Г. Голдстейн - Классическая механика (1114480), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ванны стержней равны ут и !э, а массы грузов соответственно глт и шз, Рекомендуемая литератураь) 3. 1.. Яупяе и В. А, Ог!!1!!'и, Ргшс!р1ез о1 Месйап!сз. Отличяый учебник механики средней трудности Он будет весьма полезен в качестве предварительного пособия до перехода к более серьезным курсам, подобным данному.
С. 3. С о е, Тйеоге!!са! Мес'пап!сз. Учебник средней трудности, написанный в векторной форме. В некоторых из последних глав затронуты более серьбзпые вопросы. В книге содержатся основы векторного анализа. ьЧ. г. Оэпо об, Месйап!сз. Пять первых глав этой книги составляют элементарное введение в механику. Книга отлично написана и принадлежит автору, обладающему большим педагогическим опытом. О. у о оз, 1 епгЬнсп бег !пеоге!!зсйеп Рпуэйо В главах Ч и Ч! втой книги рассматриваются вопросы, близкие к изложенным в данной главе. ") Для удобства читателей мы в конце каждой главы дайм краткий список рекомендуемой литературы с небольшой аннотацией на каждую книгу. Более полный список литературы приведбн в конце книги, [гл.
1[ ОБВОР элвмлнтАРных НРинципов 42 Е, А. М!1пе, Ъгес!Ог!а! МесЬап!сз. Хотя данная кяига являет собой пример того, как можно изящную про. стоту векторного н тензорного метолов представить в сложном и трудном для ускоения виде, тем не менее в третьей части этой книги читатель сможет найти много интересных векторных теорем о движении точки и системы, полученных из основных законов механики Е. М а с Ь, ТЬе Яс!енсе о1 Месйап!аз а). В книге содержатся анализ и критика основных концепций классической механики. В свой время она сыграла большую роль в отношении философской стороны теории относительности аа). к.
В. [.!пбэау и Н. Ма!Ренан, Гонпба!!Онз о1 РЬуз!сз. В главе 3 этой книги дабтся ясное изложение основ классической механики. Наряду с книгой Маха она может служить основой для дальнейшего знакомства с основными идеями механики ва). О. Н а щ е1, О!г ах!оше с1ег Меспап!Ь (ИапбЬнсЬ с1ег РЬуз!Ь, т, ту). В книге делается попытка установять аксиомы механики на строго мате. матической основе. В статье Нордхейма этого тома кратко рассмотрены потенциалы, зависящие от скорости (й 1О гл.
2). Е. Т. цг Ь 1! ! а Ьег, Апа!упса! Оупаш!сз Рва). Это — хорошо известная книга, дающая исчерпывающее язложенне аналитической механики со старой точки зрения. В этой книге обнаружиаается очевидная нелюбовь автора к чертежам (их всего четыре во всей книге), а также к векторному аппарату н, наоборот, чрезмерная любовь к тем задачам по механике, которые приобрели известность как экзаменационные задачи в Кембридже. Однако в отношении многих специальных вопросов эта книга является практически единственным имеющимся источником.
Вопросы, связанные с темой настоящей главы, изложены в этой книге в основном в главе И, особенно в Е 31, где рассматриваются потенциалы, зависящие от скорости. Я 92 — 94 главы ЧШ посвящены диссипативной функции. ) огд йа у!е! РЬ, ТЬе ТЬеогу о1 Боннам ела*).
В главе 17 1-го тома этой классической книги рассматривается диссипативная функция. а) Имеется русский перевод: М а х Э., Механика, СПБ, 1909, **) Читателю следует иметь в виду, что в книге Э. Маха наряду с ценным фактическим материалом имеются неверные философские высказывания (Прим. иерее.) ***) Имеется русский перевод: У иттекер Э. Т., Аналитическая динамика, ОИТИ, 1937. ь"аа) Имеется русский перевод: Стретт Дж. В. (лорд Рэлей), Теория звука, Гостехиздат, 1955. ГЛАВА 2 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЪ|Е ПРИНПИПЪ| $2.1.
Принцип Гамильтона. Выводя в предыдущей главе уравнения Лагранжа, мы рассматривали мгновенное состояние системы и небольшие виртуальные изменения этого состояния. Таким образом, мы исходили из «дифференциального принципа», каким является принцип Лаламбера. Однако уравнения Лагранжа можно получить и из другого принципа, в котором рассматривается движение системы за конечный промежуток времени и небольшие виртуальные изменения движения в этом промежутке. Принципы такого рода известны как «интегральные принципы».
Прежде чем перейти к их изложению, уточним смысл фразы «движение системы за конечный промежуток времени». В каждый данный момент времени конфигурация системы определяется значениями обоби>аннь>х координат д>, ..., д„, и если рассматривать эти числа как декартовы координаты в п-мерном пространстве, то каждой конфигурации системы будет соответствовать определенная точка этого пространства. Такое а-мерное пространство мы будем называть пространством конфигураций.
С течением времени состояние системы изменяется, и точка, изобрзжающая эту систему, описывает в пространстве конфигураций некоторую кривую. >'|ы будем называть эту кривую «траекторией движения системы». Тогда движение системы можно будет рассматривать как дни>кение изооралсаюигей я>очки вдоль втой траектории (з пространстве конфигураций). Время 1 можно при этом рассматривать как параметр.
