Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Независимые координаты твердого тела. Прежде чем перейти к рассмотрению дни>кения твердого тела, установим, сколько нужно независимых координат для задания его положения. Если зто тело состоит из А> частиц, то оно не может иметь более ЗА> степеней свободы, однако в действительности число этих степеней значительно меньше, так как здесь имеются связи, которые можно представить уравнениями вида (4.1) г; ==со, где >.;,— расстояние между 1-й и у-и точками, а г„- — постоянные. Действительное число степеней свободы нельая получить простым вычитанием числа уравнений связи из числа 3>»', так как здесь 1 имеется — А>(М вЂ” 1) уравнений (4.!), что при большом значении 2 Аг превышает ЗАГ.
Это связано с тем, что не все уравнения (4.1) являются независимыми, так как для каждой конкретной точки твердого тела не обязательно определять ез расстояния до всех других точек; достаточно задать ей расстояния до трех любых точек, це лежащих на одной прямой (рис. 37).
Поэтому, если заданы э' 4.1! нвзлвисимыв кооздинлты твйвдого талл 106 положения трйх точек твйрдого тела, то положения всех остальных его точек определяются из условий связи. Следовательно, число степеней свободы тзйрдого тела не может превышать девяти. Однако три основные точки тела также не являются независимыми. Действительно, здесь имеются три следующих уравнения жЕсткой связи, наложенной на эти точки: г>2 — г>2, г>> С2>, Г>> С>з Эти уравнения уменьшают число степеней свободы до шести. Тот факт, что для зздания положения твердого тела нужно только шесть координат, можно было предвидеть, исходя из следующих соображений.
Для того чтобы определить поло>кение одной из точек тела, нужно задать три координаты. Но если поло>кение какой-либо точки 1 будет фиксировано, то положение точки 2 можно будет определить только двумя координатами, так как еэ движение ограничено ж г поверхностью сферы с центром в точке ! . После того как положения точек 1 и 2 г определены, точка 3 получает лишь одну степень свободы, так как она может только вращаться вокруг оси, соединяю- щей точки 1 и 2. Следовательно, в обшей Рнс, 37. Определение поло- сложности нам достаточно иметь лишь женил точки в тзярлом теле шесть координат. посредством задания ее Рас'!'аким образом, для задания положе- тою>ии от трех лРУгнх его точек.
ния твйрдого тела в пространстве требуется шесть независимых обобщйнных координат. Число это не зависит от количества частиц, составляющих данное тело, и остайтся тем же даже в предельном случае непрерывного сплошного тела. Конечно, помимо связей, обеспечивающих жйсткость тела, могут иметься и дополнительные связи. Например, движение тела может быть ограничено некоторой поверхностью или тело может иметь одну неподвижную точку. В этих случаях добазочнь:е связи будут уменьшать число степеней свободы, а следовательно, и число независимых координат. Возникает вопрос о том, как следует выбрать эти координаты. Мы уже отмечали, что положение твйрдого тела полностью определяется положением жестко связанной с ним системы координат (система х'у'з' на рис.
38). Эта система определяет положение твйрдого тела относительно координатных осей куя, связанных с окружающим пространством. Ясно, что для того, чтобы задать положение начала подвижной системы 1связанной с телом), нужно указать три его координаты. Тогда остальные три координаты должны будут определять ориентацию осей х'у'я' относительно (га. 4 кинематика дапжю>!и таагдого тала аа == соч (Р, у) = — а' ° /, (4.2) аа = соз (а", й) = а Ф.
Рис. 38. Наползи>кива система координат и система координат, связаиваа с твердым телом. Вектор а' можно выразить через векторы а', ~, и с помощью соотношений Г = — (С а)а+(( 3)3+(( й)й или а' =- а,г' ( а.,р' а. ааФ. (4.3) Аналогичные выражения можно получить и нусов оси у' относительно осей х, у, г. Они будут компонентами вектора у в неподвижной системе координат, и, обозначив их через,'„ 3„ ;,„ получим: у'=.р>а+'За/+>Зак. (4.4) для направляющих коси> Наконец, обозначив направляющие косинусы оси г' через (>, .(„(а мы получим ещй одно аналогичное уравнение, относящееся к вектору й . Система нз девяти направляющих косикусов будет полностью определять ориентацию системы х'у'г' относительно системы хуг.
С равным основанием мы можем обратить этот процесс и использовать направляющие косинусы для выражения единичных векторов 1,,г', А через их составляющие по случае будем иметь а' = (К ° ( ) а'+ (а' ° у ') у'+ (а .г' Рис. 39. Углы, определи>ощие положение подвижной системы координат относительно иепоааи>кной. осям х', у', г'.
В этом й') Ф'. системы, начало которой находится в точке О', а оси параллельны осям хуг. Существует много способов задания ориентации одной декартовой системы относительно другой, имеющей с ней общее начало. Наиболее удачный иэ них состоит в за> дании направляющих косинусов осей х у г относительно осей хуг. Ось х', например, можно определить тремя ей у' направляющими косинусами а„аа, аа, Если единичные векторы осей х, у, г обозначить, как обычно, через 1, у, Ф, а единичные векторы осей х', у', г'— г7 через а',,~', Й', то эти направляющие косинусы можно записать в виде: х*' х, =- соа (Г, а) = гау а, 1 $ 4.1! ггезлвиснмые коогдинлты тваедого талл 111 или ю=агю +ргу+тгд (4.5) и аналогично для векторов,/ и м.
Направляющие косинусы позволяют также выразить координаты некоторой точки в системе х'у'х' через ей координаты в системе хуа. Так как координаты точки относительно некоторой системы являются проекциями ее радиуса-вектора г на оси этой сгистемы, то х' = ю г', у' —.=- ю. у', или х' ==-а,х+аау гг-алс, 1 — Тгх+ юю.у+ Та' (4.
