Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Любое линейное преобразование (4.12) удовлетворяющее условиям (4.15), называется ортогональным, а сами условия (4.15) известны под названием условий ортогональногти. Таким образом, переход от неподвижной системы координат к системе, жйстко связанной с твйрдым телом, совершается посредством ортогональ- ного преобразования. Записывая коэфтг фнциенты преобразования (направляющие косинусы) в виде таблицы ~'а1 а2 а1з !! а21 аю агз ~ (4 16) ! ат азг азз мы получаем так называемую матрицу преобразования, Будем обозначать еа через Д.
Величины а!у называют элементами матрицы преобразования. Чтобы сделать все эти формальные выкладки более наглядными, мы расРис. 40. Поворот плоской сп- смотрим один простой пример. Пусть сте"!и коорл""зт осуп!ествляю рассматриваемое движение является щпй ортогональное преобразоплоским. Тогда соответствующие координатные системы также будут плоскими и, индексы при коэффициентах а!У будут принимать лишь два значения: 1 н 2. Матрица преобразования будет тогда иметь вид: ~~ а„а„', !! а21 а22 Четыре элемента этой матрицы должны быть связаны тремя условиями ортогональности: 2 ~Л~~ а>уа ь — — ьул ( !', й =" 1, 2). 1=1 Следовательно, это преобразование определяется только одним независимым параметром.
Такой вывод не является, конечно, неожиданным, так как переход от одной плоской системы координат к другой осуществляется посредством поворота координатных осей в их плоскости (рис. 40) и поэтому полностью определяется одной й 4.2! ОРРОгонлльные пРКОБРАВОВАнии 1!82 величиной: углом поворота в. Выражая уравнения этого преобразования через параметр е, получим: А', =х,соз 7+х25!Нр, Х2 =- — Хг 51П т+ Х2 С05 тч и, следовательно, п,з —.= БН1 7, П„= СНБО, аы = СОБ Р, (4.17) ая, == — 5!и -, так по матрица А примет вид соз Оу 5!и Р А ==,' 1~ — 5П! Ф СОБ Ф Три условия ортогональности будут здесь иметь внд: апаы+ а„а„= 1, П22П12 + П22П22 а,„а„+ ая,аяя = О и, очевидно, будут удовлетворены, так как, заменяя элементы а! их выражениями (4.17), получаем: соБ" у+5!и я= 1, 5!П2 р+ со52 су = 1, соз вз!п р — 5!и всоз р = О.
Матрицу А можно рассматривать как оператор, который, дейг г г ствуя на систему х,хах,, преобразует ее в систему х,х,х,. Симво- лически это можно записать в виде ра- венства (4.17') (г)' = Аг, (4.18) которое мы прочтем следующим образом: матрица А, действуя на составляющие вектора г в системе хгхах, переводит их в составляющие этого вектора в системе х,'х,'х',, Следует подчеркнуть, что матрица А действовала до сих пор только на координатную систему. Вектор г оставался при этом неизменным, и мы лишь искали его компоненты в ДвУх Раз- Рнс.
41. Интерпретация орличных системах координат. Поэтому век- тогонального преобразоватор г в левой части формулы (4.18) мы ння с помощью поворота вектора г в неизменной снзаключили в скобки, подчаркивая тем самым, что в обеих частях этого равенства фигурирует один и тот же вектор, изменяются только его составляющие. Мы видели, что в двумерном случае это преобразо- (гл. 4 юшемАтикА дВижения тВЯРЛОГО тела ванне является обычным вращением, и матрица А совпадает с оператором поворота в рассматриваемой плоскости. Однако следует иметь в виду, что, не меняя формальной математической стороны, мы можем под А понимать также оператор, действующий иа вектор г и преобразующий его в другой вектор г'.
Это можно ззписать в виде равенства г'=Аг, (4.19) ф 4.3. Формальные свойства матрицы преобразования. Рассмотрим преобразования, соответствующие двум последовательным поворотам твердого тела. Первое из этих преобразований,, соответствующее переходу от г к г', мы обозначим через сз. Тогда будем иметь: г ха=~рауху (4.20) Последующее преобразование, соответствующее переходу к третьей координатной системе, т. е. от г' к г", мы обозначим через А.
в котором оби вектора рассматриваются в одной и той же системе координат. Тогда в двумерном случае мы вместо вращения координатной системы получим врагцение вектора г, который нужно будет повернуть по часовой стрелке на угол р для совмещения его с новым вектором г'. Составляющие нового вектора будут связаны с составляющими старого вектора теми же уравнениями (4.12), которые описывают преобразование системы координат. Поэтому с формальгюй точки зрения мы в уравнении (4.18) не обязаны ставить скобки.
