Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Тогда ясно, что >) не будет входить в выражение для Т, так как смещение системы в целом не ду влияет на скорости еа точек. Поэтому — будет равно нулю. Кроме '. дду того, потенциал системы (т мы будем считать не зависящим от скоростей (чтобы исключить такие аномальные силы, как электромагнитные). Тогда уравнение Лагранжа для рассматриваемой координаты >уз будет иметь вид — =р.= — — =(;>,. (2.45) дТ дэ лг дд длу — у Пока>кем теперь, что зто уравнение выражает теорему о количестве дан>кения, т. е. что 1;>> представляет сумму составляющих всех сил в направлении >>;, а р -составляющую количества движения системь> в этом >ке направлении.
Мы знаем, что обобщенная сила 1,~; определяется равенством Рис. 16, 1!змененне радиуса- вектора точки при поступательном перемещении системы. 1'1=24 >'д доз ' дт, . т> (д>+ Аут) — тг (л ) а~,п — 1!ш дту лд ., О дДт Иду где а — единичный вектор в направлении перемещения д>),. Следовательно, Таким образом, с;>у, как это утверждалось выше, есть составляющая полной силы Р в направлении и. Чтобы доказать вторую половину нашего утверждения, заметим, что если кинетическая энергия 7 имеет вид Т= 1 ~~> тлзтаы Но так как в данном случае г(>)1 есть перемещение системы вдоль некоторой оси, то векторы т;(>уз) и тч(1>~+А)1) будут выглядеть так, как это показано на рис.
1б. Поэтому, дифференцируя т; по (>р получаем 2.61 ТЕОРРМЫ О СОХРЛПЩ!ИИ; Сзойсгзз СИММЕТРИИ то обоб!цйнный импульс, соответствующий координате !гг, можно на основании (1.48) записать в виде дТ ъ~ дг! ъ ! дгг Тогда из (2.46) получим: р! — — а ~ лг!я!!. Таким образом, мы доказали вторую часть сделанного утвермгдения, что р, есть составляю!цая полного количества движения системы в направлении и.
Предположим теперь, что рассматриваемая нами координата у~ является циклической. Тогда !г~ не войдст в У, и, следовательно, будем иметь ды — — — = О.= О. д4. В этом случае мы получаем обычную теорему о сохранении количества движения, утверждающую, что если одна из составляющих полной силы Г будет равна нулю, то соответствующая составляющая количества движения будет постоянной. Аналогично можно показать, что если циклическая координата д такова, что Ф!Уэ соответствУет вРащению системы вокРУг некотоРой оси, то равенство рг — — сопй выражает теорему о сохранении кинетического момента системы.
Докажем это. Рассуждая так же, как и раньше, мы приходим к выводу, что координата д~ не может входить в выражение для Т, так как поворот системы не может влиять на величину скоростей ей точек. д!' Следовательно, — должно равняться нулю, а так как К не зависит ду~ от !г„то мы опять получаем уравнение (2.45). Но так как От является теперь угловой координатой, то нам нужно показать, что обобнгйнная сила ь!! будет суммарным моментом всех сил относительно оси вращения, а р~ — полным кинетическим моментом системы относительно той же оси.
Обоб!ценная сила Я, как и ранее, равна но производная — имеет теперь другой геометрический смысл. Измедг, дяу пение координаты !у означает теперь бесконечно малый поворот вектора Г! при сохранении его длины, и поэтому будем иметьп 1 дГ! ! = Г! 5!П 0 О!(г хвлвнения лап лнжл и влеилцнонныа пгинципы ~гл. 2 (рис.
17). Следовательно, Р1="е-гад причем направление этого вектора будет перпендикулярно к г, и и. Учитывая это, мы можем написать дгг — =-п Х.; дч1 ('2А7) и тогда получим Ь~=ХГ; п Х~,=-Хп ~с ХГп или (~л — — а ..~~ Аге = — п Ф, что доказывает первую часть нашего утверждения. Совершая затем аналогичные преобразования над величиной р, получаем Р~ — — . — — 7 туг ° —" = 7 и ° г;Х т1п,=.н ° ~ 7.г — — п ° Е. Таким образом, доказана вторая часть сделанного нами утверждения.