6) Написанные соотношения справедливы не только для радиуса-вектора г, но и для любого другого вектора. Так, например, если О есть некоторый вектор, то между его проекцией на ось х' и проекциями на оси х, у, а будет иметь место соотношение Ом> = (О ю") =- а, Оа+ ааОа+ аюО,. ю' ю=-,у А'=-лг ю=О и ю 1= — у,у=- А' м.=- ! (4.7) и аналогично для ю', у', м'. Подставив сюда вместо ю', у, к их выражения (ерез ю', у', к' (согласно (4.5)1, мы получим условия, которьнг должны удовлетворять девять коэффициентов а, р, ",: ага +ггтгЗт+'(гТ =О Д т= 1 2 3' 1+т) аю — ! — рю+Та=1 (1=1, 2, 3). ("' ) Аналогичные соотношения можно написать н для Оло и О,.
Таким образом, девять направляющих косинусов полностью определяют переход от одной координатной системы к другой. Если подвижные оси х'у'а' жестко связаны с телом, то девять направляющих косинусов будут функциями времени (так как в процессе движения тело изменяет свою ориентацию). В этом смысле величины а, 1>,; можно рассматривать как координаты, описывающие мгновенную ориентацию тела. Однако ясно, что они не являются независимьгми, так как их девять, а мы знаем, что для определения ориентации тела достаточно задать только три координаты.
Соотношения между направляю>ними косинусами определяются тем обстоятельством, что орты осей каждой системы ортогональны друг дру.гу и, кроме того, имеют единичную величину. Это можно записать в виде равенств: 112 !гл. 4 КИНЕМАТИКА ДВНЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Эти две системы уравнений вполне достаточны для того, чтобы уменьшить число независимых коэффициентов с девяти до трах. формально эти шесть уравнений можно объединить в одно с помощью символа 1(ронекера ен„, определяемого следующим образом: Оз 1 11=ли), Вр — 0 (1~гн).
Если воспользоваться этим символом, то уравнения (4.8) можно записать в виде РЧат+ Р~Рт+ ТЗТт = аиз (4.9) 8 4.2. Ортогональные преобразования. Для более удобного рассмотрения девяти направляющих косинусов целесообразно изменить обозначения и все координаты обозначать символом х, различая их посредством соответствующих индексов. Таким образом, мы будем пользоваться следующими обозначениями: Х вЂ” ЬХМ 1 !4.10) В этих обозначениях уравнения (4.6) примут вид: з х, = а,х, +азха+а,хз, I х, = ~,х, + рзхз+ рзХз, г хз Тгхз+ Тзхз ~ Тзхз (4.1 1) Равенства (4.11) представляют собой формулы перехода от системы Р / координат х,х,х, к новой системе х,х,х,. Они могут служить при- Из сказанного ясно, что, пользуясь девятью направляющими косинусами как обобщанными координатами, нельзя получить лагранжиан и составить с его помощью уравнения движения.
Для этой цели мы должны испольаовать не сами эти косинусы, а некоторую систему трах независимых функций этих косинусов. Некоторые такие системы независимых переменных, из которых наиболее важной является система углов Эйлера, будут описаны нами позже. Однако применение направляющих косинусов для описания связи между двумя декзртовыми системами координат имеет ряд собственных важных преимуществ. Так, например, многие теоремы о движении тзардых тел можно получить с их помощью весьма изящным и общим способом, притом в форме, встречающейся в специальной теории относительности и в квантовой механике. Поэтому этот метод заслуживает более подробного изложения. й 4.2! 113 овтогонАлы!ые пваоьРАЗОВАния мером линейного преоброзованця, определяемого уравнениями вида: т хг = пыхт+ птаха+ пыхз с хг = пгтхг + ыгзхз + юззхз l хз = азгх, + азгхг+ аззхз, ~ (4.12) является при этом преобразовании инвариантной.
Записывая уравнения (4.12) в более компактной форме з хз= .,""а;зх. (1=1, 2, 3), 5зц (4.14) мы для левой части равенства (4.13) получим: ~~Р ~азух551 ~ ~~Р ~нззхз = ~ .Е аз.а;зхух„, — з=г,у з=з б з=з или, изменяя порядок суммирования: У (~ аз5азз) х хв. Полученное выражение будет равно правой части равенства (4.13) только в том случае, если ,"~~а, ац,— — 1 при г'= )з, м~Р ~азуаза = 0 пРи /'Ф 5г *) Уравнения (4.12) являются, конечно, не самыми общими уравнениями преобразования [сзь, например, уравнения (1.3б), описывающие переход от г к в).
где аы, а,г, ... — постоянные коэффициенты *) (не зависящие от х и х'). Уравнения (4.11) являются .тишь специальным случаем уравнений (4.12), так как не все направляющие косинусы являются независимыми. Зависимости между коэффициентами рассматриваемого преобразования (формулы (4.8)1 можно теперь получить, исходя из равенств (4.12).
Так как наши координатные системы являются декартовыми, то в каждой из них величина радиуса-вектора некоторой точки равна корню квадратному из суммы квадратов его составляющих. Но величина вектора не зависит от того, в какой системе координат он рассматривается, и' поэтому она должна быть в этих системах одинаковой. Следовательно, величина з з (4.13) 1гл. 4 1!4 кинемлтикл ЯВижения твевдого талл или, в более компактной записи, если Р',а! а;ь — — 3уь (/, й=1, 2, 3). (4.15) Если фигурирующие здесь коэффициенты а!у заменить коэффициентами и, р,;, то шесть уравнений (4.!5) перейдут в уравнения (4.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
