Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, мы описали движение двух различных физических систем посредством одного и того же лаграижпана. Отсюда следует, что все результаты и методы исследования, связанные с одной из этих систем, могут быть непосредственно применены и к другой. Так, например, для изучения рассмотренных выше электрических контуров был разработан целый ряд специальных методов, которые применимы и к соответствующим механическим системам.
Таким путем было установлено много аналогий между электрическими и механическими или акустическими системами. В связи с этим термины, применяемые при описании электрических колебательных контуров (реактанс, реактивное сопротивление и т. д.), вполне допустимы и в теории механических колебательных систем «). Возможны, однако, и другие обобщения класащеской механики, порождаемые более тонкой аналогией. Мы видели, что принцип Гамильтона дабт возможность компактно и инвариантно сформулировать уравнения механического движения. Полобная,возможность имеется, однако, не только в механике. Почти во всех областях физики можно сформулировать вариационные принципы, позволяющие получить «уравнения движения», будь то уравнения Ньютона, уравнения Максвелла или уравнения Шрйдингера.
Если подобные вариацнонные принципы положить в основу соответствующих областей физики, то все такие области будут обладать в известной степени структурной аналогией. И если результаты экспериментов указывают на необходимость изменения физического содержания тои или иной теории, то эта аналогия часто показывает, как следует произвести подобные изменения в других областях. Так, например, эксперименты, выполненные в начале этого века, 'уназали на то, что как электромагнитное излучение, так и элементарные частицы обладают квантовой природой.
Однако методы квантования были сначала развиты для механики элементарных частиц, описываемой классическими уравне- 1!иями Лагранжа. Если электромагнитное поле описывать с помощью ») Лля более подробного ознакомления см. Н. 1'. 0!зол, Г!упап1!са1 Дпа!ой)ее, Нью.йорк, 1946. (Имеется русский пере»оп: О л ь с о и Гарри Ф., Лляамп ~ескпе аналогию М., 11Л, 1947.) 6 2.6! Гепеечы и пн' влнепни; своисгвх снммьтгии б! лагранжпана и варнацнонного принципа Гамильтона, то мстодачи квантования элементарных частиц можно будет воспользоваться для построения квантовой электродинамики (см. э 11.6).
!(ды у,, ..., ды гл, ..., г) =сопя!, (2.40) представляющие дифференциальные уравнения первого порядка. Эти первые интегралы представляют известный интерес, так как они дают некоторые физические данные о движении системы, В дальнейшем мы увидим, что они включают в себя и законы о сохранении, полгченные в главе 1. Рассмотрим теперь систему, находящуюся под действием консервативных снл (потенциал которых зависит только от положения системы).
В этом случае будем иметь дб дт' дК дТ д сч 1 — — — — — — — т -тля~~хе-!-у'.-!-ге)=и.хг=р дх; дх, дх, дх~ дх, 2 где р, — х-компонента импульса, необходимого для создания коли. честна движения гпгятп Основываясь на этом соотношении, можно обобщить понятие импульса.
Под обобщдяным илпульсом или о!уоА аядммылг яоличяслгвом двмлсмния понимают величину дЕ Р' д дя. (2.41) 9 2.6. Теоремы о сохранении; свойства симметрии. До сих пор мы занимались главным образом получением уравнений движения и очень мало говорили о методах их решения в тех нли иных конкретных случаях (для которых эти уравнения уже получены), Вообще говоря, этот вопрос является математическим. Мы видели, что система с а степенями свободы будет описываться п дифференциальными уравнениями второго порядка относительно времени.
Решение каждого такого уравнения потребует двукратного интегрирования, что приведат к появлению (для я уравнений) 2л постоянных. В каждом конкретном случае эти постоянные будут определяться начальными условиями, т, е. начальными значениями и координат пд и а скоростей д, В некоторых случаях эти уравнения можно проинтегрировать в элементарных функциях, однако это удается сделать далеко не всегда; в большей части случаев этп уравнения оказываются непнтегрируемымн. 1!о даже в этих случаях часто удаатся получить достаточное количество сведений относительно физической картины изучаечого движения.
Эти сведения могут в ряде случаев иметь для физиков больший интерес, нежели точное знание функций дг(С). Поэтому важно знать, как много сведений можно получить относительно движения данной системы, не интегрируя полностью ее уравнений. Во многих задачах можно сразу получить первые интегралы уравнений движения. Мы имеем в виду соотношения вида жавнвния ллгзлнжл и злгилцнонныг. пз!!нципы !г.т. 2 "!'акил! образом, каждой координате !)1 соответствует обобщенный импульс рр Величину р.часто называют также наноничеснил! импульсом или импульсолг, соотзегнсгизуюгциж координате ()р Заметим, что если д) не есть декартова координата, то ру может и не иметь размерности импульса. Кроме того, если потенциал системы зависит от скорости, то даже тогда, когда д является декартовой координатой, соответствующий обобщенный импульс не будет совпадать с обычным импульсом в механическом смысле этого слова. Так, например, в случае частиц, находящихся в электромагнитном поле, лагранжиан имеет вид Е= ~~ — ш,г,— ~ игр(х!)+~ — "! А(х!) г! (см.