Итак, если угловая координата дг будет циклической, то обобщенная сила г~ч являющаяся моментом всех действующих сил относительно оси и, будет равна нулю; кинетический момент системы относительно оси п будет при этом постоянным. Таким образом, мы вновь доказали теорему о сохранении кинетического момента, получив еа из общей теоремы о сохранении для циклических координат. Циклические координаты, описывающие перемещения или арап~ения, играют важную роль при исследовании свойств системы.
Поэтому онн заслужнва|от того, чтобы на них остановиться несколько подробнее. Если координата, описывающая перемещение системы, является циклической, то зто означает, что перемещение системы как тварднуса-вектора точки прн лого тела не отражается на еа динамических повороте системы. характеристиках. Вследствие этого, если система инвариантна относительно перемещения вдоль данного направления, то соответствующее количество движения сохраняется постоянным. Аналогично, если циклической координатой будет координата, описывающая поворот (и поэтому будет оставаться постоянным кинетический момент системы), 9 2.91 теоеьмы о сохгхненин; свойства симметени бу Но согласно уравнениям .'!агранжа де и де В~, дГд', ' и поэтому можно написать И, .ч и д2 .
-г дЕ ив — = ~ — —.ч +) — — — — ', м;а ит дв. " ~"а дв в или Отсюда и, следовательно, ъч дУ. Š— т гт —.= — Н, дй, (2.49) где Н есть некоторая постоянная. Это уравнение можно также записать в виде Н=~~" ,а р, — Е Ф (2.50) то система будет инвариантна относительно вращения вокруг данной оси.
Таким образом, теоремы о сохранении количества движения и кинетического момента тесно связаны со свойствами симметрии системы. Если, например, система обладает сферической симметрией, то мы можем сразу утверждать, что все составлягощие ей кинетического момента будут оставаться постоянными. Если же система симметрична только относительно оси а, то неизменным будет оставаться только кинетический момент Е,, и аналогично для других осей.
С зависимостью между постоянными, характеризующими движение, и свойствами симметрии мы еще несколько рав встретимся. Другой теоремой о сохранении, которую мы такгке получим сейчас с помощью лагранжиана, является теорема о сохранении полной энергии консервативной системы, рассмотрим консервативную систему, для которой Р= — 'г'Г, где à — функция, не зависящая от скорости. Кроме того, введем дополнительное ограничение, потребовав, чтобы связи не зависели от времени.
Тогда Е не будет дб явно зависеть от г, и производная — будет равна вт Н, Ъч И. дй ьт дУ. ие ит Л в дй. ит .Ьв' д,~ дг Ф РРлвнвния ЛАГРлнжА и ВЬРНАционные НРинципы 1гл, 2) Таким образом, мы получили первый интеграл уравнений движения. Пока1кем теперь, что правая часть равенства (2.50) представляет собой полную энергию рассматриваемой системы. Для консервативных систем (Г не зависит от скоростей д ) имеем: ~И. дТ Р,г = д6 дд, ' и поэтому первый член правой части (2.50) равен ду дву Но в Э 1.6 было показано, что если связи не зависят от времени 1или, точнее, если формулы (1.Зб) не содер1кат явно 11, то кинетическая энергия Т есть однородная квадратичная функция д . 1Аалее следует вспомнить теорему Эйлера, согласно которой для всякой однородной функции Д1ут) справедливо тождество ду 11 д 11 где и — порядок однородной функции. В данном случае и равно дзум и, следовательно, ) 1У = 2Т.
('2.5!) дну Отсюда Н=2Т вЂ” (т — )У) =- т+1. (2.52) Рвс. 18. Это равенство выражает теорему о сохранении полной энергии системы. Эта теорема получена сейчас более строгим путам, чем в главе 1, и мы видим, что, кроме консервативности сил, здесь нужно потребовать ещй, чтобы связи не зависели от времени. В сущности эти теоремы говорят не совсем об одной и той же энергии. В теореме, сформулированной нами ранее, изменение энергии системы определяется работой всех сил, включая реакции связей. Здесь же в новой формулировке энергия ьг определяется работой лишь активных сил и не включает в себя работу реакций. При связях, не аависящих от времени, между этими теоремами нет существенной разницы, так как мы знаем, что реакции связей, не зависящих от времени, не совершают работы при виртуальных перемещениях н поэтому их потенциал является величиной постоянной. Однако если имеется движущаяся связь, то еа реакция может не быть перпендикулярной к действительному перемещению, и поэтому работа, совершаемая 69 задачи такими реакциями, может быть отличной от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
