулона, приводят в квантовой механике к конечному значению аь ч") Угол рассеяния б ие следует смешивать с угловой координатой б относительного вектора г, соединяющего две частицы, э 3.8) ПРИЕЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАССЕЯНИИ Рас.
34. Рассеяние двух частиц в лабораторной системе координат. г, н о> — — радиус-вектор и скорость частицы ! в лабораторной системе координат; г', и о' ,— радиус-вектор и скорость той же частицы в системе координат, связанной с центром масс частиц; тс и Й вЂ” радиус-вектор и скорость (постоянная) центра масс частиц в лабораторной системе координат. Согласно определению мы в любой момент вреиени будем иметь рая частица остается неподвижной. В общем случае, однако, она находится в покое лишь в начале процесса рассеяния, а затем начинает участвовать в движении этой системы, которое совершается под влиянием сил взаимодействия данных частиц. Из рис. 34 видно, что эти углы будут ииеть тогда различные значения.
Эквивалентная задача о движении одного тела не лайт, таким обра- т зом, того угла рассеяния, который непосредственно измеряется в лабора- — ь — , 'З о' торной системе координат. Однако в системе координат, движущейся вместе с центром масс рассматриваеиых частиц, поло>кение будет совершенно иным. В этой системе общее х количество движения взаимодействующих частиц будет, конечно, равно нулю, т. е. эти частицы будут иметь равные, но противоположно направленные количества движения.
На рис. 35 показана картина рассеяния, представляющаяся наблюдателю, движу>цеиуся вместе с центром масс системы. >>о рассеяния эти частицы движутся навстречу друг к другу, а после рассеяния — друг от друга. Поэтому угол г) между начальным и конечным направлением относительного вектора должен быть таким же, как угол расс> сеяния каждой частицы относительно цент- ра масс системы. Таким образом, зависи- > Ность между углами рассеяния тВ и й можно > получить посредством перехода от системы координат, связанной с центром масс этих частиц, к лабораторной системе координат. Мь> будем пользоваться следующими обозначениями, введенными в $ 3П этой главы: (гл, 3 пгозлемл лзух тел и соответственно тг, = !с+а,. !Сроке того, согласно (3.2) имеем: / и ю,= — и гл 1 Рис.
36. Векторы скоростей н лабораторной системе кооРдинат и з системе коор- Так как рассматриваемая система консердииат, движущейся вместе с центром масс. вативна, то после рассеяния, когда взаимный потенциал частиц будет равен нулю, относительная скорость будет иметь такую иге величину, как начальная скорость тге. Следовательно, после рассеяния будем иметь: и О,= — 0о. и о 'тто касается постоянной скорости центра масс, то она может быть найдена из теоремы о сохранении количества движения, согласно которой (ш г + л'з) тс = шгво откуда Л = ! оз. (3.71) тв Подставив теперь (3.70) и (3.7!) в (3.69), получим соотношение между углами 0 и (з в виде !00=аа!и 8 ги,' соз В -г (3.72) Отсюда видно, чго если т, во много раз меньше те, то эги углы будут приблиаительно равны.
Это объясняется тем, что в случае большого значения лтз частица 2 отталкивается очень слабо и практически может считаться неподвижным центром силы. Так как при переходе к лабораторной системе координат углы рассеяния изменяются, то поперечные сечения рассеяния также будут при этом изменяться. Зависимость между величинами е(ь)) и е'(0) можно получить из того условия, что число частиц, рассеиваемых внутри На рис. 36 это векторное соотношение изображено для момента времени после того, когда уже имело лгеслго рассеяние; в этот момент скорости и, и зт, образуют углы 0 и т) с вектором Л, идущим вдоль начального направления.
С помощью этого чертежа находим: Р о,з!зВ !л.0 .== ., ' ., (3 69) е' ,соз В+!А'! ' ф 3.8! ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАССЕЯНИИ 103 данного телесного угла, должно быть в обеих системах одинаковым. Поэтому можно написать: 2п(е (В) З1п 6 М = 2п/а' (О) гйп О М, илн (3.73) где е'(О) — поперечное сечение рассеяния в лабораторной системе координат. Принципиально равенство (3.72) позволяет выразить Й через О, и тогда а'(Й) можно будет выразить через е(гт), причЕм это можно сделать для произвольного отношения л>>/>ла. При этом ясно, что в слу чае рассеяния а-частиц, исследованном Рззерфордом, соответствующие поправки будут малы, так как и> равно здесь 4 атомным единицам, а те обычно равно не менее чем 100 атомным единицам. Если, однако, эти массы равны друг другу (как в случае системы нейтрон — протон), то соответствующие поправки будут максимальными.
Равенство (3.72) примет тогда вид < а!н6 6 1аО =...,0+1=11 2 откуда О=", (,( е= ). (3.74) В случае л>> =- та максимальный угол рассеяния, наблюдаемый в лабораторной системе координат, равен 90'. Соответствующее поперечное сечение рассеяния будет тогда равно а'(О) = 4 соз Ое(20) (и»>те = 1). (3.70) Описанное рассеяние можно назвать упругим в том смысле, что кинетическая энергия системы остаатся после рассеяния такой же, как и до рассеяния.
Однако скорости частиц в лабораторной системе координат ие будут при этом оставаться неизменными. Рассмотрим, например, рассеиваю>кую частицу, Вначале она находится в покое, а после рассеяния приобретает некоторую скорость, а следовательно, и кинетическую энергию. Но так как кинетическаи энергия системы должна остаться неизменной, то рассеиваемаяп частица должна уменьшить свою скорость и свою кинетическую энергию. Таким образом, процесс рассеяния сопровождается переносом кинетической энергии от рассеиваемой частицы к рассеивающей. Это уменьшение можно вычислить с помощью теоремы косинусов (см.
Рис. 38): и" = и, + )х — 2о>>х соз О„ > 1гл. 31 104 пговлвмл двхх тял или, используя выражения (3.70) и (3.71): Полученное равенство представляет собой квадратное уравнение относительно о,!о,. В частном случае, когда и, = тт, оно имеет следующее особенно простое решение: — '=сов 3 (т,!гл, =!). "о Отсюда видно, что при д =- 90' (в системе, связанной с центром масс, это соответствует отражению назад, т. е. случаю Й = к) имеет место максимальный перенос энергии, при котором отталкивающая частица те получает всю энергию частицы т,.
Перенос кинетической энергии посредством рассеяния имеет место при получении потока медленнь:х нейтронов. Быстрые нейтроны, образованные в результате деления, совершают последовательные упругие соударения. При этом пх кинетическая энергия понижается до уровня, при которол~ нейтрон с большей вероятностью способен на деление, чем на захват (без деления). Лучшими замедлителями служат лйгкие элементы. Наибольшей замедляющей способностью обладает водород. Однако применение его как замедлителя в ядерных реакторах ограниченно, так как он сильно поглощает нейтроны. В этом отношении лучшими являются дейтерий, масса которого равна 2, и углерод, масса которо~о равна 12.
В лабораторных условиях, впрочем, для замедления нейтронов постоянно пользуются водородом в виде предельного углеводорода. Несмотря на свою актуальность, расчеты по переходу от лабораторной системы координат к системе, связанной с центром масс, а также по переносу кинетической энергии не являются особенно «современными» или «квантовыми» по своей природе. Не получила здесь распространения и классическая механика. Вой, что здесь в сущности применяется, †э законы о сохранении количества движения и энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
