Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Так, например, если движение точки ограничено перемещением по некоторой движущейся кривой, то в каждый момент времени й реакция связи будет норма.тьна к этой кривой, однако перемещение точки за время ггг уже не будет направлено по касательной к ней (рис. 18). Потенциал подобных реакций связи будет изменяться со временем, и поэтому весьма существенно, входит ли в «полную энергию» этой системы доля, обусловленная реакциями связей в). Злдлчн 1. Локвзать, что яратчайшим расстоянием межлу двумя точкамп пространства янляется длина отрезка прямой, соединяющей эти точки.
2. Показать, что геодезвчесшгми линиями сферы являются окружности, центры которых совпадают с центром сферы (большие круги). 3. Закончить решение задачи о брахистохроне, начатое в й 2.2, и показать, что искомав кривая является циклоидой, точка заострения которой пахолится в начальной точке движения. Показать, кроме того, что если лви. г жеане начинается с кинетической энергией — то, то брахистохрона также а булет цнклоидой, ио то ша заострения ес буде~ находиться ца высоте 㫠— — пад начальной точкой дви'кения.
)я о 4. Решая н й 22 зада ~> об экстремуме интеграла ~ гдх, мы считали, д> что г'=- Г(х, у, у), где у = —. Показать, что если функция у содергьчгт еше дх у = —,, то сравнение Эйлера — Лагранжа булет' иметь вид: дхз ' ав дгУ д дУ дУ дхз дуз дх ду д> 5. Из опыта установлено, что, падва без начальной скорости, мате- риалы<ая точка проходит путь уа за времн «в = аг — Прелположим, далее, / 2ув, К что лля учиуа время падения еа неизвестно н что о зависимости у от Г известно только то, что она имеет вид у = ас+(гтз. Показать, чго если е) Следует заметить, что формулы перехода к обобщенным координатам могут содержать время нвным образом и по причинам, отличным от движения связей, например в случае вращающихся координатных осей.
Тем не менее, может случиться, что лаграпжиан не будет при этом содержать времени явным образом. Величина Ут будет тогда постоянной, но так как Т не будет прп этом однородной функцией скоростей, то Н более уже це будет равно Т+ )г. Ясно, что энергия системьг также будет в этих случаях постоянной. Использование, например, вращающейся системы коорлинат оказывается удобным в математическом отношении и не изменяет, коне шо, физического существа явления (см. гл. 8), 7О ггавнвния лагганятд и Вагидционные нгницнпы (гл.
2) постоянные а и Ь выбрат~ так, чтобы время падения с высоты уэ было равно указанному значению та, то интеграл т, Х'" а будет иметь экстремум только нрп а = 0 и Ь =- —, т, е. ири истинных зна- К 2 ' чениях этих коэффициентов. 6. В случае, когда силы действуют в течение весьма короткого промелютка времени (например, яри ударе двух тел), их называют ижлульспвньтзти. Под нмнульсоч силы Р понимается интеграл ат где от' — бесконечно малый промеятуток времени, в течение которого лействует эта сила. Показать, что при наличии импульсивных сил уравнения Лагранжа можно записать в виде где индексы т и т относятся к состоянию системы до н после приложения импульсивных сил, Яу обозначает импульс обобщенной силы, соответствующей координате (тзч а й — лагранжиан системы с учсточ всех неимиульсивных сил, не зависяи1их от скоростей.
7. Тяжелая материальная точка скатывается с вершины круглого нерпы кального обруча, Вычислить реакцию обруча с помощью метода неоиределепных мноятителей Лагранжа. Найти высоту, иа которой материальная точка покидает обруч. 8. Тяжблая материальная точка движется по внутренней поверхности параболоида, ось которого вертикальна, а вершина находится на поверхности Земли. Составить лагранжиан и найти реакция связи с помощью метода множителей Лагранжа.
Показать, что давление точки на поверхность параболоида пропорционально радиусу кривизны параболы в этой точке. 9. Пусть потенциал, фнгурирующий в таграижиаие, содержит члены, зависящие от скорости„и пусть б будет координатой, характеризующея поворот системы в целом. Показать, что соответствующий обобщбнный импульс рэ будет не обычным кинетическим моментом т'.а, а будет определяться равенством р йэ )э,'а (гт Х рш(у) где рч — градиент, полученный посредством дифференцировании по составляющим скорости, а м — единичный вектор вдоль оси вращения.
Если силы имеют электромагнитную природу, то обобщенный импульс будет равен рэ = уз+ ~)' а ~гт Х вЂ” "г дт) Ю. Пусть система такова, что У= чР г (У ) б', ('=-.д,'('т()т). з ч Показать, что уравнения Лагранжа распадаются в этом случае на ряд независимых уравнений, решение которых всегда ьгожно свести к квадратурам. 71 Рвкомвнд>'ямля .читвглтуРА Рекомендуемая литература Н.
