Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Следовательно, принцип Гамильтона в форме (2.17) можно сформулировать следующим образом: интеграл от суммы вариации кинетической энергии и виртуальной работы, обусловленной вариацией, должен равняться нулю. Вариации багз можно выразить через Ь~у~, пользуясь уравненняьщ, связывающими г и д, причем каждое значение о будет сввзано с выбранной траекторией посредством параметра щ г4 г (Ч1 (2 ") г! Однако, воспользовавшись эквивалентностью вариаций огч и соответствующих виртуальных перемещений, можно зту процедуру сократить. Действительно, ранее было показано, что ~гт ° йг = ~(~ йо~ Следовательно, уравнение (2.17) можно записать в виде а г (2.19) Можно показать, что в случае, когла силы Яг имеют обобщенный потенциал, уравнение (2.19) приводится к принципу Гамильтона в обычной форме.
Действительно, интеграл от виртуальной работы будет тогда равен з 2 ~ У, , = У, , ~ аль' е дь'~ У,я дд1пг= — ~ У, 3д ~ — — — —.)ж, ля ~длу ЛГ дд~ и, интегрируя по частям, будем иметь — ~ ( — аут+ —. йд ) Ж = — 3 ~ Ъ' Н. / ~да~ дл~ Уравнение (2.19) принимает вид 2 й ~ Тг1Т вЂ” й ~ Ъ' Ф = б ~ б г71 = О, г 1 который совпадает с принципом Гамильтона в форме (2.2). Перейдены теперь к более общему случаю.
Так как кинетическая энергия Т, подобно лагранжнану ь консервативной системьп являетг: й 2.41 ововшвнив пеннципл Глмнльтонл бб проведем по так называемому методу неопределенных множа- щелей Лагранжа. Из уравнения (2.23) следует равенство 1ч Х а„.дд„=О, (2.24) где гн (1 = 1, 2, ..., щ) — некоторые пока не определанные величины в обшем случае функции времени. Эти т уравнений мы рассмотрим совместно с уравнением (2.20), которое в случае консервативных систем имеет внд 2 —.) й( Х(' — — — —.)3чл=0. к'т гдЕ а' дЕь а дтл аг дЧл (2.20') С этой целью просуммируем уравнения (2.24) по 1, а затем проинтегрируем полученную сумму от точки 1 до точки 2: .Гь ,'Р~ >на~а 3д„й' = О.
1 а,г Складывая это равенство с уравнением (2.20'), получаем соотношение ю ~ ( — — — —..ь ~ ч.„) ч„, /де а де ( даа ае дал (2.26) имеюшие структуру уравнений движения для щ последних переменных аь. Тогда, считая, что )ч удовлетворяют уравнениям (2,27), мы можем записать равенство (2.26) в виде 2 'кт /дЕ Н дЕ й1 У ~ — — — —.+ Х)та1 ~ЪЧ =0 л ° ( дал ае дав В этом равенстве независимыми являются все входяшие в него вариации 3д„.
Следовательно, — — — — +~ )чащ — — 0 (Ф=!, 2, ..., и — т). (2.29) дЕ и дЕ дал ат дел в котором вариации 3рл не являются еше независимыми, так как они связаны т соотношениями (2.23). Можно сказать, что первые а — т из этих вариаций могут быть выбраны произвольно и тогда последние и вариаций определятся уравнениями (2.23). Однако величинами )и мы можем распоряжаться по своему усмотрению. Предположим теперь, что мы выбрали их так, что выполняются равенства дЕ а дŠ— — — — + т )гага — — 0 (Уг=а — и+1, ..., и), (2.27) дал а'1 ддл е и 56 РРАвивния лАГРАнжА и ВАРЯАционныв ПРинципы (гл.
2 Объединяя уравнения (2.27) и (2,29), мы окончательно получаем полную систему уравнений Лагранжа для неголономных систем дЕ дЕ ъ| — — — — Г )чага ()г = 1 2 л) (2 30) ИГ дЕА ддл Однако эти уравнения еше не решают задачи, так как теперь мы имеем и+ т неизвестных: и координат ул и л~ коэффициентов ) и тогда как система (2.30) давт наи только а уравнений. Недостающими уравнениями здесь, очевидно, будут сами уравнения связи, т. е. уравнения (2.22), связывающие координаты ль. Однако теперь их следует рассматривать как дифференциальные уравнения н писать в виде ,'„ацу„+ ац — — О. л (2,31) но онн должны совпадать с уравнениями (2,30).