Это уравнение можно писать так же, как уравнение (4.19), и интерпретировать либо как операцию над координатной системой, либо как операцию над вектором. Алгебра соответствующего преобразования не зависит от того, какой из двух точек зрения мы будем придерживаться. Интерпретация матрицы А как оператора, действующего на координатную систему, будет более целесообразна в том случае, когда рассматривается ортогональное преобразование, определяющее ориентацию твердого тела.
С другой стороны, интерпретация этой матрицы как оператора, преобразующего один вектор в другой, имеет более широкое применение. При формально математическом рассмотрении можно пользоваться любой из этих интерпретаций в зависимости от удобства. Нужно, однако, помнить, что смысл операции, представляемой оператором А, будет изменяться при изменении интерпретации.
Так, например, если в одном случае оператор А означает вращение системы координат на угол т против хода часовой стрелки, то в другом случае он будет означать вращение вектора по ходу часовой стрелки. 1!7 В 4,31 ФОРЯАльные сВОйстВА ИАтРицы пРВОРРАзОВАния Тогда аналогично получим: Р1 / х; =- . агаха. й (4.21) Объединяя теперь уравнения (4.20) и (4.21), мы можем получить Ф соотношение между х; и хч х; = ~~~~ аеа ~р~ Ьа х = ~~~~ (~'", а сабь1) х, что можно записать В виде: (4.22) где с; =~аз.ба..
й (4.23) Таким образом, последовательное применение двух ортогональных преобразований А и В эквивалентно третьему линейному преобразованию — преобразованию С. Можно показать, что оно также является ортогональным. (Доказательство мы предоставляем провести читателям самостоятельно в качестве упражнения.) Символически результирующий оператор С можно рассматривать как произведение операторов А и В: С =АВ и элементы с; будут по определению элементами матрицы, получаемой от перемножения матриц А и В.
Заметим, что это «матричное» или операторное умножение не обладает свойством коммутативности, и поэтому в общем случае ВАТВАВ действительно, по определению, элементами преобразования Р = ВА будут 7; =~бг„аа, (4.24) которые в общем случае не совпадают с элементами матрицы С, определяемыми уравнениями (4.23). Следовательно, конечная координатная система будет зависеть от того, какой из операторов А и В действует раньше: сначала А, а потом В или наоборот.
Однако умножение матриц обладает свойством ассоциативности, т. е. при перемножении трах или более матриц последовательность этих умножении может быть выбрана произвольно, что можно записать а виде равенства (АВ) С = А (В С) (4.25) Мы уже говорили, что, записывая уравнение (4.19) в виде г' = А», мы просто пользуемся символическим обозначением для кинематика движения тВеРдОГО телА (гл. 4 118 указания определенной операции Д, совершаемой над координатной системой (или над вектором). Но, расширяя наше понятие о матрицах, можно сделать так, что эта запись будет указывать на действительное умножение: на умножение матриц. Матрицы, рассматривавшиеся нами до сил пор, были квадратными, т.
е. число ил строк равнялось числу столбцов. Однако можно рассматривать также матрицы, состоящие всего лишь из одного столбца, такие, как х1 / и = ха , хз; (4.26) ха Под произведением Дк мы, по определению умножения матриц, будем понимать матрицу, состоящую из столбца с элементами Г (Ах);= Хацх =-хг Поэтому уравнение (4.19) мы сможем записать в виде равенства х'= Ах (4.27) которая должна согласовываться с системой / хл = д аа,хо (4.29) Подставляя в последнюю систему х; из (4.28), получаем: Р '1 / / Г Г У хь = ~, аа; ч~~ а;тху — — ~ ~~я~ аагагт~ хг, 3 у т и так как составляющие вектора г' являются независимыми, то уравнение (4.29) будет справедливым только тогда, когда правая (4,29') рассматривая его как матричное уравнение.
Сложение двух лалгриц не является такой важной операцией, как их умножение, однако оно встречается достаточно часто, Под суммой Д + Ц понимается такая матрица С, элементы которой получаются посредством сложения соответствующих элементов А и ев, Таким образом, можно написать: с;1 — — аГ + ЬТт. Большое значение имеет преобразование, обратное А, т.
е. операция, посредством которой вектор г' преобразуется обратно в г. Это преобразование мы будем обозначать символом А-', а элементы соответствующей матрицы обозначим через а, 'Тогда мы будем иметь сястему уравнений (4.28) э 4.31 еогмлльные свойства млтгицы пгеоБРАзовзния 119 часть его будет тождественно равна х„'. Поэтому при г'=и коэффициент при х' должен быть равен единице, а при ~'Фй — нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