Магйе пап п О, М. М игр Ь у, ТЬе Ма>йешапсз о1 РЬуз1сэ апд СЬегп!эму. По вариационному исчислению имеется много книг, однако в большинстае случаев они в математическом отношении далеко выходят за пределы того, что нужно для изложения принципа Гамильтона. Краткое изложение этого вопроса, содержащееся в главе 6 указываемой книги, является более чем достаточным для наших целей. О. А. В11зз, Са!оп!из о! '>>аг>а!!опэ. В этой книге довольно подробно расслютрепы экстремальные задачи, которые привели к созланию нарнационного исчисления.
Е. Т. !К Ь11>а нег, Апа1унса! Месйап>сз В отношении большпнстна вопросов, рассмотренных в настоящей главе, эта книга является, пожалуй, очной нз лучших. Теоремы о сохранения изложены в ней в главе 1!1, а принцип Гамильтона как следствие уравнений Лагранжа — в главе!Х. А, Б о гп ш е г1е 1 6, Чо>1еэнпдеп бЬег ТЬеоге!ВсЬе Рйуз>Ь, т. 1, МесЬап>й ай Книга представляет собой прекрасный учебник, написайиый в характерном для автора отличном стиле.
К сожалению, в пей рассмотрены не все вопросы, представляющие и>перес, н, кроме того, можно было бы пожелать некоторых изменений н выборе и распределении материала этой книги, однако вряд ли можно высказать недовольство изложением тех вопросов, которые там затронуты.
В отношении материала данной главы в э>ой книге особенно интересны разделы ЗЗ вЂ” 36. Ч>. Е. В у е г! у, Оепегайхеб Соогб!па>ез. Неболыпая книга, особенно полезная благодаря подробяым примерам решения механических залач метолом Лагран>ка, Лосздным недостатком этой книги являются неулачные обозначения, несколько затрулняющие ее чтение. "чг.
Р. О з я о об, Месйапюэ. В втой кинге представляет шперес глава Х, в которой рассмотрено обобщение урзвнений Лагранжа на случзй неголономных систем с применением метода неопределбнных множителей Лагранжа. Н. Р. О!зон, Оупаш!са1 Апа1ой!ез.
В этой книге весьма подробно рассмотрены системы электрических колебательных контуров, эквивалентных данным механическим и акустическим системам. Кроме того, автор показывает, яак методы исследования этих электрических систем применяются к решению чисто механических нлн акустических задач. Л 3. ТЬоаэоп, Арр1!сапопэ о1 1уупап>!сз !о Рпужсз апб Сйеш!з>гу, Эта книга предстзвляет собой небольшой том, в котором изложены первые исследования автора.
Многообразие различных химических, термодннамических и электрических залач антор пытается охватить здесь олним методом — посредством составления лагранжиана. Однако он не применяет это~о метода к силовым полям, т. е. не рассматривает наиболее плодотворного в настолщее время принципа Гамильтона. Современному читателю изложение этой книги может показаться несколько блелным. ") Имеется русский п ре вод; А. 3 о и ч е р ф е л ь д, Механика, ИЛ, ! 95! Гллйд 3 ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ Для иллюстрации изложенных методов рассл>отрим в этой главе задачу о двух телах, движущихся под действием взаимного притяжения или отталкивания.
Следует заметить, что задача о дан>кении тела под действием центральной силь> не всегда решается в элементарных функциях. Однако мы попытаемся исследовать эту проблему настолько полно, насколько это позволяют известные методы. В 3.1.
Сведение проблемы к эквивалентной задаче для одного тела. Рассмотрим консервативную систему, состоящую из двух точек с массами т> и л>х. Единственными силами, действующими на эти точки, мы будем считать силы, обусловленные потенциалом взаимодействия 1г, относительно которого мы будем предполагать, что он является функцией вектора г, — г,, относительной скорости л, — г, н производных более высокого порядка от г, — ге. Рассматриваемая система имеет шесть степеней свободы и, следовательно, характеризуется шестью независимыми обобщенными координатами.
В качестве таких координат мы выберем три составляющих радиуса-вектора И, идущего в центр масс системы, и три составляющих вектора г= — гя — лы Тогда лагранжиан этой системы будет иметь вид 7.= Т(Гч, г) — )г(г, л, ...). (3.1) 1(инетическая энергия этих точек морис.19. Координаты системы з задаче о двух телах. >нет быть представлена в виде суммы ки- нетической энергии движения центра масс и кинетической энергии движения системы относительно центра масс. Таким обрззом, будем иметь Т=- —,(т>+т,)А>х + Т', 1 73 а 3.2! яглвнения движения и пяевьш интеггллы где Т' — ! т,г', . ( 1 т,г,', 2 ' ' 2 а г', и г' — векторы, идущие к точкам 1 и 2 из нх центра масс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