Тогда каждой точке траектории будет соответствовать одно нли несколько значений С. Следует подчеркнуть, что пространство конфигураций, вообще говоря, не является трвхмерны»> пространством, з котором происходит движение системы (подобно тому, как обобщенные координаты не всегда являются обычными координатами, определяющими положение точки). Траектория движения в пространстве конфигураций, конечно, не будет иметь сходства с истинной траекторией какой-либо точки рассматриваемой системы; каждая точка траектории в пространстве конфигураций изображает всю эту систему в некоторый момент времени.
44 гглвнания лггглнжл и алгнлционныа пгинцнпы [гл. 2 Теперь мы можем сформулировать интегральный принцип Га- мильтона для консервативных систем (в более широком смысле, т. е. допускающих обобщенные потенциалы): ггстиннае движение системы з промежутке ат Сг до Сг таково, что интеграл 1=~(.й1 с, (где 1. = Т вЂ” Ъ') имеет при этолг экстремум. Таким образом, из всех возможных движений изобража1ошей точки от ев положения в момент 1, до ев положения в момент Рг истинным будет то движение, при котором интеграл (2.1) имеет экстремум: максимум или минимум (рис. 9). Таким образом, согласно принципу Гамильтона истинное движе- ние таково, что вариация интеграла Т при фиксированных значе- ниях 1, и гг равна нулю: ц бг=б ~ Е (Дг дл тг ., фя 1)И=0 (2.2) Можно показать, что принцип Гамильтона вытекает нз уравне- ний Лагранжа (см., например, Ю И111а к е г, Аиа(уггса( 0уаатгсэ, 4-е изд., стр.
245). Мы сейчас докажем обратное, а именно, что уравнения Лагранжа следуют из принципа г Гамильтона. Эта теорема является более важной. Таким образом, мы покажем, что механику консервативных систем можно построить, исходя из принципа Гамильтона как из основного постулата. заменяющего законы Нью. тона.
Формулировка законов механики в виде принципа Гамильтона имеет определанные преимущества: например, Рис. 9. Траектория изображающей точки в пространстве кон- прн этом мы получаем принцип, не зафигураций. висящий от координат, применяемых при составлении лагранжиана. Более важно другое: что этот принцип указывает путь, которому нужно следовать при описании с математической строгостью классической механики явно немеханических систем (например, в теории поля).
(2,1) ф 2.2. Некоторые приемы вычисления вариаций. Прежде чем показать, что уравнения Лагранжа вытекают из уравнения (2.2), мы сделаем некоторое отступление и остановимся на методах вычисления вариаций, так как главной нашей задачей является нахождение кривой, для которой заданный криволинейный интеграл принимает экстремальное значение. хе>~отогьсе пЙ>свасьс ВычислениЙ Влв>схции рассмотрим сначала эту задачу в одномерной форме. Для этого попытаемся найти такую кривую у =у (х), которая на участке х ( х ( ха реализует экстремум криволинейного интеграла от за> данной функции Г(у, у, х), где у= —, Другими словами, для >гх искомой функции у интеграл '= ) 2'(у, у, х)с>'х св (2.3) у У(ха) =Уг !(Рис 10; этот чертеж сделан, конечно, не в пространстве конфигураций). Чтобы решить эту задачу, мы представим ей в форме, позволяющей использовать обычный аппарат дифференциального исчисления.
С этой целью рассмотрим какое-либо однопараметрическое семейство кривых у(х). Каждой кривой этого семейства будет соответствовать определенное значе- нне паРаметРа а, причем некотоРым рис. (О, йарьировассие кривой значениям этого параметра, например у = у (х), значению а=0 будут соответствовать кривые, реализующие экстремум рассматриваемого интеграла. Тогда у будет функцией х и а, Пусть, например, у(х, а) имеет Вид у (х, а) = у (х, О) + ат (х), (2.4) где Й (х) — любая функция х, обращающаяся в нуль при х = х, и х = х,.
тогда семейство (2.4) будет одним из Возможных семейств кривых у(х). Подставив функцию у(х, а) сне обязательно в виде (2А)) в выра>кение (2.3), мы получим интеграл l как функцию а. Таким образом, будем иметь х$ l(а) = ~,у(у(х, а), у(х. а), х~сГх, (2.5) и условие экстремума примет вид ~ф =0, (2.6) долйсен иметь максимум или минимум. Переменная х играет здесь роль параметра г, и мы будем рассматривать лишь такие кривые (х), для которых у(х,) =у,, йб ~г». 2 згавиання ллгглюьл и влгизционныа пгинцнпы Производя дифференцирование под знаком интеграла, получаем дд ~" ( дУ ду дУ ду! да ~ ду де ду де ) (2.7) где второй нз интегралов правой части равен ду да ° ду дх де Ф Вычисляя этот интеграл посредством интегрирования по частям, получаем 'дг' д'-'у д/ ду "' г н эдуз ду (2.8) ду дхда ду да ~, . дх(,дуУ да ( ) причам ~ — 1 и ~ — ) булут равны нулю, так как все кривые (ду1 /дут семейства у у(х, а) прохолят через точки (х„у,), (ха, уэ), Следовательно, первое слагаемое правой части выражения (2.8) обращается в нуль, и уравнение (2,7) принимает внл дд ' дУ а' дУ ду (д ) ~д ) и аналогично (2 Ж) (последнее равенство нам не потребуется).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
