Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Из формулы (3.51) видно, что малая полуось равна ЗАКОНЫ КЕПЛЕГА и период движения получается равным т =- — Кап зг — = 2пап згг (3.54) Равенство (3.54) показывает, что при заданных )2 и т квадрат периода пропорционален кубу большой оси. Это положение часто называют третьим законом Кеплера ч). Следует, впрочем, заметить, что в действительности третий закон Кеплера формулируется несколько иначе, так как он относится к специальному случаю движения, который рассматривал Кеплер, — к движению планет в гравитационном поле Солнца.
В более точной формулировке этот закон гласит: квадраты периодов обращения различных планет пропорциональны кубам больших осей их орбит. Нужно заметить, что в этой форме закон Кеплера верен лишь прибливгйнно. Следует помнить, что задача о движении планет вокруг Солнца является задачей о движении двух тел, и поэтому величину т в (3.54) нужно заменить на приведйнную массу р, равную т1л12 т1+ тз Массу т, в этой формуле можно считать относящейся к планете, а массу т,— к Солнцу. Кроме того, константу )г мы должны заменить на ~т1т2' (3. 55) что следует из закона всемирного тяготения 1л,тз Тогда равенство (3.54) примет вид: 2яа б 2яа1' 0 (т1+ тз) Г' Отз (3.
56) :) Три заказа Кеплера были установлены нм приблизительно в !610 г. Они явились результатом исследований, прозедаиных им над движением планет, н послужили основой для последующих работ Ньютона. Второй закон Кеплера утверждает, что секториальиая скорость планеты является постоянной. Кзк отмечалось ранее, он справедлив для', любой центральной силы. Однако первый закоя Кеплера (о том, что каз1дзя планета движется по зллнпсу, в одном нз фокусоз которого находится Солнце) н его третий закон справедливы только для тех центральных сял, которые изменяются обратно пропорционально квадрату рзсееояния. Таким образом, если пренебречь массой планеты по сравнению с массой Солнца, то мы получим равенство (3.56), выражающее третий закон Кеплера. Действительно, согласно этому равенству т пропорционально ан, причбм коэффициент пропорциональности одинаков для всех планет.
Но масса планеты не всегда является пгозлемА дВух тнл игл. 3 пренебрежимо малой величиной по сравнению с массой Солнца. Например, масса Юпитера составляет приблизительно У~о от массы Солнца. С другой стороны, третий закон Кеплера будет строго верен для орбит электронов в атоме Бора, так как р и а одинаковы при этом для всех орбит данного атома. ф 3,7.
Рассеяние частиц в поле центральной силы. Исторически интерес к центральным силам возник из астрономических задач о движении планет. Однако нет оснований считать, что интерес к этим силам ограничивается лишь задачами такого рода. Мы уже указывали на другой пример применения теории центральных сил— задачу о движении электрона в атоме Бора. Мы сейчас рассмотрим еще одну задачу о центральных силах, допускающую решение с позиций классической механики. Это — задача о рассеянии частиц в поле центральной силы. Конечно, если эти частицы имеют масштабы атома, то следует ожидать, что некоторые результаты классического исследования будут часто физически неправильными, так как квантовые эффекты з этих случаях обычно значительны.
Тем не менее, имеется много классических положений, которые остаются верными и здесь и поэтому могут служить в качестве достаточно хорошего приближения. Проблема рассеяния касается отклонения частиц под действием центральной силы. Мы рассмотрим однородный пучок частиц, например, электронов или а-частиц, обладающих одинаковой массой и одинаковым законом изменения энергии И в зависимости от расстояния г до центра силы. Силу эту мы будем предполагать стремящейся к нулю при г-ьоп, Поток частиц мы будем характеризовать его интенсивностью У (эту величину называют также плотностью потока), которая равна числу частиц, проходящих через единичное поперечное сечение потока в единицу времени.
По мере приблимгения частицы к центру силы она будет притягиваться им либо отталкиваться и траектория ей будет отклоняться от начальной прямой линии. Затем частица станет удаляться от этого центра, и действующая на ней сила в конце концов уменьшится настолько, что траекторию можно будет опять считать прямолинейной. В общем случае конечное направление ев движения не будет совпадать с начальным, т. е.