Следовательно, сумму .~~,)ча,л мы можем считать равной ОА (обобшвнная сила реакции связи). Таким образом, в задачах этого типа мы в сущности не исключаем силы реакции, а получаем их как часть решения. Заметим, что связь (2.22) не является неголономной связью самого общего типа. Так, например, этим путви нельзя задать связь, выражаемую неравенствами. С другой стороны, она включает и голономные связи.
Уравнение голономной связи вида У<д,, д„дя ..., д„, С) =0 эквивалентно дифференциальному уравненшо у ду ду Л Гдлл " дт — г(д„+ — г(Г =- О, А (2,32) Уравнения (2.30) и (2.31) образуют систему а -~-т уравнений относительно и + т неизвестных. Следует заметить, что в процессе проведенных рассуждений мы получили больше результатов, чем предполагали, так как мы определили не только а координат д„, но и лг коэффициентов )ч, Каков же физический смысл этих коэффициентов? Предположим, что мы освобождаем нашу систему от наложенных на неЕ связей и вместо этого г прикладываем к ией внешние силы Ол, делая это так, чтобы не изменить движения системы.
Тогда и уравнения движения останутся / теми же самыми, и ясно, что силы О» будут равны реакциям связей, так как они являются силамн, заставляющими систему двигаться в соот/ зетствии с условиями связей. При наличии сил ~А уравнения движения будут записываться в виде дЕ дŠ— — — — = Оь ИГ ддл дЕЛ О7 э 2.4] Овозшвнив пРинципА РАмильтонл которое будет совпадать с уравнением (2,22), если положить: аи,— — —, аи — — —. ду ду дал ' дг' (2,33) Раскладывая кинетическую энергию этой системы па кинетическую энергию центра масс н кинетическую энергию вращения вокруг центра масс, получаем Т = — Мх2 + — МР232, ! ! 2' 2 Потенциальная энергия этой системы равна 1' = Мд(! — х) з1п л, где ! — длина наклонной плоскости.
Поэтому лагранм<иан системы будет иметь вид Мх2 д!геэ2 Е. = Т вЂ” Ч = — + — Мд(! — х) зн!е. 2 2 Так как здесь имеется только одно уравнение связи, то нам нужен лишь один множитель Лагранжа. Коэффициентами уравнения связи здесь будут: а! =г, и =1, и поэтому два уравнения Лагранжа будут иметь внд: Мх — Мпз!п р+). = О, Мге!!' ),г = О. (2.3 !) !2.35) Таким образом, метод множителей Лагранжа можно использовать и в случае голоноь!Ныл связей. Это целесообразно де.лать в двух случаях; 1) когда оказывается неудобным сводить все координаты 7 к одним только независимым, 2) когда мы желаем определить реакции связей. В качестве иллюстрации изложенного метода рассмотрим следующий довольно 2ривиальный пример (рис. 14).
Круглый обруч скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образу!Ощей усоп 'р рпс 1! Обруч катящийся с горизонтом. Получим уравнения дзиже- по наклонной плоскости. ния этого обруча, (Следует заметить, что связь чкачения» является в данном случае голономной, однако этот факт для нас несущественен.) Обобшанныьп! координатами здесь будут х и 0, как показано на рис. 14.
Уравнение связи в данном счучае имеет вид г73 =г7 . 58 ггьвнвния лагглижл и вхвиационныв пгинципы !гл. 2 Вместе с уравнением связи гэ=х (2. 36) они образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными: О, х, й. Дифференцируя уравнение (2.36) по времени, получаем и, подставляя в уравнение (2.35), будем иметь Уравнение (2.34) принимает вид 2 Далее находим: Мл з!п э 2 аз!п ч 2г Таким образом, ускорение обруча, катящегося по наклонной плоскости, оказывается вдвое меньше того, которое он имел бы, если бы скользил по плоскости без трения.