(1.61) ). Поэтому обобщенный импульс, соответствующий координате х!, будет равен р,м =- —, =- щ;х, + — ' ад згл, (2.42) дх! с т. е, механическому импульсу плюс некоторый добавочный член. Если лагранжиан системы не содержит некоторой координаты !)у (при этом он может содержать соответствующую скорость а)), то эту координату называют циклической или игнорируемой.
(Термин «циклическая координата» не является общепринятым *), но он до- вольно распространен, и мы будем им пользоваться). Уравнение Лагранжа и дт. дт. — — — — =О и) бду будет для такой координаты иметь вид г! д). — — =О, иг дауд илн "рг =О, иг откуда (2.43) ру — — сон з!. ») Понятии гпиклическая коордииатаз и !игнорируемая коордииатаз обычно считаются тождественными и имеющими указанный выше смысл. Однако некоторые авторы делают различие между лима понятиями, определяя циклическую координату как координату, не входящую в кинетическую энергию Т, а игнорируемую координату — как координату, не входящую в лагранжиан (см. )Чева ! ег, Тпе Оупзт!сз о! Раж!с!ез (имеется русский перевод: Вебстер А, Механика материальных точек твердых, упругих и жидких тел, М.— Л., ГТТИ, 1933) и Вуег!у, лепета!!тел Соогб!па!ее).
Эймс и Мзрнаган (А а е з и М п г п а к Ь а п, Тдеоге[ыз! Месйап!сз) пользовались обоими этими терминами, считая их эквивалентными, но, по-видимому, яоиимали под этим такие координаты, которые ие входат в Т. и' 2.61 твогамы о сохглнании; своиотвл симматгяи р = тх + — = сопв1 йАх (2.44) и, как показывает эта формула, он не является обычным механическим количеством движения тх, а отличается от него на величину — «). аАх с Покажем теперь, что теоремы о сохранении, доказанные нами в главе 1, $2, могут быть получены из равенства (2.43) для цикли- ЧЕСКИХ КООРДИНат, ВЫбЕРЕМ ДЛЯ ЭТОГО ОбпбшВЫНУЮ КООРДИНатУ ду таким образом, чтобы дифференциал ей сьуу был равен перемещению «) Основываясь иа классической электродянамлке, можно показа~ь, что ЧАх если А и «не зависят от к, то величина — будет равна х-компонеите с электромагнитного импульса поля, связанного с зарядом в. Таким образолп мы л1ожел~ сформулировать следующую общую теорему о сохранении: Если координата ду является Пиклической, то соответствуюи1ий обобисеннллй и.инульс остаетсн аостояннылс.
Равенство (2АЗ) представляет собой первый интеграл типа (2АО) и оно может быть использовано для формального исключения циклической координаты. После такого исключения мы получим систему уравнений, содержащих только оставшиеся нециклические координаты, и задача сведется к решению этой системы. В связи с этим Раусом был предложен метод, состоящий в такой модификации лагранжиана, при которой исчезают функции циклических скоростей ду, а вместо них появляются соответствующие импульсы рр Преимушество такого приема состоит в том, что он позволяет рассматривать эти импУльсы Ру как постоЯнные интегРиРованиЯ, и тогда последУющее интегрирование будет относиться только к нециклическим координатам.
Подробное рассмотрение метода Рауса мы отложим до тех пор, пока не познакомимся с так называемым гамильтонианом, с которым этот метод тесно связан. Заметим, что условия, при которых справедлива теорема о сохранении обобщенного импульса, являются более общими, чем те, при которых верны теоремы о сохрзнении количества движения и кинетического момента, полученные ранее.
Так, например, полученная сейчас теорема о сохранении справедлива и тогда, когда нарушается закон равенства действия и противодействия, что имеет место при наличии электромагнитных сил. Пусть, например, мы имеем свободную частицу, находящуюся в электромагнитном поле, причам функции х н А не зависят от х. Тогда х не войдат и в Е и, следовательно, эта координата будет циклической. Поэтому соответствующий обобшйнный импульс рх должен оставаться постоянным. Согласно (1.61) этот импульс равен гглвнвния лхгглн>к> и вленхционнь>е пгн>н>ппь> 1..2 >>4 рассматриваемой системы как одного целого в заданном направлении. Примером такой координаты может служить одна нз декартовых координат центра масс системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