будет иметь место некоторое отклонение. Поперечим.и сече- наем рассеяния з данном направлении мы будем называть величину о(2), определяемую равенством о (2) а1й = чнсло частиц, проходящих через телесный угол ий зв единицу времени плотность потока (3.57) где 42 †элементарн телесный угол в направлении й. Величину оф) часто называют также дифференциальным поперечиьсм сечением рассеяния. В случае поля центральной силы должна ч 3.7) ялссеянна члсыщ в пола нантялльной силы 9 быть полная симметрия относительно оси потока, и поэтому элементарный угол пч) но>нет быть записан в виде а'О = 2п е1 и () г(0, (3.
58) где (т — угол между конечным и начальным направлениями движения, известный как угол расселяли. Заметим, что термин «поперечное сечение» оправдывается тем, что о(й) имеет размерность плошади. Константы траектории каждой частицы, а следовательно, и угол О определяются энергией н кинетическим моментом этой частицы, Последний удобно выра;кать через энергио и так начывземый Рнс.
31. Рассеяние пучка элементарных частиц пол действием центральной силы. параметр соударенин з, равный расстоянию от центра силы до прямой, по которой начинает своЕ движение рассматриваемая частица. Если начальную скорость этой частицы обозначить через пе, то будем иметь: (3.59) ( = шп.з = е У 2шЕ. Величины Е и з однозначно определяют угол г) ь). Поэтому число частиц, рассеиваемых в телесном угле ггй, заключанном между (т и (т' + й), должно равняться числу частиц, для которых параметр з лежит в пределах между з и з +г(з (значения параметра л, соответствующие углам г) и 6 + гйт). Таким образом, будем иметь: 2пй гУл = — 2 ко (()) 1 з1 п (8) Ю.
(3.60) (Знак минус в правой части этого равенства объясняется тем, что при увеличении параметра е на частицу действует меньшая сила, в результате чего происходит уменьшение угла (),) Если з рассма- *) В втом пункте классическая механика расходится с квантовой. Существенная особенность квантовой механики состоит з том, что з ней нельзя вполне определить траекторию какай-либо конкретной точки. В квантовой механике можно говорить лишь о вероятности рассеянпя в том или ином направлении.
(гл. 3 пгозлзмл двгх тзл и тогда функция а(В) будет опреде.ляться равенством ез а (Й) == — — — . з1п Не'Н ' (3. 62) В качестве иллюстрации рассмотрим важную в историческом отношении задачу о рассеянии заряженных частиц электрическим полем неподвижного заряда (поле Кулона). Допустим, что величина этого заряда равна — хе, а заряд каждой летящей частицы равен — 2'е. Тогда сила ) будет равна ,хГ~ез У== — ' ге т.
е. будет силой отталкивания, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния. Поэтому мы можем воспользоваться результатами предь1дущего параграфа, положив й = — гХ'е'. (3.63) Уравнение орбиты (3.46) принимает вид: 1 тГЕ'ез — (! +зсозб), (3.64) где з равно и (ЕЕ'ез)я У + ~22~ее/ (3.65) а 6' мы считаем равным нуно, чего всегда можно добиться соответствующим поворотом полярной оси. Уравнение (3.64), как и ураннение (3.46), определяет коническое сечение, а именно гиперболу, так как з ) 1. Однако в правой части этого уравнения стоит знак минус и, следовательно, допустимыми значениями 6 являются лишь > те, для которых 1 соз й С вЂ”вЂ” (3. 66) (рис. 32). Отсюда следует, что центр Рис.
32. Область изменения силы находится в данном случае во вне 0 для рассеяния пол лейстзиеч отталкивающей силы нем фокУсе гиперболы (Рис 33), а не Кулона. во внутреннем, как было в случае силы притяжения (см. Рис. 23). Изменение угла 6 в случае, когда частица приходит из бесконечности и, отклонившись от первоначального направления, вновь уходит в бесконечность, почти равно углу Ф между асимптотами, тривать как функцию энергии Е и соответствующего угла (4, то можно будет написать: з =е(й, Е), (3.61) в 3.71 Рассеянна частая, в подь цвнтьальной силы который в свою очередь является дополнением угла ст до 180'.
Поэтому на основании равенства (3.66) и рггс. 32 будем иметь; Ф . 8 1 соз — = 3!и — = —, 2 2 ь ' или ,сг и сглаз —,. = созесг — — 1 .—.. вг — 1, 2 откуда Н 2Еь С1а —, " 2 ЛЕ'сг' (3.67) '!'еперь мы легко можем найти функцию г(81).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