Развиваемая при этом связью 1 сила трения равна ),= — Мя ып л. 2 (Й/ Из равенства х=о — получаем, что конечная скорость этого ля обруча равна ю=ф'я~сйпл. Этот результат можно, конечно, получить и элементарными методами. ф 2.5. Преимущества вариационной концепции. Хотя принцип Гамильтона в форме (2.2) можно распространить на случай неконсервативных систем и неголономных связей, однако практически этот принцип наиболее полезен тогда, когда можно составить лагранжиап из независимых координат.
Вариационный принцип Гамильтона в компактной форме содержит в себе всю механику консервативных голономных систем. Кроме того, этот принцип имеет то достоинство, что в его формулировке фигурируют только такие физические величины, которые не связаны с частной системой обобщбнных координат (кинетическая и потенциальная энергии). Поэтому этот прицип автоматически инвариантен относительно преобразования обобщенных координат системы. Другое достоинство этого принципа состоит в том, что его можно легко распространить на системы, не являющиеся чисто механическими, например, на упругие среды, электромагнитные поля, поля э.темеитарных частиц и т.
д. Позже мы рассмотрим некоторые из 9 2.5) ПРЕИМУЩЕСТВА ВАРИАЦИОННОЙ КОНЦЕПЦИИ 59 этих обобщений, а сейчас проиллюстрируем это на примере следующей простой системы, выходящей за обычные рамки механики. Предположим, что мы имеем систему, лагранжиан которой имеет вид ь = 2 ~В~ 5уЦ+ 2 ~~~ Мух|у/А ~~ 2С + ~а ~Еу(У) Ул (2.37) УА УЖА а диссипативная функция равна 2 Х (2.38) 10бобщйнными координатами ду здесь являются величины Уу.) Уравнения Лагранжа этой системы будут иметь вид ттзуу Лауе йу 7 Уфа Этим уравнениям движения можно дать, по крайней мере, две интерпретации. Пусть, например, 7; будут силами тока, 5у †коэффициентами самоиндукции, М А †коэффициента взаимной индукции, йу †сопротивления, С~ †Емкостя е' и Š— внешними электродвижущими силами.
Тогда уравнения (2.39) будут опи- г' сывать систему электрических контуров ЬУ с индуктивной связью. Так, например, при у'=1, 2, 3 мы получим три конту- М ы ра, схематически изображенных на рис. 15. С другой стороны, легко Видеть, что 3 два первых члена в выражении для представляют некоторую однородную квадратичную функцию обобщйнных скоро- гг стей. Всякий раз, когда связи (голономные) Рве.
15. Система злектрнчесистемы не зависят от времени, кинети- сеихконтуровсппдуктивной ческая энергия ее Т имеет как раз такой связью Эту с"стеву мож"о вид. Коэффициенты 5у и МУА играют при описать е помощью уравне- ний Лагранжа. этом роль некоторых масс — они являются инерционными членами. Следующий член лагранжиана можно трактовать как потенциальную энергию системы пружин — гармонических вибраторов,— подчиняющихся закону Гука.
Тогда упругая сила такой пружины будет равна г' = — вх, а потенциальная энергия еа будет иметь вид йх2 1г— 2 бб явлвнания лагвлн!кл и злвилционныя пгинципы (гл. 2 Поэтому коэффициенты 1)С~ можно трактовать как жесткости этих пружин. Наконец, последний член .тагранжиаиа можно рассматривать как потенциал, вызванный движущими силал и Е4 — 1;)г, не зависящими от координат, например' гравитационными силами. (Силы Еу могут, однако, зависеть от времени.) Что касается диссипативной функции (2.38), то е6 можно считать вызванной наличием диссипативных (вязких) сил, пропорциональных обобщенным скоростям. Такова вторая интерпретация уравнений (2.39) [или функций (2.37), (2.38) !. Согласно этой интерпретации уравнения (2.39) описывают слом<ну!о систему масс, связанных пружииаыи и движущихся в вязкой жидкости под действием внешних сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
